Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

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ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIEquazioni alle differenze.Nozioni di base.Le equazioni alle differenze consentono di formalizzare problemi di natura molto diversa, che spazianodalla biologia, alla medicina, all’economia ed alla finanza.Cosa hanno in comune il numero di individui di una popolazione di conigli, la quantità di pescatonell’Adriatico, i saldi di un libretto di risparmio, l’ammortamento di un mutuo, i prezzi di un mercatoconcorrenziale? Apparentemente nulla! Almeno da un punto di vista “fisico”. Riguardano discipline diverse,ma che condividono, tutte, l’uso della matematica per formalizzare i problemi.In estrema sintesi, un’equazione alle differenze è una “regola” per definire una sequenza di numeri. Ilsignificato di questi valori dipende dall’utilizzatore del modello. Possiamo procedere, attraverso il seguenteesempio, a costruire il nostro primo sistema dinamico.Esempio [saldo di un libretto di risparmio]:Un capitale iniziale di 100,00€ è depositato in un libretto postale il primo gennaio 2010. Poste Italianegarantisce interessi annui pari al 5,00% del capitale in giacenza. Gli interessi sono capitalizzati una voltal’anno 1 . Interessa conoscere i saldi del libretto ad ogni 1 gennaio.Il meccanismo descritto ammette una semplice rappresentazione matematica:S0= € 100,00 Saldo inizialeS1= € 105,00 Saldo dopo un annoS2= € 110,25 Saldo dopo due anniS3= € 115,76 Saldo dopo tre anniCapitale 100Interessi 100x0,05Capitale 105Interessi 105x0,05Capitale 110,25Interessi 110,25x0,05Ogni anno si aggiungono al saldo dell’anno precedente gli interessi maturati. Possiamo scrivere questarelazione analiticamente:1 Significa che ad una scadenza definita contrattualmente (solitamente il 31 dicembre), gli interessi vengono calcolatisul capitale in giacenza ed “accreditati” sul libretto. Dal primo gennaio, gli interessi saranno considerati parte delcapitale e, il 31 dicembre successivo, concorreranno al calcolo dei nuovi interessi.
ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVILa prima equazione prende il nome di condizione iniziale ed esprime il primo valore della sequenza dinumeri, la seconda equazione è la prima equazione alle differenze che incontriamo.Osservazioni:• I valori della tabella sono coerenti con le formule descritte, che potrebbero essere efficacementeusate nella costruzione del modello in Excel;• La “variabile” t assume solo valori interi e non negativi, infatti i saldi sono rilevati solo con cadenzaannuale, a partire dall’istante 0.Esercizio [L’astrattezza della matematica]:Nel periodo estivo del 2009 la temperatura media a Città del Messico è stata circa 100° (Fahrenheit,ovviamente). Un noto ambientalista allarmista ha stimato che, per l’inquinamento atmosferico, si registreràun aumento del 5% della temperatura ogni anno. Calcolare le temperature previste per i prossimi anni.Il nostro obiettivo è quello di “formulare e risolvere” equazioni alle differenze. Tuttavia occorre anteporrealcune precisazioni, a partire dal concetto stesso di soluzione di una equazione alle differenze. Una voltaesplicitata la condizione iniziale, infatti, è sempre possibile calcolare la sequenza .Possiamo chiamare questo elenco di valori soluzione per enumerazione. Vale forse la pena di osservareche, nel nostro esempio, se non disponessimo dello stato iniziale del nostro libretto di risparmio, nonpotremmo nemmeno calcolare i saldi successivi. Insomma, l’equazione alle differenze, da sola, è inutile,non consente nessuna previsione.Risulta comunque impossibile ottenere direttamenteessere interessante ricavare dall’equazione alle differenze una formula del tipo, senza enumerazione. Per questo motivo puòche trasformidirettamente in , senza passare dai 132 valori che lo precedono. Anche questa funzionemerita di essere definita soluzione dell’equazione alle differenze. Parleremo, in questo caso, di soluzione informa chiusa.Osservazione:Purtroppo, non tutte le equazioni alle differenze ammettono una soluzione in forma chiusa.Variabile di statoLegge del motoUsando l’esempio introdotto possiamo dedurre quale sia la forma generale di una equazione alledifferenze:Come detto nell’introduzione, la variabile di stato descrive il sistema in un determinato istante di tempo,mentre la legge del moto è la regola con la quale il sistema evolve nello stato successivo. Benché l’esempiointrodotto fosse particolarmente semplice, non occorre molta fantasia per capire che, in generale, il
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