Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

Appunti di Costruzione di Macchine 2a cura diStefano BerettaPolitecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica10 giugno 2012

IndiceI Analisi stato di sforzo e deformazione 41 Richiami di Analisi dello stato di sforzo 51.1 Azioni-reazioni e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Sforzo agente su un piano generico . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Trasformazione riferimento per sforzo piano . . . . . . . . 81.3 Sforzi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Sforzi principali nello stato di sforzo piano . . . . . . . . . 111.4 Riferimento principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Sforzi normali e tangenziali su un piano generico . . . . . 141.4.2 Cerchi di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Stato di sforzo su piani ottaedrali . . . . . . . . . . . . . . 161.4.4 Componente di sforzo idrostatica e deviatorica . . . . . . 171.5 Equazioni indefinite di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Riferimento cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Riferimento sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Deformazioni e legame sforzi-deformazioni 222.1 Spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Tensore delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Deformazione in una direzione nei problemi piani . . . . . 252.2.2 Deformazione volumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Variazione delle deformazioni in un continuo - Equazioni di congruenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Problemi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Problemi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.3 Compatibilità per il FEM* . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Legame elastico lineare per materiali isotropi . . . . . . . . . . . 312.4.1 Direzione sforzi e deformazioni principali . . . . . . . . . . 322.4.2 Sforzo idrostatico e deformazione volumica . . . . . . . . 332.5 Legame sforzi-deformazioni in campo elastico . . . . . . . . . . . 342.5.1 Convenzione degli indici ripetuti . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Legge di Hooke generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . 351

2.5.3 Rappresentazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.4 Simmetria nei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.5 Materiale anisotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.6 Materiale ortotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.7 Materiale isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II Problemi elastici 463 Soluzione analitica di problemi elastici piani 473.1 Problemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.1 Stato di sforzo piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Stato di deformazione piana . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.3 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Funzione di Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.1 Semplici esempi di funzione Φ . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2 Soluzioni per serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Problemi in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.1 Membrana forata soggetta a carico biassiale . . . . . . . . 553.3.2 Foro in una membrana indefinita soggetto a carico radiale 563.3.3 Membrana forata soggetta a taglio . . . . . . . . . . . . . 583.3.4 Membrana forata soggetta a carico assiale . . . . . . . . . 593.3.5 Carico concentrato su un semispazio elastico . . . . . . . 633.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 Intagli e concentrazione di sforzo 674.1 Concentrazione di sforzo nella membrana forata . . . . . . . . . . 674.2 Membrana con foro ellittico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 Determinazione dello stato di sforzo in organi di macchina . . . . 704.3.1 Ellisse equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3.2 Intagli multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.3 Sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 Problemi assialsimmetrici 765.1 Problema termoelastico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Dischi sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.1 Disco con sole pressioni sui contorni . . . . . . . . . . . . 805.2.2 Disco rotante a ω costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.3 Metodo di Grammel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3 Cilindri lunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.1 Cilindro rotante a velocità angolare costante . . . . . . . 925.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

6 Lastre circolari piane 976.1 Flessione semplice di una lastra in due direzioni ortogonali . . . . 976.1.1 Composizione dei momenti in un punto . . . . . . . . . . 986.1.2 Lastre con momento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2 Lastre circolari assialsimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.1 Carico distribuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2.2 Carico concentrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.3 Lastra anulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3 Esercizi e problemi sul quaderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097 Lastre cilindriche 1107.1 Risoluzione del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.1.1 Deformazioni ed azioni sul concio di lastra . . . . . . . . . 1127.1.2 Equazione risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.3 Un approccio basato sulla teoria delle travi . . . . . . . . 1147.1.4 Integrali particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Cilindri lunghi caricati su un bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.1 Coefficienti di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.1 Forza radiale su un parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.2 Vincolo radiale su un tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.3 Cerchiatura del tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.4 Recipienti cilindrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4.1 Fondi sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4.2 Recipiente con fondi semisferici . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3 Altri recipienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130III Applicazioni ed organi di macchina 1318 Fatica degli elementi saldati 1328.1 Introduzione alla resistenza a fatica dei giunti saldati . . . . . . . 1328.2 Approccio agli sforzi nominali secondo le normative . . . . . . . . 1398.2.1 Effetto dello sforzo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2.2 Multiassialità degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2.3 Sforzi ad ampiezza variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.3 Metodo hot-spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4 Difetti di saldatura e calcolo della vita a fatica . . . . . . . . . . 1588.5 Accorgimenti di fabbricazione per aumentare la resistenza a fatica 1623

Parte IAnalisi stato di sforzo edeformazione4

Capitolo 1Richiami di Analisi dello statodi sforzoSi richiamano qui i concetti fondamentali dello stato di sforzo nei solidi, già visti nel Corsodi Costruzione di Macchine 1. Questi concetti ci serviranno quindi, nei capitoli successivi,per analizzare il legame con le deformazioni e lo stato di sollecitazione in diversi tipi diproblemi elastici relativi allo stato di sforzo in organi delle macchine 1 .I testi di riferimento per consultazione ed approfondimento sono: [1], [2], [3].1.1 Azioni-reazioni e sforziConsideriamo un corpo soggetto a forze esterne, come mostrato in Fig. 1.1,che generano delle azioni interne all’interno del corpo. Per esaminarne l’effettoin un punto Q interno al corpo, tagliamo il corpo su un piano a-a (passanteper Q), che divida il corpo in due parti. Le forze che agiscono sulla parte checonsideriamo devono essere equilibrate da delle forze presenti sulla sezione a-a.Analizziamo ora un piccolo elemento di area ∆A intorno al punto Q e chiamiamo∆F la forza agente su ∆A: chiamiamo ∆F x -∆F y -∆F z le componenti di∆F rispetto ad una terna locale x − y − z (l’asse x è diretto perpendicolarmentea ∆A) . Le componenti di ∆F danno origine ad uno stato di sforzo definitocome:∆F xσ x = lim∆A→0⎧⎪ ∆A⎨∆F y⎪ ⎩τ xy =τ xz =lim∆A→0lim∆A→0∆A ,∆F z∆A(1.1)1 a cura di S. Beretta5

Figura 1.1: Azioni e reazioni interne: a) sezione del corpo; b) equilibrio tra azionied azioni interne; c) componenti di ∆F [2].Queste definizioni forniscono le componenti dello stato di sforzo nel punto Q suun piano di normale x. La definizione ∆A → 0 ha un significato ingegneristico:consideriamo sforzi medi su aree piccole in confronto alla dimensione del corpo,ma maggiori delle dimensioni microstrutturali del materiale di cui è costituitoil componente.La componente di ∆F normale alla superficie da origine ad uno sforzo normale,mentre le componenti parallele alla superficie danno origine a sforzi di taglio.Dimensionalmente, per la (1.1), gli sforzi sono espressi come [forza/superficie]e sono quindi espressi in [P a] oppure [MP a].1.1.1 Tensore degli sforziGeneralizzando quanto visto sopra, se consideriamo nel punto Q i piani perpendicolariagli assi y e z definiamo in modo completo lo stato di sforzo nelpunto, connesso alle azioni interne, che è identificato da 9 componenti scalariche possiamo così rappresentare nell’intorno di un punto materiale (il cubettinodi Fig.1.2 si immagina abbia dimensioni evanescenti).Le convenzioni che prendiamo in tale rappresentazione sono:• la notazione σ ij si riferisce rispettivamente a sforzo agente sulla faccia -i-(i è la normale alla faccia) in direzione -j- ;• per le facce la cui normale uscente è diretta come uno degli assi coordinati,il segno delle componenti del tensore sono positive con la direzione degliassi mentre per le facce aventi normale uscente contraria agli assi sonoinvece positive le componenti sforzo aventi direzione contraria agli assi.Per l’equilibrio alla rotazione di una porzione di materiale infinitesima intornoal punto deve essere:σ ij = σ ji per i ≠ j (1.2)quindi le componenti di sforzo indipendenti sono solo sei e le componenti deltensore degli sforzi, secondo il riferimento cartesiano x − y − z, possono essere6

