Short Time Fourier Transform

Analisi di segnali nonstazionari:STFT e WAVELETEmanuele Zappa

Perché dell’analisi tempo-frequenza• Segnali stazionari si possono analizzare conla trasformata di Fourier• Segnali non-stazionari si possono analizzarecon Fourier, si perdono però le informazionitemporali: in alternativa si può ad esempioutilizzare:• STFT (Risoluzione Costante in frequenza)• Wavelets (Miglior risoluzione in frequenza allebasse frequenze)2

Segnali non stazionari• La maggior parte dei segnali reali fisici è di tiponon stazionario, cioè con caratteristiche variabilinel tempo. Per esempio, una combinazione disinusoidi con diversi parametri (ampiezze A i ,tempi di inizio t i , frequenze dominanti f i , fasiiniziali ψ i e coefficienti di smorzamento a i )rappresenta molto bene un segnale nonstazionario.3

FFT di segnali non stazionari (1/2)• Se su questo segnale si effettua unatrasformata di Fourier, si ottiene una funzioneX(f) il cui modulo dice qualcosa di evidentesulla presenza delle componenti armoniche edelle rispettive ampiezze A i .• Le informazioni relative agli altri parametrisono inglobate nella fase di X(f); il problema èche tali informazioni sono così “mescolate”fra loro, specie se il segnale ha moltecomponenti, da risultare illeggibili.4

FFT di segnali non stazionari (2/2)• In altre parole, la trasformata di Fourierevidenzia la presenza delle componentiarmoniche ma non permette di ricavarefacilmente informazioni su quando e come talifrequenze siano effettivamente presenti.• Il motivo di tutto ciò è intrinseco nelladefinizione della trasformata:(1)5

Origine della STFT• Per i segnali non stazionari occorre inserirenella trasformazione una dipendenza daltempo; il modo più immediato consiste nelrendere locale la Trasformata di Fourier (1) nonoperando su tutto il supporto del segnale x(t)ma su porzioni di esso, ottenute moltiplicandox(t) per una finestra che trasla nel tempo.• Nasce così la trasformata di Fourier a brevetermine o Short Time Fourier Transform (STFT)(2)6

STFT (specgram)Y1Y210

Frequenza variabile11

Sinusoide a 200 Hz modulata dauna gaussianaFrequenza [Hz]Tempo [s]12

SinusoideSinusoide + ruomore casualeTempo [s]Frequenza [Hz]Tempo [s]13

Effetti in frequenza della finestratura• Questo approccio, benché molto semplice, haun difetto tutt'altro che trascurabile:moltiplicare nel dominio del tempo il segnalex(t) con la funzione finestra g(t) equivale aeffettuare la convoluzione dei loro spettri X(f)e G(f) nel dominio della frequenza.• La STFT fornisce quindi lo spettro delsegnale alterato dalla presenza della finestra.• Potrebbe non essere più possibile distingueredue componenti di frequenza prossima fraloro.14

Somma di sinusoidi a 49 e 50 HzTempo [s]Lo spettro identificachiaramente le duearmoniche vicineFrequenza [Hz]Frequenza [Hz]Tempo [s]STFT:non offre una risoluzione in frequenzatale da distinguere due armonichemolto vicine se non diminuendo inmodo eccessivo la risoluzionetemporale, rendendo quindi inutile 15l’utilizzo di tale tecnica

Migliorare la risoluzione in frequenza• Se si vuole migliorare la risoluzione infrequenza, ovvero ridurre l'effetto di“mescolamento di armoniche” dovuto a G(f),occorre ridurre ∆(f), ma ciò implica unaumento dell'ampiezza temporale ∆(t) dellafinestra e quindi una diminuzione dellacapacità di localizzazione nel dominio deltempo.• Si noti infatti che due eventi separati da menodi ∆(t) non sono discriminabili.16

Migliorare la risoluzione nel tempo• Se invece si riduce la lunghezza temporaledella finestra per aumentare la capacità dilocalizzazione nel tempo, aumenta il valore di∆(f).• Si ha quindi una diminuzione della capacità dilocalizzazione nel dominio delle frequenze.17

Localizzazione nel tempo e in frequenza• Dalla (1) si vede che X(f) rappresenta il prodottoscalare fra il segnale e una funzione sinusoidalecomplessa di durata temporale infinita, la quale èperfettamente locale in frequenza maassolutamente globale nel tempo.• In altri termini, questa trasformazione è adatta asegnali stazionari perché permette di evidenziarenettamente fenomeni che avvengono neldominio della frequenza ma non discriminaeventi che avvengono nel dominio del tempo.18

Note:• Fissata la funzione finestra g(t), vengonoautomaticamente definite le entità di ∆t e ∆f(capacità di localizzazione nel tempo e nellefrequenze rispettivamente).• Al decrescere di ∆t (migliore localizzazionenel tempo), cresce ∆f (peggiorelocalizzazione nelle frequenze).• Sussiste una sorta di principio diindeterminazione.19

