Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVILa forma lineare dipende dalla forma iniziale delle funzioni di domanda e offerta.Ecco quindi definito il meccanismo di aggiustamento dei prezzi. Ogni anno, per effetto della legge delladomanda e dell’offerta, i prezzi si aggiornano e, di conseguenza, le quantità domandate e offerte.Supponiamo che . Per questo prezzo, i coltivatori di caffè sono disposti a produrre solo 2 unità. Ladomanda resterebbe insoddisfatta (potenzialmente si consumerebbero 26 unità) e, di conseguenza, i clientisarebbero disposti a pagare prezzi più elevati, esattamente 12 euro ( ). Ecco fissato ! Conquesto prezzo, però, viene programmata una produzione eccessiva rispetto alla domanda: 14 unitàprodotte contro le 6 domandate. L’eccesso di offerta produce una diminuzione dei prezzi…Possiamo sia scrivere la soluzione in forma chiusa, sia cercare l’equilibrio e la sua stabilità. Lasciando laprima parte come esercizio, ci concentriamo sulla seconda. L’equilibrio è dato dalla condizione:Risolvendo si ottiene ! Lo stesso equilibrio statico. Sia graficamente, sia in base al teorema, sievidenzia che l’equilibrio è sicuramente stabile, ovvero possiamo aspettarci che i prezzi del mercato siavvicinino a 15€.Esercizio:1. Dopo avere trovato, nell’esempio precedente, la soluzione in forma chiusa, determinare dopoquanto tempo i prezzi saranno maggiori di 14€.2. E’ possibile che, trascorso il tempo ricavato al punto 1., i prezzi diventino maggiori di 17€? E minoridi 12€? Perché?Osservazione:Un tempo infinito è chiaramente inconcepibile. Nella teoria economica, tuttavia, tale situazione è spessorappresentata come “Lungo Periodo”, un orizzonte temporale che trascende una singola generazione e nelquale è possibile immaginare che anche il nostro mercato del caffè sia in equilibrio.Esercizi proposti.Esercizio 1. Rappresentare il diagramma di fase del sistema dinamico, individuarne gliequilibri e rappresentare la stabilità dell’equilibrio rispetto alla soluzione con dato iniziale .Esercizio 2. Dato il sistema dinamico, trovare gli eventuali equilibri e dedurne lastabilità.Esercizio 3. In una provincia della Liguria la popolazione di cinghiali ha un tasso di natalità del 12%annuo, mentre la mortalità naturale dell’8%. Ogni anno 100 nuovi capi si introducono dalle zonelimitrofe. L’assessorato alle Politiche agricole intende autorizzare la caccia fino all’abbattimento diuna percentuale k dei cinghiali ogni anno. Calcolare il valore minimo di k affinché il sistema abbiaun equilibrio stabile.Esercizio 4. In un mercato la domanda è , mentre l’offerta .