appresentati da un tensore del secondo ordine 2 :⎡⎤σ xx σ xy σ xz[σ ij ] = ⎣σ xy σ yy σ yz⎦ (1.3)σ xz σ yz σ zzLe componenti dello stato di sforzo, come rappresentato da [σ ij ] cambiano alvariare delle direzioni secondo cui si immagina di sezionare il corpo nel puntoQ (cambia da punto a punto nel corpo per effetto della variazione della forza∆F). Nel seguito vedremo come cambiano queste componenti al ruotare degliassi x, y, z.1.2 Sforzo agente su un piano genericoLo stato di sforzo agente su un piano generico si ricava mediante le relazioni del’tetraedro di Cauchy’ già viste nel corso di Costruzione di Macchine 1 [4].In particolare se consideriamo un piano la cui normale è identificata daicoseni direttori [i, l, m] ([i, l, m] sono le componenti, nel sistema di riferimentox − y − z, del versore −→ n della normale al piano), il vettore della forza unitariaS (forza per unità di superficie) agente sul piano è:⎡ ⎤ ⎡ ⎤S−→ xiS = ⎣S y⎦ = [σ ij ] · ⎣ l ⎦ (1.4)S z mFigura 1.2: Generico stato di sforzo.2 vale la notazione: σ ii = σ i e σ ij = τ ij .7

lo sforzo normale σ n agente sul piano di normale −→ n non è altro che la proiezionedi −→ S su −→ n ovvero:⎡ ⎤σ n = −→ S × −→ n = [ i l m ] i· [σ ij ] · ⎣ l ⎦ (1.5)mLa procedura sopravista potrebbe essere utilizzata per proiettare −→ S su direzionidiverse da −→ n permettendo così di ottenere componenti di sforzo su tali direzioni.Generalizzando quindi la procedura della eq.(1.5) si può esprimere il tensore disforzo [σ ij ] dal riferimento X − Y − Z al un altro riferimento X ′ − Y ′ − Z ′ . Inparticolare possiamo scrivere:dove:[σ ′ ij] = T · [σ ij ] · T T (1.6)⎡ ⎤i 1 l 1 m 1T = ⎣i 2 l 2 m 2⎦ (1.7)i 3 l 3 m 3la matrice T contiene per righe i coseni direttori degli assi X ′ − Y ′ − Z ′ rispettoalla terna X − Y − Z. Quindi il tensore di sforzo può essere trattato come unamatrice (1.3), collegata a una legge di trasformazione (1.6).1.2.1 Trasformazione riferimento per sforzo pianoLa matrice T nel caso di trasformazione di uno stato di sforzo piano da unriferimento X − Y ad un riferimento X ′ − Y ′ assume la seguente espressione:[ ]cos θ sin θT =(1.8)− sin θ cos θe la Eq.1.6 restituisce le espressioni:⎧⎪⎨σ x ′ = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2σ xy cos θ sin θσ y ′ = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − 2σ xy cos θ sin θ⎪⎩σ x ′ y ′ = −(σ x − σ y ) cos θ sin θ + σ xy (cos 2 θ − sin 2 θ)E’ possibile riscrivere queste equazioni in funzione di 2θ come:⎧σ x ′ = 1 2 ⎪⎨(σ x + σ y ) + 1 2 (σ x − σ y ) cos 2θ + τ xy sin 2θσ y ′ = 1 2 (σ x + σ y ) − 1 2 (σ x − σ y ) cos 2θ − τ xy sin 2θ(1.9)(1.10)⎪⎩τ x ′ y ′= −1 2 (σ x − σ y ) sin 2θ + τ xy cos 2θ8

Y'YX'θXFigura 1.3: Cambio del sistema di riferimento in un piano.1.3 Sforzi principaliCon direzioni principali si intendono le direzioni normali a quei piani in cuila componente di sforzo è rappresentata solo da uno sforzo normale σ p (dettosforzo principale). Se esiste un tale piano allora le componenti del vettore −→ Srisultano:⎡ ⎤ ⎡ ⎤S−→ x σ p · iS = ⎣S y⎦ = ⎣ σ p · l ⎦S z σ p · mDovendo valere la Eq.(1.4), risulta che gli sforzi principali sono quei valori di σ pche soddisfano:(σ xx − σ p ) σ xy σ xzσ xy (σ yy − σ p ) σ yz∣ σ xz σ yz (σ zz − σ p ) ∣ = 0 (1.11)Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono glisforzi principali σ p :σ 3 p − I 1 σ 2 p + I 2 σ p − I 3 = 0 (1.12)dove le quantità:⎧I ⎪⎨ 1 = σ x + σ y + σ zI 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z − σxy 2 − σxz 2 − σyz2 ⎪⎩I 3 = σ x σ y σ z + 2σ xy σ xz σ yz − σ x σyz 2 − σ y σxz 2 − σ z σxy2(1.13)Tale equazione risolta ammette 3 radici σ 1 , σ 2 e σ 3 che vengono detti gli sforziprincipali. Gli sforzi principali sono gli autovalori della matrice [σ ij ].Introducendo le soluzioni σ 1 , σ 2 e σ 2 nel sistema (considerando inoltre larelazione i 2 + l 2 + m 2 = 1) si ricavano tre terne di coseni direttori (i, l, m) chedefiniscono le direzioni principali (o con altra terminologia gli autovettori dellamatrice).Rifacendosi alle proprietà degli autovalori ed autovettori si possono enunciarele seguenti regole:9

• se i 3 sforzi principali sono distinti, allora le 3 direzioni principali sonodistinte ed ortogonali;• se 2 valori di σ p coincidono allora una sola direzione principale è definita(corrisponde allo sforzo principale diverso dagli altri due) mentre le altresono infinite perché corrispondono alle normali alla prima;• se i 3 valori di σ p coincidono allora ogni direzione è principale (sforzoidrostatico: la pressione è identica su qualsiasi superficie).Le tre radici σ 1 , σ 2 , σ 3 (ordinate in modo che σ 1 > σ 2 > σ 3 ) hanno un importantesignificato: σ 1 è il massimo valore dello sforzo normale in un punto (alvariare della giacitura del piano), mentre σ 3 è lo sforzo normale minimo.I termini I 1 , I 2 ed I 3 dell’eq. 1.13 sono dette invarianti perchè non variano alvariare dell’orientamento del sistema di riferimento. In particolare, se riferitialle direzioni principali, assumono il valore:⎧⎪⎨ I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3I 2 = σ 1 σ 2 + σ I σ 3 + σ 2 σ 3(1.14)⎪⎩I 3 = σ 1 σ 2 σ 3Esempio 1.1 Si consideri lo stato di sforzo rappresentato in Fig. 1.4: calcolare glisforzi e le direzioni principali (i valori sono espressi in [MPa]).Figura 1.4: Calcolo degli sforzi principali tramite Eq. (1.12).Scrivendo il tensore dello stato di sforzo:⎡0 0⎤100[σ ij] = ⎣ 0 0 100⎦100 100 0Calcolando gli invarianti si ricava:I 1 = 0 I 2 = −2 · 100 2 I 3 = 0Introducendo nella (1.12) i valori ricavati si ottengono gli sforzi principali (i valori sonoespressi in [MPa]):σ I = 100 √ 2 σ II = 0 σ III = −100 √ 210

Le direzioni principali risultano espresse dalle colonne della matrice V, che si calcolain modo semplice con tecniche di calcolo numerico:⎡ √ ⎤0.5 20.52⎢[V ] = ⎣0.5 − √ 2 ⎥0.5√ 2⎦20 − √ 22 2Esempio 1.2 Calcolare gli sforzi principali e le direzioni principali se allo stato disforzo dell’esempio precedente viene sovrapposto idrostatico pari a 100 MPa.In tal caso il tensore degli sforzi assume la forma:⎡100 0⎤100[σ ij] = ⎣ 0 100 100⎦100 100 100Si verifica immediatamente come I 1 = 300, ovvero l’invariante primo è la somma degliinvarianti I 1 dei due stati di sforzo sovrapposti. Risolvendo completamente si ottiene:σ I = 100( √ 2 + 1) σ II = 100 σ III = 100(1 − √ 2)Si può anche verificare come gli autovettori risultino ancora:⎡ √ ⎤0.5 20.52⎢[V ] = ⎣0.5 − √ 2 ⎥0.5√ 2⎦20 − √ 22 2ovvero la sovrapposizione di uno sforzo idrostatico su uno stato di sforzo generico [σ ij]non altera le direzioni principali.1.3.1 Sforzi principali nello stato di sforzo pianoSi consideri uno stato di sforzo piano in cui σ z = 0 (rilasseremo questa ipotesinell’esempio): calcoliamo dalla 1.9 i valori massimi e minimi di σ x ′. Cercandoquei valori di θ per cui:si ottiene:∂σ x ′∂θ = −(σ x − σ y ) sin 2θ + 2τ xy cos 2θ = 0 (1.15)tan 2θ p =2τ xyσ x − σ y(1.16)Essendo tan 2θ = tan(π + 2θ) la (1.16) identifica due angoli θ p tra loro perpendicolariche sono le direzioni principali nel piano. Va annotato come la(1.15) corrisponda anche alla condizione τ x′ y ′ = 0, ovvero le direzioni principalicorrispondono a piani su cui lo sforzo di scorrimento è nullo.11

