Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIAnche in questo caso, ne abbiamo già sviluppato la soluzione:L’equilibrio èda cuisimpatici conigli.Possiamo ora verificare se l’equilibrio sia ancora instabile o un attrattore:t⎛t1,015 − 1 ⎞lim xt= lim ⎜1,015 × 300 − 15 × ⎟ = −∞!!!x →∞ x →∞⎝0,015 ⎠Siamo dunque destinati a vedere fallire i nostri sogni di ricchezza.Lo studio della stabilità degli equilibri può, dunque, prevenire scelte economicamente avventate.Matematicamente esistono metodi “classici”, basati su condizione analitiche richieste alla legge del motoper garantire la stabilità degli equilibri e metodi “moderni”, che utilizzano anche condizioni grafiche,attraverso i diagrammi di fase.Stabilità dei sistemi dinamici: diagrammi di fase.Un diagramma di fase è il grafico della funzione f che abbiamo chiamato legge del moto. Sull’asse delleascisse rappresentiamo l’”oggi”, ovvero xt, sull’asse delle ordinate il “domani, ovvero xt + 1.Esempio:Rappresentiamo il diagramma di fase dell’equazione alle differenzex12t + 1 = xt+1La funzione di cui cerchiamo il grafico è f ( x ) = x + 1 : una retta crescente. La condizione che definisce21l’equilibrio, x = x + 1 , può essere letta come condizione di intersezione tra il grafico di f e quello della2bisettrice del primo e terzo quadrante.Il diagramma di fase consente anche di “visualizzare” l’evoluzione del sistema. Sull’asse delle ascissepossiamo infatti individuare il valore dalla condizione iniziale x0= − 1 e “risalire” fino al grafico di f .Troveremo così la coppia , ovvero , (oggi, domani). Poiché il domani di oggi è l’oggi di1domani, la coppia successiva saràsfruttando ancora la bisettrice.… grazie alle proprietà di simmetria, possiamo “muoverci”