Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVILa soluzioneè nota come sezione aurea.Abbiamo quindi trovato due soluzioni possibili soluzioni della nostra equazione alle differenzeIn realtà ne abbiamo trovate infinite. Infatti possiamo dimostrare che anche una qualsiasi combinazionelineare delle due soluzioni (una somma con dei coefficienti) è ancora una soluzione.Consideriamo , per qualsiasi, almeno per il momento. Dobbiamo verificare chesoddisfa l’equazione alle differenze, ovvero:Raccogliendo a fattore comune si ottienecome volevasi dimostrare.Il procedimento svolto fino a questo punto ha permesso di determinare una generica soluzionedell’equazione alle differenze. Per concludere il problema del nostro agricoltore occorre determinare ivalori dei parametri. Per farlo possiamo ricorrere alle condizioni iniziali:Che si riduce al sistemaCon soluzione (unica!)Finalmente, quindi, il numero di conigli dopomesi saràIl fatto più impressionante di questa formula è, provare per credere, che, nonostante i valori irrazionali, irisultati che si ottengono sono sempre interi!Osservazione:Senza voler proseguire nei calcoli, conviene comunque ricordare che ogni equazione alle differenze linearedi ordine può essere risolta con il metodo descritto. Il polinomio caratteristico sarà di ordine , comesaranno i parametri indipendenti da determinare. Per le equazioni non lineari, invece, i metodi analitici per