Introducendo gli angoli θ p nella prima delle (1.10) si ottengono i valorimassimo e minimo di σ x ′:σ 1,2 = σ x + σ y2√ (σx ) 2− σ y±+ τxy 22 (1.17)Alla equazione precedente si può anche arrivare (come in [4]) attraverso l’annullamentodel determinante della (1.11). In particolare per uno stato di sforzopiano gli sforzi principali sono le soluzioni di:∣ (σ xx − σ p ) σ xyσ xy (σ yy − σ p ) ∣ = 0 (1.18)risolvendo tale equazione si ottiene ancora la (1.17) per esprimere gli sforziprincipali.Esempio 1.3 Si consideri la porzione di un albero del diametro di 30 mm soggettoad una coppia M t = 250 [Nm] ed alla pressione p = 10 [MP a], calcolare gli sforziprincipali e le direzioni principali.XYZPp-p-pMt(a)(b)(c)Figura 1.5: Albero soggetto ad un momento torcente ed una pressione esterna:a-b) sollecitazioni; c) stato di sforzo dovuto alla pressione esterna.Gli sforzi agenti sulla sezione (espressi in [MPa]) sono uno sforzo di scorrimento:τ = 16Mtπ · d 3 = 47.2ed uno stato di sforzo piano (Fig. 1.5 (c)) dovuto alla pressione esterna. Rappresentandoil tensore degli sforzi:⎡−10 −47.2 0⎤[σ ij] = ⎣−47.2 0 0 ⎦0 0 −10A rigore si tratta di uno stato di sforzo tridimensionale, ma poichè la direzione zè una direzione principale, possiamo eliminare dal tensore una riga ed una colonna12

ottenendo 3 :[σ ij] =[ −10] −47.2−47.2 0Gli sforzi principali risultano (tendendo conto che conosciamo già σ z = −10):σ 1 = 42.46 σ 2 = −10 σ 3 = −52.46Dalla (1.16) si ottiene (considerando solo la prima direzione):θ p = 0.6806La matrice di rotazione T della (1.8), riferita allo stato di sforzo tridimensionale, cheesprime lo stato di sforzo nelle direzioni principali risulta:⎡cos θ p sin θ p⎤0T = ⎣− sin θ p cos θ p 0⎦ (1.19)0 0 1Tramite la (1.16), tenedendo conto di questo esempio, è anche facile verificareche, sovrapponendo uno stato di sforzo idrostatico ad uno stato di sforzo piano,le direzioni principali non cambiano.1.4 Riferimento principaleNel riferimento principale (ovvero nella terna identificata dalle direzioni principali)il tensore [σ ij ] assume la forma diagonale:⎡⎤σ 1 0 0[σ ij ] = ⎣ 0 σ 2 0 ⎦ (1.20)0 0 σ 3ovvero non vi è nessuno sforzo di taglio (vedi Fig. 1.6). Considereremo taleriferimento per calcolare in modo semplice alcune importanti proprietà dellostato di sforzo in un punto.Figura 1.6: Trasformazione del tensore di sforzo nel riferimento principale [3].3 possiamo anche immaginare di guardare il tensore dall’asse z riguardando lo stato disforzo come piano.13

1.4.1 Sforzi normali e tangenziali su un piano genericoRiferendosi alla terna delle direzioni principali, le componenti del vettore −→ S (suun piano la cui normale è identificata da −→ n = [i l m] T ) si calcolano dalla (1.4) erisultano:S x = σ 1 i S y = σ 2 l S z = σ 3 m (1.21)Lo sforzo normale sul piano (dalla 1.5) risulta:σ n = −→ S × −→ n = σ 1 i 2 + σ 2 l 2 + σ 3 m 2 (1.22)Il valore dello sforzo di taglio sul piano si calcola come:τ 2 = S 2 − σ 2 n = σ 2 1i 2 + σ 2 2l 2 + σ 2 3m 2 − (σ 1 i 2 + σ 2 l 2 + σ 3 m 2 ) 2 (1.23)da cui [2] si ottiene:τ = [ (σ 1 − σ 2 ) 2 i 2 l 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 l 2 m 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 i 2 m 2] 1/2(1.24)Esaminando la (1.22) è facile verificare che (con la convenzione σ 1 > σ 2 > σ 3 ),il valore massimo di σ n è σ 1 e si raggiunge per [i = 1, l = m = 0], mentreil minimo è σ 3 e si raggiunge per [i = l = 0, m = 1]: ciò conferma che σ 1 eσ 3 rappresentano il massimo ed il minimo sforzo normale in un dato punto, alvariare della giacitura del piano.Considerando invece τ, il massimo si raggiunge sui piani per cui i 2 = m 2 = 1/2ed l 2 = 0 (i = m = ± √ 2/2 ed l = 0): queste giaciture identificano due pianiparalleli alla direzione 2 ed inclinati di 45 gradi rispetto alle direzioni 1 e 3 4 . Suquesti piani il massimo sforzo tangenziale vale:mentre lo sforzo σ n vale:τ max = ± (σ 1 − σ 3 )2σ n = σ 1 + σ 32(1.25)(1.26)33112Figura 1.7: Piani corrispondenti a τ max .4 le 4 giaciture corrispondono alle due direzioni della normale per ognuno dei piani.14

1.4.2 Cerchi di MohrConsideriamo un piano avente la giacitura parallela alla direzione 3 (ovvero lanormale al piano è perpendicolare all’asse 3 ed m = 0).32σ τ 2 n σ nσ 1τ nσ nσ 1θn1(a)2(b)σ 2Figura 1.8: Costruzione del cerchio di Mohr per piani paralleli alla direzione 3: a)identificazione dello stato di sforzo agente; b) convenzioni di segno.Detto θ l’angolo che la normale forma con l’asse 1 e fissando come positiva ladirezione oraria dello sforzo di scorrimento sulla faccia di normale n, possiamoscrivere dalle (1.10) 5 :⎧⎪⎨ σ n = 1 2 (σ 1 + σ 2 ) + 1 2 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ⎪⎩ τ n = 1 (1.27)2 (σ 1 − σ 2 ) sin 2θda cui è facile verificare che:[σ n − 1 2 [ ] 2 12 (σ 1 + σ 2 )]+ τn 2 =2 (σ 1 − σ 2 )(1.28)Questa equazione rappresenta, in un piano σ − τ detto piano di Mohr, unacirconferenza di centro C e raggio R con:( )(σ1 + σ 2 )C, 0 , R = (σ 1 − σ 2 )22ovvero i punti P (σ n , τ n ), per i piani con m = 0, descrivono al variare di θ unacirconferenza di centro C e raggio R, che passa per gli sforzi principali σ 1 e σ 2 .La costruzione grafica del cerchio di Mohr permette di visualizzare in modosemplice lo stato di sforzo e di calcolare graficamente gli sforzi principali (nonsi usa più ovviamente per questo motivo, ma aiuta a visualizzare la soluzione).Ripetendo la costruzione per i piani paralleli agli assi 1 e 3 si ottengonoaltre due circonferenze: in totale i 3 cerchi di Mohr permettono di visualizzarein modo semplice i valori massimi e minimi dello stato di sforzo nel punto. Sipuò dimostare che lo stato di sforzo su una giacitura generica (non parallela adun asse principale) appartiene alla regione compresa tra il cerchio fondamentale(quello passante per σ 1 e σ 3 ) e gli altri due.5 rispetto alle (1.10) dobbiamo considerare σ x ′ e τ x ′ y ′ cambiando di segno a quest’ultima15

σ σ σ 2 13 σ 2σ 1(a)(b)Figura 1.9: Cerchi di Mohr per lo stato di sforzo: a) il cerchio rappresentante inpiani con m = 0; b) i tre cerchi che descrivono lo stato di sforzo nel punto al variaredella giacitura del piano considerato.1.4.3 Stato di sforzo su piani ottaedraliSi dicono piani ottaedrali quei piani che hanno una inclinazione uguale rispettoa tutti gli assi principali, in particolare (il nome ottaedrali deriva dalla figurageometrica identificata da tali piani) questi piani hanno coseni direttori:i 2 = l 2 = m 2 = 1 3Introducendo tali valori nella (1.22) si ottiene:σ ott = σ 1 + σ 2 + σ 33= I 13(1.29)che viene anche chiamato sforzo idrostatico ed indicato con il simbolo σ h . Losforzo tangenziale sui piani ottaedrali vale:τ ott = 1 [(σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 ) ] 1/23(1.30)Figura 1.10: Piani ottaedrali16