Dal PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DIHEISENBERG: se la finestra w(t) ha un supporto“largo” allora la sua trasformata di Fourier W(jω) haun supporto “stretto” e viceversaE’ impossibile ottenere da una sola finestrauna buona risoluzione nel dominio deltempo e contemporaneamente nel dominiodella frequenza per un generico segnale.20

Es: STFT cambio armamento21

0.1Angolo sala / accelerazione0-0.10 20 40 60 80 100 120m/s 2Frequenza [Hz]1500100050000 20 40 60 80Tempo [s]22706050403020100-10-20

Misure di vibrazione su motoremotociclistico 4 cilindri400300200100010 x 104 PSD Acc3 007 accelerata 2.mat-10098-2007-3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Modulox 10 565432100 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000[Hz]23

Misure di vibrazione su motoremotociclistico 4 cilindri (STFT, 0.1 s)Tempo frequenza Acc3 007 accelerata 2.mat180016001400Frequenza [Hz]1200100080060040020000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Tempo [min]24

Ci sono alternative alla STFT?• Spezzo la storia in tanti record di lunghezza T:T PICCOLO GRANDERIS FREQ SCARSA BUONARIS TEMPO BUONA SCARSAINDETERMINAZIONE25

Misure di vibrazione su motoremotociclistico 4 cilindri (STFT, 5 s)Tempo frequenza Acc3 007 accelerata 2.mat180016001400Frequenza [Hz]1200100080060040020000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Tempo [min]26

Misure di vibrazione su motoremotociclistico 4 cilindri (STFT, 0.01 s)Tempo frequenza Acc3 007 accelerata 2.mat180016001400Frequenza [Hz]1200100080060040020000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Tempo [min]27

4 frequenze contenute28

Spettro29

STFT: finestra “breve”30

STFT: finestra “media”31

STFT: finestra “lunga”32

STFT: risoluzione fissa• Abbiamo visto che la STFT è una tecnica dianalisi a risoluzione fissa e si è appuratocome questo possa costituire una limitazione.• Si è anche osservato come la causa siaintrinseca nella presenza della funzionefinestra g(t) a supporto e a banda limitata,che viene modulata con e j2πft e moltiplicatascalarmente con il segnale x(t).33

Risoluzione variabile• Per ottenere un'analisi a risoluzione variabileoccorre fare in modo che le risoluzioni relative∆t/t e ∆f/f risultino costanti e questo richiede cheall'aumentare della frequenza f aumenti in modoproporzionale la banda ∆f.• A tale riguardo viene in aiuto una proprietàfondamentale della trasformata di Fourier:comprimendo nel tempo una funzione si ottieneuna espansione in frequenza del suo spettro, eviceversa:34

Modulazione e scalamento• Da questa considerazione nasce l'idea disostituire l'operazione di modulazione conl'operazione di scalamento, ovvero anzichémoltiplicare il segnale per la finestra g(t) adampiezza temporale costante e trasformare conla trasformata di Fourier, si esegue direttamenteil prodotto scalare con scalamenti e traslazioni diun unico prototipo. Quello che si ottiene prende ilnome di trasformata wavelet continua (CWT):35

Concetto di wavelet• Il prototipo ψ(t) prende il nome di waveletmadre; a è il parametro di scalamento, b è ilparametro di traslazione. La denominazionewavelet deriva dal fatto che, graficamente, ilprototipo è una funzione che oscilla e sismorza come una piccola onda. Un esempioclassico di ondina è riportato in figura:36

Trasformata di Fourier di una wavelet• Si osservi subito un particolare fondamentale;valutando la trasformata di Fourier dell'ondina,a meno del parametro di traslazione b, siottiene:• Dove:• Se ψ(t) ha banda ∆f centrata in f 0 allora ψ(t/a)ha banda ∆f*a centrata in f 0 *a: la banda relativa37rimane costante.

Frequenza e scala• È immediato notare che il prodotto scalare delsegnale x(t) viene ora eseguito con unafunzione non periodica e limitata nel tempo: ilconcetto di frequenza dell'armonica vienesostituito con il concetto di scala dell'ondinaψ ab (t).• L'analogia è tuttavia immediata: valori piccolidi a significano ondine compresse nel tempo,quindi contenenti armoniche ad altafrequenza.38

Localizzazione temporale e spettrale• Effettuare il prodotto scalare con esse implica ottenereinformazioni sui dettagli del segnale, cioè su fenomenirapidamente variabili; d'altra parte, valori grandi di acomportano ondine lentamente variabili, con bandastretta, che invece colgono il comportamento delsegnale a lungo termine.• Queste fondamentali proprietà sono note comelocalizzazione temporale (più l'ondina è concentrata neltempo, migliore è la risoluzione in questo dominio) ecome localizzazione spettrale (più l'ondina è concentratain frequenza, migliore è la risoluzione in questodominio).39

Wavelet continue come convoluzione• Faccio la convoluizone fra un’onda “madre”,opportunamente allungata e shiftata, e ilsegnale.40

Cenni sul calcolo della trasf Wavelet41

Scala maggiore (freq minori)42

Estraggo le basse frequenze43

Esempio44

Wavelet: diverse risol in freq a diverse scale45

Wavelet: Frequenza variabile nel tempo46

Esempio di segnale non stazionario47

Esempio 248