Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza
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ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIOsservazione:La richiesta che, nel<strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> transizione, <strong>la</strong> somma degli elementi <strong>di</strong> ogni colonna sia 1 garantiscel’esistenza <strong>di</strong> equilibri <strong>di</strong>versi da quello nullo. Potete immaginare <strong>per</strong>ché?Previsioni elettorali.Immaginiamo una repubblica par<strong>la</strong>mentare <strong>per</strong>fettamente bipo<strong>la</strong>re. Il partito X è al governo e quello Yall’opposizione. L’azione politica <strong>di</strong> entrambi determina, ovviamente, lo spostamento delle preferenze dauno schieramento all’altro. Il governo X o<strong>per</strong>a in modo da garantire <strong>la</strong> fedeltà del 60% del proprioelettorato e convincere il 10% degli elettori <strong>di</strong> Y del<strong>la</strong> bontà delle proprie idee. Le elezioni si svolgono ognilustro e gli elettori sono in numero costante (600). Alle ultime elezioni X ha ottenuto 600 voti. Il partito Yavrà mai <strong>la</strong> possibilità <strong>di</strong> governare?Per rispondere al quesito è necessario impostare il sistema <strong>di</strong>namico che rappresenta <strong>la</strong> composizione deglielettori ad ogni tornata elettorale:Possiamo quin<strong>di</strong> immaginare l’evoluzione dei votanti e osservare che, già il mandato successivo saràappannaggio del partito Y con 600 voti e, supponendo nul<strong>la</strong> cambi nelle preferenze degli elettori, <strong>la</strong>situazione <strong>per</strong> X non migliorerà nelle tornate successive.Esercizio:Calco<strong>la</strong>re l’equilibrio del sistema descritto.Esercizi proposti.Esercizio 1. Tre o<strong>per</strong>atori concorrenti <strong>di</strong> telefonia mobile competono in un mercato del valorecomplessivo <strong>di</strong> 100 milioni <strong>di</strong> euro. Da analisi <strong>di</strong> mercato, si ottiene <strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> transizione. Inizialmente le quote <strong>di</strong> mercato sono , espresse in milioni <strong>di</strong> euro <strong>di</strong>fatturato.a. Quale <strong>per</strong>centuale, ogni anno passa dall’o<strong>per</strong>atore 2 all’o<strong>per</strong>atore 1?b. Calco<strong>la</strong>re le quote <strong>di</strong> mercato dopo 3 anni.c. Determinare, se esiste, l’equilibrio <strong>di</strong> mercato.Esercizio 2. [Un modello <strong>di</strong> parco-macchine] Una società <strong>di</strong> NCC (Noleggio con conducente) <strong>di</strong>spone <strong>di</strong>25 veicoli in servizio. E’ stato rilevato che ogni settimana il 5% del<strong>la</strong> flotta in servizio deve esserefermata <strong>per</strong> riparazioni. Il 90% dei veicoli che si trovano in riparazione dovrà su<strong>per</strong>are un col<strong>la</strong>udo<strong>la</strong> settimana successiva prima <strong>di</strong> essere reintegrato nel servizio, il 5% richiede una ulterioresettimana in officina ed il restante 5% deve essere tolto dal servizio. Infine, dei veicoli in col<strong>la</strong>udodopo <strong>la</strong> manutenzione, il 95% è rimesso in servizio dopo una settimana ed il 5% deve essere reinviatoal<strong>la</strong> manutenzione. Ipotizzando che <strong>la</strong> società inizi <strong>la</strong> propria attività con tutti i veicoli inservizio,
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