Lo sforzo τ ott può essere riscritto, svolgendo i quadrati, come:√ √ 2τ ott = σ1 2 3+ σ2 2 + σ2 3 − σ 1σ 2 − σ 1 σ 3 − σ 2 σ 3 (1.31)La τ ott , impiegata come vedremo nei capitoli successivi per le verifiche di resistenza,può anche essere scritta come:τ ott = 1 3[2I21 − 6 · I 2] 1/2(1.32)che può quindi utilmente permettere, sostituendo i valori degli invarianti, discrivere τ ott in termini delle componenti del tensore in coordinate cartesiane:τ ott = 1 3[(σx − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ x − σ z ) 2 + 6τ 2 xy + 6τ 2 yz + 6τ 2 xz] 1/2(1.33)1.4.4 Componente di sforzo idrostatica e deviatoricaÉ utile considerare un generico stato di sforzo σ ij come sovrapposizione di unostato di sforzo idrostatico e di uno deviatorico. In particolare, detto σ h :σ h = σ ott = σ 1 + σ 2 + σ 33= σ x + σ y + σ z3il generico stato di sforzo [σ ij ] può essere scritto come:dove:e:σ ij = h ij + s ij (1.34)⎡⎤σ h 0 0h ij = ⎣ 0 σ h 0 ⎦ (1.35)0 0 σ h⎡⎤σ x − σ h σ xy σ xzs ij = ⎣ σ xy σ y − σ h σ yz⎦ (1.36)σ xz σ yz σ z − σ hGli sforzi principali del tensore s ij risultano:s I = σ I − σ h s II = σ II − σ h s III = σ III − σ h (1.37)Gli invarianti del tensore [s ij ] vengono indicati con J 1 , J 2 e J 3 . Si può ancheesprimere τ ott come:τ ott =√23 J 2 (1.38)17

1.5 Equazioni indefinite di equilibrioConsideriamo un piccolo volume di materiale avente dimensioni dx × dy × dz 6ed immaginiamo siano presenti, oltre alle componenti del tensore di sforzo, lecomponenti di forza di volume F x − F y − F z . Se esprimiamo l’equilibrio delvolumetto in direzione x (Fig.1.12) otteniamo la relazione:∂σ x∂x + ∂σ yx∂y+ ∂σ zx∂z + F x = 0Generalizzando nelle tre direzioni si ottengono le equazioni di equilibrio:zσ zx + ∂σ zx∂z dzσ xσ x + ∂σ x∂x dxxσ yxdyσ zxdxdzσ yx + ∂σ yx∂y dxyFigura 1.11: Equilibrio di un volumetto in direzione x⎧∂σ x∂x + ∂σ xy∂y⎪⎨∂σ xy∂x⎪⎩∂σ xz∂x+ ∂σ zx∂z + F x = 0+ ∂σ y∂y + ∂σ yz∂z + F y = 0+ ∂σ yz∂y+ ∂σ z∂z + F z = 0(1.39)Queste equazioni esprimono come varia lo stato di sforzo all’interno del corpoper effetto delle forze di volume presenti. Il set di equazioni precedenti puòessere scritto in forma sintetica come [3]:∇σ + F = 0 (1.40)1.5.1 Riferimento cilindricoIn coordinate cilindriche lo stato di sforzo risulta espresso da:⎡⎤σ r τ rθ τ rz[σ ij ] = ⎣τ rθ σ θ τ θz⎦ (1.41)τ rz τ θz σ z6 volumetto infinitesimo, ma non nullo.18

Esprimendo la (1.40) nel sistema di coordinate cilindriche [3] si ottiene:⎧∂σ r∂r ⎪⎨+ 1 ∂τ rθr ∂θ+ ∂τ rz∂z + 1 r (σ r − σ θ ) + F r = 0∂τ rθ∂r+ 1 ∂σ θr ∂θ + ∂τ θz∂z + 2 r τ rθ + F θ = 0⎪⎩ ∂τ rz∂r+ 1 ∂τ θzr ∂θ+ ∂σ z∂z + 1 r τ rz + F z = 0(1.42)zyxFigura 1.12: Sforzi in un riferimento cilindrico1.5.2 Riferimento sfericoIn coordinate cilindriche lo stato di sforzo risulta espresso da:⎡⎤σ r τ rφ τ rθ[σ ij ] = ⎣τ rφ σ φ τ φθ⎦ (1.43)τ rθ τ φθ σ θEsprimendo la (1.40) nel sistema di coordinate sferiche [3] si ottiene:⎧∂σ r∂r + 1 ∂τ rφr ∂θ + 1 ∂τ rθr sin φ ∂θ + 1 r (2σ r − σ φ − σ θ + τ rφ cot φ) + F r = 0⎪⎨∂τ rφ∂r+ 1 ∂σ φr ∂φ + 1 ∂τ φθr sin φ ∂θ + 1 r [(σ φ − σ θ ) cot φ + 3τ rφ ] + F φ = 0⎪⎩∂τ rθ∂r+ 1 ∂τ φθr ∂φ + 1 ∂σ θr sin φ ∂θ + 1 r (2τ φθ cot φ + 3τ rθ ) + F θ = 0(1.44)19

zyxFigura 1.13: Sforzi in un riferimento sferico1.6 EserciziEsercizio 1.1 Si consideri un tubo (D e=36 mm, D i=30 mm) soggetto ad un momentoMt=450 Nm ed una forza F=30 kN. Calcolare:• lo stato di sforzo su un punto della superficie esterna del tubo considerando ilriferimento x − y − z di figura (x direzione radiale ed y circonferenziale);• lo stato di sforzo su un piano inclinato di 45 gradi rispetto agli assi y e z;• valutare l’effetto dell’introduzione di una pressione interna di 10 MPa sullo statodi sforzo calcolato ai punti precedenti.FMtzzxyyFigura 1.14: Schema di un tubo soggetto ad una forza assiale e del piano su cuicalcolare lo stato di sforzo.20

Esercizio 1.2 Calcolare gli sforzi principali nell’esercizio precedente e verificare, attraversoil calcolo degli sforzi principali di s ij le (1.37). Le direzioni principali coincidonocon quelle di σ ij ?Esercizio 1.3 Considerando un albero del diametro d=18 mm soggetto ad una coppiatorcente di 50Nm ed un momento flettente pari a 60 Nm:• ricavare lo stato di sforzo nel punto P;• calcolare gli sforzi principali e da questi ricavare τ max;• calcolare τ ott.ZPXYM fM tFigura 1.15: Schema di un albero soggetto ad un momento flettente ed unmomento torcente.21

Capitolo 2Deformazioni e legamesforzi-deformazioniSi richiamano qui i concetti fondamentali dello stato di deformazione nei solidi, evidenziandole diverse componenti del tensore di deformazione. Si espongono quindi i diversitipi di legame sforzi-deformazioni che verranno utilizzati nel corso 1 .2.1 Spostamenti e piccole deformazioniConsideriamo un solido, di cui la posizione dei diversi punti materiali (con cuipossiamo pensare di schematizzare le particelle elementari) in un dato istante tidentifica la configurazione dell’elemento considerato.Identifichiamo un punto materiale con le coordinate (x, y, z) della posizioneall’istante di tempo t 0 ed immaginiamo che ad un diverso istante t, il solido sitrovi in una diversa configurazione con i diversi punti che hanno subito deglispostamenti u(x, y, z, t) in direzione x, v(x, y, z, t) in direzione y e w(x, y, z, t)in direzione z. Il solido si trova in una configurazione deformata.Dato il campo di spostamenti nel solido possiamo calcolare il corrispondentecampo di deformazioni, nell’ipotesi di piccoli spostamenti. In particolare consideriamoall’istante t tre punti A-B-C che formino tra di loro un angolo di π/2delimitato dai segmenti AB e AC di lunghezza iniziale rispettivamente dx e dy(Fig.2.1). Se consideriamo il segmento AB, possiamo calcolare la deformazionelungo l’asse x come:ɛ x = ∆l u(x + dx, y, z, t) − u(x, y, z, t)= (2.1)ldxNella configurazione deformata la linea AC ruota attorno all’asse z di un angolo:1 a cura di S. Beretta e S. Folettiu(x, y + dy, z, t) − u(x, y, z, t)dy= ∂udy(2.2)22

u(x,y+dy,z,t)CdyAu(x,y,z,t)dxu(x+dx,y,z,t)BFigura 2.1: Spostamento u dei punti A,B e C all’istante t.Similmente, la rotazione del segmento AB attorno all’asse z risulta:v(x + dx, y, z, t) − v(x, y, z, t)dxLo scorrimento γ xy nel piano xy risulta pari a:= ∂vdx(2.3)γ xy = ∂u∂y + ∂v∂x . (2.4)Per un solido 3D nello spazio lo stato di deformazione è descritto da un totaledi sei componenti:ɛ x = ∂u∂x ,γ xy = ∂u∂y + ∂v∂x ,ɛ y = ∂v∂y ,ɛ z = ∂w∂zγ yz = ∂v∂z + ∂w∂y ,γ xz = ∂u∂z + ∂w∂x(2.5)Le Eq. (2.5), scrivendo γ xy = 2ɛ xy , possono essere rimpiazzate dalla notazionesintetica 2 :ɛ ij = 1 ( ∂ui+ ∂u )j(2.6)2 ∂x i ∂x jPoichè γ xy è l’angolo di cui si distorce l’angoloγ xy = γ yx e quindi ɛ ij = ɛ ji .ˆ ABC, si deve dunque essereEsempio 2.1 Si consideri in un sistema di riferimento polare una porzione di materialeABCD sottesa dall’angolo dθ: i punti abbiano coordinate A(r, 0), B(r+dr, 0), C(r, dθ)e D(r + dr, dθ). Supponendo che il corpo si deformi con spostamenti solo radiali (taletipo di problema si dice assialsimmetrico), calcolare le componenti di deformazione.2 vale la notazione: ɛ ii = ɛ i .23

