Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIEquilibrio di un sistema dinamico discreto del primo ordine.Come detto, non sempre siamo in grado di trovare una soluzione in forma chiusa della nostra equazionealle differenze. In molte occasioni, tuttavia, questo non è un limite. L’interesse per la soluzione può esserelegato a conoscere l’evoluzione del sistema, al fine di prevedere se, prima o poi, si verificherà unasituazione di equilibrio.Partiamo con la descrizione matematica del concetto di equilibrio di un sistema dinamico (discreto). Comenel linguaggio comune, equilibrio significa “assenza di moto”. Un sistema dinamico è dunque in equilibrioquando non vi è evoluzione. Nel caso delle nostre equazioni alle differenze l’equilibrio può esserecaratterizzato dalla condizione:Poiché la legge del moto ci garantisce che, l’equazione descritta diventaPoiché la variabile è la medesima a destra e sinistra dell’uguale, possiamo anche omettere l’indicericerca degli equilibri si riduce, quindi, alla risoluzione di una semplice (?) equazione.. LaEsempio.Consideriamo l’equazione alle differenze non linearesistema.. Cerchiamo gli equilibri delDobbiamo risolvere l’equazione 7Ovvero l’equazione di secondo grado , che ha soluzioni e .Osservazione:Cosa succederebbe se la condizione iniziale fosse ?L’interesse per lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è connesso al comportamento delle soluzionigenerali del sistema stesso.Esempio [Evoluzione di una popolazione]Riprendiamo il realistico esempio dell’esercizio 1. I nostri conigli crescono secondo il sistema7 Come detto, eliminiamo l’indice!