DD'CC'dθA A' B B'Figura 2.2: Deformazione nei problemi assialsimmetriciLe componenti di deformazione si calcolano facilmente con la Eq.(2.1). In particolaredetto u lo spostamento radiale dei punti A e C e u+du lo spostamento dei punti B e D(lo spostamento dipende solo dalla coordinata r), possiamo calcolare le deformazionicome:ɛ r = A′ B ′ − ABABɛ θ = A′ C ′ − ACAC==[(r + dr + u + du) − (r + u)] − drdr[(r + u)dθ] − rdθ= u rdθ r= dudr(2.7)Tali relazioni, cui si può arrivare anche semplificando le (2.86) per tener conto dell’assialsimmetria,verranno impiegate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuniproblemi assialsimmetrici (dischi e cilindri, lastre cilindriche).2.2 Tensore delle deformazioniStante la simmetria ɛ ij = ɛ ji , le deformazioni possono essere rappresentate daltensore del secondo ordine simmetrico:⎡⎤ɛ xx ɛ xy ɛ xz[ɛ ij ] = ⎣ɛ xy ɛ yy ɛ yz⎦ (2.8)ɛ xz ɛ yz ɛ zzConoscendo il tensore delle deformazioni in un riferimento (secondo una ternadi direzioni), le deformazioni ɛ ′ ij in una nuova terna X′ − Y ′ − Z ′ si ricavanoancora attraverso la matrice di trasformazione T con la relazione (simile alla1.6):[ɛ ′ ij] = T · [ɛ ij ] · T T (2.9)dove la matrice di trasformazione è già stata definita in (1.7).24

Per il tensore [ɛ ij ] valgono le stesse proprietà del tensore degli sforzi, in particolareesiste una terna di direzioni che identificano le direzioni dei piani suiquali agiscono le deformazioni principali, ovvero i valori massimi e minimi cheassumono le deformazioni ɛ ii .La ricerca delle deformazioni principali ɛ 1 − ɛ 2 − ɛ 3 può essere effettuataricercando, con gli opportuni algoritmi, gli autovalori della matrice ɛ ij oppurericercando i valori ɛ p che soddisfano la relazione:(ɛ xx − ɛ p ) ɛ xy ɛ xzɛ xy (ɛ yy − ɛ p ) ɛ yz∣ ɛ xz ɛ yz (ɛ zz − ɛ p ) ∣ = 0 (2.10)Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono ledeformazioni principali ɛ p :ɛ 3 p − E 1 ɛ 2 p + E 2 ɛ p − E 3 = 0 (2.11)dove le quantità:⎧E ⎪⎨ 1 = ɛ x + ɛ y + ɛ zE 2 = ɛ x ɛ y + ɛ x ɛ z + ɛ y ɛ z − ɛ 2 xy − ɛ 2 xz − ɛ 2 yz⎪⎩E 3 = ɛ x ɛ y ɛ z + 2ɛ xy ɛ xz ɛ yz − ɛ x ɛ 2 yz − ɛ y ɛ 2 xz − ɛ z ɛ 2 xy(2.12)dove E 1 − E 2 − E 3 sono chiamati invarianti delle deformazioni (come già vistoper gli sforzi, gli invarianti assumono espressioni molto semplici se espressi intermini delle deformazioni principali).Nel riferimento principale il tensore [ɛ ij ] assume la forma diagonale:⎡ ⎤ɛ 1 0 0[ɛ ij ] = ⎣ 0 ɛ 2 0 ⎦0 0 ɛ 3ovvero non vi è nessuna deformazione al taglio: un parallelepipedo orientatosecondo tale riferimento si deformerebbe quindi mantenendo la propria formaortogonale pur cambiando le lunghezze dei tre lati.2.2.1 Deformazione in una direzione nei problemi pianiIn un problema bi-dimensionale, noto lo stato di deformazione in un riferimentoX − Y , lo stato di deformazione in un riferimento X ′ − Y ′ ruotato di un angoloθ si calcola attraverso la matrice T espressa dalla (1.8). In particolare ladeformazione nella direzione X ′ , formante un anglo θ con l’asse X (l’angolo simisura positivo in senso antiorario), risulta:ɛ X ′ = ɛ x cos 2 θ + ɛ y sin 2 θ + γ xy sin θ cos θ (2.13)Tale espressione viene utilizzata per analizzare le misure estensimetriche neiproblemi piani. In particolare, nel caso in cui in cui non si conosca a priori la25

direzione delle deformazioni principali, è necessario misurare le deformazioni intre direzioni per ricavare tutte le componenti di [ɛ ij ] 3 .(a) (b) (c)Figura 2.3: Rilievo delle deformazioni in problemi paini: a) rosetta a 120 gradi; b)rosetta -45/0/45 gradi; c) schema generale di una rosetta.Speciali combinazioni di estensimetri dette rosette estensimetriche sono disponibiliper tale tipo di misure e consistono in tre griglie estensimetriche comunementedisposte con angoli di 120 gradi (disposizione a Y) o 0 − 45 − 90gradi. Considerando una rosetta con griglie a − b − c caratterizzata dagli angoliθ a −θ b −θ c rispetto all’asse X, le deformazioni per i tre sensori si scrivono come:⎧⎪⎨ɛ a = ɛ x cos 2 θ a + ɛ y sin 2 θ a + γ xy sin θ a cos θ aɛ b = ɛ x cos 2 θ b + ɛ y sin 2 θ b + γ xy sin θ b cos θ b (2.14)⎪⎩ɛ c = ɛ x cos 2 θ c + ɛ y sin 2 θ c + γ xy sin θ c cos θ cRisolvendo il sistema si ricavano le componenti di [ɛ ij ] e da queste si ricavanole deformazioni principali e l’angolo di cui ruotare il riferimento per ottenere ledeformazioni principali (vedasi esempio seguente).Esempio 2.2 Si consideri una rosetta estensimetrica con angoli θ a = 0 ◦ , θ b = 60 ◦ eθ c = 120 ◦ , che ha fornito la seguente lettura:ɛ a = 190µɛ ɛ b = 200µɛ ɛ c = −300µɛDeterminare lo stato di deformazione e le deformazioni principali.Dalle Eq. (2.14) si ottiene:⎡ ⎤ ⎡ɛ a1 0 0⎣ɛ b⎦ ⎢ 1 3= ⎣ 4 4ɛ c14√343− √ 34 4⎤⎡⎥⎦ · ⎣⎤ɛ xɛ y⎦γ xySi ottiene:ɛ x = 190µɛ ɛ y = −130µɛ γ xy = 577µɛ3 infatti se non sono note le direzioni principali, il problema ha tre incongnite (ɛ x, ɛ y, γ xy)ed è quindi naturale che servano tre misure per determinarle.26

Per le deformazioni principali si può applicare una formula uguale alla (1.17), inparticolare:√ ( ) 2 ( ) 2ɛx + ɛy ɛx − ɛ y γxyɛ 1,2 = ±+(2.15)222ottenendo:ɛ 1 = 360µɛɛ 2 = −300µɛL’angolo tra la direzione del riferimento principale e l’asse X si calcola ancora con unaformula uguale alla (1.16):2θ p = tan −1 γ xy(2.16)ɛ x − ɛ yda cui si ottiene: θ p = 0.53232 (θ p = 30.5 ◦ ).2.2.2 Deformazione volumicaConsiderando un parallelepipedo di materiale avente volume V = A × B × C,con i lati paralleli agli assi x − y − z (Fig.2.4) le deformazioni risultano:la variazione del volume V risulta:ɛ x = dAdx , ɛ y = dBdy , ɛ z = dCdzdV = ∂V ∂V ∂VdA + dB + dC, (2.17)∂A ∂B ∂Cdividendo per V otteniamo la deformazione volumica:dVV = ɛ V = dA A + dB B + dC C = ɛ x + ɛ y + ɛ z (2.18)zCC+dCBAA+dAyxB+dBFigura 2.4: Calcolo deformazione volumica ɛ v27

2.3 Variazione delle deformazioni in un continuo- Equazioni di congruenzaIn Eq.2.5 si sono ricavate le relazioni tra deformazioni e spostamenti: date 3funzioni continue per gli spostamenti u - v - w è possibile ricavare le 6 componentidelle deformazioni. E’ semplice immaginare che, se integrassimo le ɛ ij perricavare gli spostamenti, le 6 componenti di deformazioni non possano essereindipendenti e deve esistere una certa relazione tra le componenti di deformazione.Ricaveremo queste relazioni dapprima per il caso 2D e poi per il caso3D.Per capire meglio il concetto, prima di sviluppare le relazioni matematiche,consideriamo dapprima una semplice interpretazione geometrica [3] (vedasi Fig.2.5). Consideriamo un solido discretizzato in elementi (a) nella configurazioneindeformata in (b). Consideriamo ora di assegnare agli elementi una deformazionee tentiamo di ricostruire il solido: in (c) gli elementi sono stati deformatiin modo da tener conto della continuità con gli elementi vicini fornendo uncampo continuo di spostamenti, mentre in (d) gli elementi sono stati deformatiindividualmente senza alcun rispetto della continuità con gli elementi adiacenti.Figura 2.5: Raffigurazione del concetto di congruenza delle deformazioni [3].2.3.1 Problemi bidimensionaliDalle Eq.2.5, per un solido 2D possiamo semplicemente scrivere:ɛ x = ∂u∂x ,ɛ y = ∂v∂y ,γ xy = ∂u∂y + ∂v∂x(2.19)28

con derivazioni successive è possibile scrivere le relazioni:∂ 2 ɛ x∂y 2 = ∂3 u∂y 2 ∂x∂ 2 ɛ y∂x 2 = ∂3 v∂x 2 ∂y∂ 2 γ xy∂x∂y =∂3 u∂y 2 ∂x +∂3 v∂x 2 ∂yda cui otteniamo l’equazione di congruenza (nei testi inglesi viene detta compatibilità):∂ 2 ɛ x∂y 2 + ∂2 ɛ y∂x 2 = ∂2 γ xy(2.20)∂x∂yTale equazione differenziale deve essere soddisfatta dalle componenti di deformazioneper assicurare che esistano funzioni u e v continue che possano esprimerele deformazioni attraverso la Eq. 3.3.2.3.2 Problemi tridimensionaliNei problemi tridimensionali si possono scrivere altre due equazioni simili allaEq. 2.20 permutando gli indici x − y − z e si ottiene:⎧⎪⎨⎪⎩∂ 2 ɛ x∂y 2∂ 2 ɛ y∂z 2∂ 2 ɛ x∂z 2+ ∂2 ɛ y∂x 2+∂2 ɛ z∂y 2+∂2 ɛ z∂x 2= ∂2 γ xy∂x∂y=∂2 γ yz∂y∂z=∂2 γ xz∂x∂zAltre tre equazioni possono essere ottenute con uguale procedimento:⎧∂ 2 ɛ x∂y∂z = ∂ (− ∂ɛ yz∂x ∂x + ∂ɛ xz∂y+ ∂ɛ )xy∂z⎪⎨∂ 2 ɛ y∂x∂z = ∂ (− ∂ɛ xz∂y ∂y+ ∂ɛ xy∂z+ ∂ɛ )yz∂x∂ ⎪⎩2 ɛ z∂x∂y = ∂ (− ∂ɛ xy∂z ∂z+ ∂ɛ yz∂x + ∂ɛ )xz∂y(2.21)(2.22)Si può dimostrare che le 6 equazioni differenziali del secondo ordine 2.21 e 2.22sono equivalenti a tre equazioni differenziali del quarto ordine [3].2.3.3 Compatibilità per il FEM*Avendo introdotto la compatibilità attraverso la semplice spiegazione di Fig.2.5, vale la pena approfondire come la compatibilità sia verificata in una analisiad Elementi Finiti.Quando un solido viene discretizzato in elementi finiti, ad essi viene associatoun campo di spostamenti (u(x, y) e v(x, y) per problemi 2D, u(x, y, z), v(x, y, z)e w(x, y, z) per problemi 3D) che permetta di interpolare gli spostamenti nodali,29

garantendo la compatibilità. Solitamente si assume una funzione polinomiale,per esempio per u(x, y) si adotta una funzione del tipou(x, y) = β 1 + β 2 x + β 3 y + β 4 xy + β 5 x 2 + ... (2.23)Il numero di coefficienti deve essere uguale al numero di nodi per permetterel’interpolazione (per esempio, un elemento a quatto nodi potrà avere soltantoquattro termini). La scelta di questi termini è dettata dal rispetto della condizionedi compatibilità, cioè in modo tale da evitare compenetrazioni o lacerazioninel modello quando i nodi dell’elemento subiscono spostamenti 4 . All’internodell’elemento la condizione di compatibilità è automaticamente soddisfatta inquanto la funzione polinomiale è continua.Resta allora da garantire la compatibilità tra un elemento e l’altro, cioè leespressioni dei campi di spostamento per elementi diversi aventi un lato in comunedevono essere uguali quando valutate lungo questo lato comune. Nel casodi elementi a quattro nodi, la scelta che rispetta questa condizione corrispondea un’espressione del tipo:u(x, y) = β 1 + β 2 x + β 3 y + β 4 xy (2.24)Si può facilmente verificare che quando valutata lungo un lato, per esempio illato 1-2 dell’elemento di Fig. ??, l’espressione (2.24) diventa lineare. Infattiponendo x = x 2 = x 3 , si avrà un espressione del tipo:u(x, y) = β 1 + β 2 x 2 + β 3 y + β 4 x 2 y = α 1 + α 2 y (2.25)dove i valori dei coefficienti α 1 e α 2 dipenderanno solo dai valori assunti daglispostamenti nodali u 1 e u 2 dei nodi 1 e 2 posti agli estremi del lato in questione.Questa considerazione vale in generale, qualsiasi sia l’elemento avente i nodi1 e 2 ai vertici di un lato, pertanto l’espressione sarà la stessa per l’elementostudiato e per quello adiacente avente il lato 1-2 in comune. La condizione dicompatibilità risulta allora soddisfatta.yvxu4321u 1u 2Figura 2.6: Compatibilità degli spostamenti in elementi a 4 nodi.4 Il termine costante β 1 deve essere presente per poter rappresentare moti rigidi.30

2.4 Legame elastico lineare per materiali isotropiNei materiali solidi isotropi le deformazioni, finchè non si raggiunge un livello disforzo vicino alla condizione di snervamento del materiale, sono funzioni linearidegli sforzi attraverso le relazioni:⎧ɛ x = 1/E [ σ x − ν(σ y + σ z ) ]ɛ y = 1/E [ σ y − ν(σ x + σ z ) ]ɛ z = 1/E [ σ z − ν(σ x + σ y ) ]⎪⎨2(1 + ν)γ xy = τ xy(2.26)E2(1 + ν)γ yz = τ yzE⎪⎩2(1 + ν)γ xz = τ xzEdove E è il modulo di Young, ν è il modulo di Poisson e G =E2(1+ν)è il modulodi elasticità tangenziale. Nella sezione 2.5 (che verrà aggiunta per gli studenti2010/11) si esaminerà il legame di Hooke generalizzato. Nel seguito di questasezione si esaminano alcune applicazioni e conseguenze delle (2.26).Esempio 2.3 Dato un recipiente sottile in acciaio chiuso ai fondi (ai fini di questoproblema non è rilevante la forma dei fondi) di diametro D=400 mm e spessore s=5mm soggetto alla pressione interna p=10 [MPa], ricavare lo spostamento radiale delfasciame cilindrico del recipiente.Lo stato di sforzo nel recipiente è dato da:σ θ = p · D2sLa deformazione circonferenziale risulta:= 400 MPa σ z = p · D4sɛ θ = σ θ1 − ν/2E= 0.0017= 200 MPaLo spostamento radiale risulta quindi (dalla (2.7)): u = 0.34 mm.Esempio 2.4 Si consideri un materiale sollecitato lungo l’asse z, che è confinato inmodo che la deformazione lungo l’asse y sia impedita ma che possa invece deformarsilungo l’asse x (come se il materiale fosse all’interno di uno stampo rigido). Ricavarelo sforzo σ y e la rigidezza E ′ = σ z/ɛ z.Imponendo ɛ y = 0 nella seconda delle (2.26) si ricava:La deformazione lungo z risulta:σ y = νσ zɛ z = 1 E (σz − ν2 σ z) = 1 − ν2Eσz31

zσ zmaterialeystampoxFigura 2.7: Schema di un materiale la cui deformazione lungo y è impedita.La rigidezza del materiale lungo la direzione z è quindi:E ′ = σzɛ z= E1 − ν 2Qundi l’impedire una deformazione risulta in una maggiore rigidezza del materiale sesollecitato nelle altre direzioni.2.4.1 Direzione sforzi e deformazioni principaliPensando all’analisi sperimentale dello stato di deformazione tramite rilievo conestensimetri, sorge spontanea la domanda se la direzione delle deformazioniprincipali è la stessa degli sforzi principali.Analizzando uno stato piano di deformazione, possiamo riscrivere la eq.(2.13) come (consideriamo la deformazione ɛ θ = ɛ X ′):ɛ θ = ɛ x + ɛ y2+ ɛ x − ɛ y2· cos 2θ + γ xy2sin 2θ (2.27)Sostituendo i valori delle deformazioni espressi in termini degli sforzi tramitela legge di Hooke per un materiale isotropo, è quindi possibile calcolare queivalori di θ p per i quali dɛ θ /dθ = 0 (stiamo dunque cercando la direzione delledeformazioni principali). Risolvendo si ottiene:dɛ θdθ = 0 → tan 2θ p = 2 1+νEτ xy1+νE (σ x − σ y ) = 2τ xy(σ x − σ y )ovvero in campo elastico lineare la direzione degli sforzi principali coincide conla direzione delle deformazioni principali. Questo risultato è generalizzabile aqualsiasi problema elastico lineare con materiale isotropo.32

Esempio 2.5 Si consideri lo stato di deformazione dell’esempio 2.2: calcolare gli sforziprincipali.In un problema piano la direzione perpendicolare alla superficie libera è scarica equindi σ z = 0. Con questa condizione è possibile calcolare gli sforzi principali tramiteinversione delle (2.26) ottenendo:⎧⎪⎨ σ 1 =E ( )ɛ1 + νɛ1 − ν 2 2⎪⎩ σ 2 =E ( )ɛ2 + νɛ1 − ν 2 1(2.28)da cui: σ 1 = 59.34 MPa e σ 2 = −42.2 MPa (nella realtà gli sforzi principali, in accordoalla regola σ 1 > σ 2 > σ 3, sono: σ 1 = 59.34, σ 2 = 0 e σ 3 = −42.2) .2.4.2 Sforzo idrostatico e deformazione volumicaIntroducendo le Eq.(2.26) nella definizione di deformazione volumica ɛ V nerisulta:ɛ V = 1 − 2νE (σ x + σ y + σ z ) (2.29)da cui si può vedere come la deformazione volumica sia controllata da I 1 (oppuredallo sforzo idrostatico σ h = I 1 /3). Va anche annotato, per il comportamentoplastico, come per ν = 0.5 → ɛ V = 0.33

2.5 Legame sforzi-deformazioni in campo elastico2.5.1 Convenzione degli indici ripetutiPrima di introdurre il legame sforzi-deformazioni in campo elastico è opportunoricordare la convenzione degli indici ripetuti.In un’espressione la presenza di un indice ripetuto sottointende il simbolo disommatoria:a i x i =n∑a i x i = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . a i x i + . . . a n x n (2.30)i=1Utilizzando la convenzione degli indici ripetuti diventa immediato scriverealcune operazioni matriciali come, per esempio, il prodotto tra due matrici:⎡⎤a 11 a 12 a 13[A] = ⎣a 21 a 22 a 23⎦ (2.31)a 31 a 32 a 33e⎡[B] = ⎣ b ⎤11 b 12 b 13b 21 b 22 b 23⎦ (2.32)b 31 b 32 b 33come[C] = c ij = [A] [B] =⎡⎣ a ⎤ ⎡11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦ ⎣ b ⎤11 b 12 b 13b 21 b 22 b 23⎦ = a ik b kj con i, k, j = 1, 2, 3a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33(2.33)dove l’indice ripetuto k deve essere inteso, vedi Eq.(2.30), come sommatoria:a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j (2.34)Scrivendo per esteso il prodotto a ik b kj si ottiene:⎡⎤a 1k b k1 a 1k b k2 a 1k b k3⎣a 2k b k1 a 2k b k2 a 2k b k3⎦ =a 3k b k1 a 3k b k2 a 3k b k3⎡⎤a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33⎣a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33⎦a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 32 b 23 + a 33 b 33(2.35)che, come è facile dimostare, è uguale al prodotto tra due matrici [A] e [B].34

2.5.2 Legge di Hooke generalizzataUtilizzando la convenzione degli indici ripetuti è possibile esprimere la legge diHooke generalizzata che stabilisce il legame elastico tra le componenti di sforzoe quelle di deformazione:σ ij = C ijkl ɛ kl con i, j, k, l = 1, 2, 3 (2.36)dove σ ij e ɛ kl rappresentano rispettivamente il tensore del secondo ordine deglisforzi e quello delle deformazioni. Il legame lineare elastico e rappresentato daltensore C ijkl del quarto ordine.In riferimento all’Eq.(2.36) la prima componente del tensore degli sforzi puòessere scritta come:σ 11 = C 11kl ɛ kl =C 1111 ɛ 1111 + C 1112 ɛ 1112 + C 1113 ɛ 1113+ C 1121 ɛ 1121 + C 1122 ɛ 1122 + C 1123 ɛ 1123+ C 1131 ɛ 1131 + C 1132 ɛ 1132 + C 1113 ɛ 1133(2.37)e in maniera analoga è possibile scrivere tutte le altre componenti del tensoredegli sforzi. Il tensore C ijkl , considerando che ciascun indice può variare da 1 a 3,presenta quindi 3×3×3×3 = 81 costanti. Introducendo la simmetria del tensoredegli sforzi e di quello delle deformazioni il numero di costanti indipendenti siriduce. La simmetria del tensore dgli sforzi impone che:e quindi:σ ij = σ ji (2.38)che impone la seguente condizione:σ ij = C ijkl ɛ kl = σ ji = C jikl ɛ kl (2.39)C ijkl = C jikl (2.40)che riduce il numero di costanti indipendenti. Si consideri per esempio il casoi = 1, j = 2:σ 12 = C 12kl ɛ kl = σ 21 = C 21kl ɛ kl (2.41)che introduce le seguenti 9 relazioni tra le 81 costanti:⎧C 1211 = C 2111C 1212 = C 2112C 1213 = C 2113⎪⎨ C 1221 = C 2121C 12kl = C 21kl = C 1222 = C 2122(2.42)C 1223 = C 2123C 1231 = C 2131C 1232 = C 2132⎪⎩C 1233 = C 213335

iducendo il numero di costanti indipendenti a 81 − 9 = 72.Le stesse relazioni possono anche essere scritte per:{C13kl ɛ kl = C 31kl ɛ klC 23kl ɛ kl = C 32kl ɛ kl(2.43)ciascuna delle quali introduce altre 9 relazioni, portando il numero complessivoa 72 − 2 × 9 = 54 costanti indipendenti.Estendendo il ragionamento alla simmetria del tensore delle deformazioni,ɛ kl = ɛ lk , si possono scrivere altre relazioni che diminuiscono il numero dellecostanti indipendenti. Si può dimostare che le nuove relazioni sono pari a 6 × 3,riducendo finalmente il numero di costanti indipendenti a 54−6×3 = 36 costanti.Queste 36 costanti indipendenti prendono il nome di moduli di rigidezza.Il legame tra le deformazioni e gli sforzi, vedi Eq.(2.36), può essere invertito,esprimendo le deformazioni in funzione degli sforzi, nel seguente modo:ɛ ij = S ijkl σ kl (2.44)In maniera analoga a quanto visto in precedenza è possibile dimostare che ilnumero di costanti indipendenti del tensore del quarto ordine S ijkl è pari a 36.Queste 36 costanti indipendenti prendono il nome di moduli di cedevolezza.2.5.3 Rappresentazione matricialeIn alcune situazione, come per esempio l’implementazione della legge di Hookein codici numerici, è conveniente introdurre la rappresentazione matriciale dellegrandezze tensoriali prima definite.A questo scopo il tensore degli sforzi, costituito da 9 componenti delle qualisolo 6 indipendenti, può essere scritto come un vettore:⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ 1 σ 11σ 2σ 22[σ] =σ 3⎢σ 4=σ 33⎥ ⎢σ 23(2.45)⎥⎣σ 5⎦ ⎣σ 13⎦σ 6 σ 12dove valgono le seguenti sostituzioni tra gli indici della notazione tensoriale equella matriciale:11 → 1 22 → 2 33 → 323 → 4 13 → 5 12 → 6Allo stesso modo il tensore delle deformazioni può essere scritto come:(2.46)36

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ɛ 1 ɛ 11 ɛ 11ɛ 2ɛ 22ɛ 22[σ] =ɛ 3⎢ɛ 4=ɛ 33⎥ ⎢2ɛ 23=ɛ 33⎥ ⎢γ 23⎥⎣ɛ 5⎦ ⎣2ɛ 13⎦ ⎣γ 13⎦ɛ 6 2ɛ 12 γ 12(2.47)dove è stata introdotta anche la notazione ingegneristica dello scorrimento angolareγ ij .Con questa notazione il tensore del quarto ordine C ijkl , formato dai 36moduli di resistenza, diventa una matrice 6 × 6:σ ij = C ijkl ɛ kl =⇒ [σ] = [C] [ɛ] = σ i = C ij ɛ j =⇒⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤σ 1 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 ɛ 1σ 2C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26ɛ 2σ 3⎢σ 4=C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36ɛ 3⎥ ⎢C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46⎥ ⎢ɛ 4⎥⎣σ 5⎦ ⎣C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56⎦ ⎣ɛ 5⎦σ 6 C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ɛ 6(2.48)dove la matrice [C] prende il nome di matrice di rigidezza e presenta 36costanti.Si può dimostare che la matrice di rigidezza è simmetrica. Considerandoinfatti il lavoro elastico per un’unità di volume:e derivando, si ottiene:∂W∂ɛ iW = 1 2 σ kɛ k (2.49)= σ i e ∂W∂ɛ j= σ j (2.50)Derivando ulteriormente, introducendo il legame elastico lineare, e imponendola condizione di uguaglianza tra le derivate miste si ottiene la simmetria dellamatrice di rigidezza:∂ 2 W= C ji = ∂2 W= C ij =⇒ C ij = C ji (2.51)∂ɛ i ∂ɛ j ∂ɛ j ∂ɛ iche porta a concludere che la matrice di rigidezza è simmetrica, riducendoulteriormente il numero di costanti indipendenti a 21:⎡⎤C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26C ij =C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36⎢C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46(2.52)⎥⎣C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56⎦C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 6637

In maniera analoga si può definire la matrice di cedevolezza [S]:ɛ ij = S ijkl σ kl =⇒ [ɛ] = [S] [σ] = ɛ i = S ij σ j =⇒⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ɛ 1 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 σ 1ɛ 2S 12 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26σ 2ɛ 3⎢ɛ 4=S 13 S 23 S 33 S 34 S 35 S 36σ 3⎥ ⎢S 14 S 24 S 34 S 44 S 45 S 46⎥ ⎢σ 4⎥⎣ɛ 5⎦ ⎣S 15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 56⎦ ⎣σ 5⎦ɛ 6 S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 σ 6(2.53)2.5.4 Simmetria nei materialiI materiali possono presentare delle simmetrie che riducono ulteriormente ilnumero delle costanti indipendenti della matrice di rigidezza.Un materiale presenta una simmetria rispetto a due sistemi di riferimento,x i e x ′ i , se la matrice di rigidezza che lega sforzi e deformazioni rimane la stessa:σ ij = C ijkl ɛ kl ⇐⇒ σ i = C ij ɛ jσ ′ ij = C ′ ijklɛ ′ kl ⇐⇒ σ ′ i = C ′ ijɛ ′ j(2.54)Quindi se C ijlk = Cijlk ′ .Piano di simmetriaSi ipotizzi che il materiale abbia un comportamento simmetrico rispetto al pianox 1 − x 2 , vedi Figura 2.8.Piano di simmetria materiale (1)26x 3σ σ’ 33 33σ 32σ’ 32σ σ’ 2323σ 31 σ’ 31σ σ’ 2222x′2x 2σσ’ 13 13σ 21 σ’ 21σ σ’ 1212σ σ’ 11 11Piano di simmetria xx 1 Piano di simmetria x 1-x 2x′1-x 21⎡1R =⎢⎢0⎢⎣00100 ⎤0⎥⎥−1⎥⎦x′3Figura 2.8: Piano di simmetria materiale.Si può definire la matrice di rotazione per passare dal sistema di riferimento⎡1 0⎤0x i al sistema x ′ i : T = ⎣0 1 0 ⎦ (2.55)0 0 −138

ottenendo:[σ ′ ] = [T ] [σ] [ T T ] =⇒⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13′ 1 0 0 σ 11 σ 12 σ 13 1 0 0⎣σ 12 ′ σ 22 ′ σ 23′ ⎦ = ⎣0 1 0 ⎦ ⎣σ 12 σ 22 σ 23⎦ ⎣0 1 0 ⎦ =⇒σ 13 ′ σ 23 ′ σ 33′ 0 0 −1 σ 13 σ 23 σ 33 0 0 −1⎡⎤ ⎡⎤σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13′ σ 11 σ 12 −σ 13⎣σ 12 ′ σ 22 ′ σ 23′ ⎦ = ⎣ σ 12 σ 22 −σ 23⎦σ 13 ′ σ 23 ′ σ 33′ −σ 13 −σ 23 σ 33e pasando alla notazione vettoriale, Eq.(2.45) e Eq.(2.46):⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ 1′ σ σ 2′ 11′ σ 11 σ 1σ ′ σ 3′ 22σ 22σ 2⎢σ 4′ =σ 33′ ⎥ ⎢σ ′ =σ 33⎣σ 5′ 23⎥⎢−σ 23=σ 3⎥ ⎢−σ 4⎥⎦ ⎣σ ′ ⎦ ⎣σ 6′ 13 −σ 13⎦ ⎣−σ 5⎦σ 12′ σ 12 σ 6Lo stesso procedimento può essere esteso alle deformazioni, ottenendo:⎡⎢⎣ɛ ′ 1ɛ ′ 2ɛ ′ 3ɛ ′ 4ɛ ′ 5ɛ ′ 6⎤ ⎡ ⎤ɛ 1ɛ 2=ɛ 3⎥ ⎢−ɛ 4⎥⎦ ⎣−ɛ 5⎦ɛ 6Introducendo la matrice di rigidezza si può scrivere:(2.56)(2.57)(2.58)σ i = C ij ɛ j =⇒ σ i = C i1 ɛ 1 + C i2 ɛ 2 + C i3 ɛ 3 + C i4 ɛ 4 + C i5 ɛ 5 + C i6 ɛ 6 (2.59)nel sistema di riferimento x i , e in maniera analoga:σ ′ i = C ′ ijɛ ′ j =⇒ σ ′ i = C ′ i1ɛ ′ 1 + C ′ i2ɛ ′ 2 + C ′ i3ɛ ′ 3 + C ′ i4ɛ ′ 4 + C ′ i5ɛ ′ 5 + C ′ i6ɛ ′ 6 (2.60)nel sistema di riferimento x ′ i .Considerando per esempio i = 1 si ottiene:σ 1 = C 11 ɛ 1 + C 12 ɛ 2 + C 13 ɛ 3 + C 14 ɛ 4 + C 15 ɛ 5 + C 16 ɛ 6 (2.61)e, considerando l’Eq.(2.58) e la simmetria che impone C ij = C ′ ij :σ ′ 1 = C ′ 11ɛ ′ 1 + C ′ 12ɛ ′ 2 + C ′ 13ɛ ′ 3 + C ′ 14ɛ ′ 4 + C ′ 15ɛ ′ 5 + C ′ 16ɛ ′ 6= C ′ 11ɛ 1 + C ′ 12ɛ 2 + C ′ 13ɛ 3 − C ′ 14ɛ 4 − C ′ 15ɛ 5 + C ′ 16ɛ 6= C 11 ɛ 1 + C 12 ɛ 2 + C 13 ɛ 3 − C 14 ɛ 4 − C 15 ɛ 5 + C 16 ɛ 6(2.62)39

Ricordando infine che σ 1 = σ ′ 1, vedi Eq.(2.57), si ottiene:{C14 = −C 14C 15 = −C 15(2.63)che presenta come unica soluzione C 14 = C 15 = 0.Allo stesso modo si può dimostrare che:Tre piani di simmetriaC 24 = C 25 = C 34 = C 35 = C 46 = C 56 = 0 (2.64)Estendendo il discorso precedente al caso di 3 piani di simmetria si ottiene, vediFig.(2.8):Piano di simmetria x 1 − x 2 : C 14 = C 15 = C 24 = C 25 = C 34 =Piano di simmetria x 2 − x 2 := C 35 = C 46 = C 56 = 0C 16 = C 26 = C 36 = C 45 = 0(2.65)Piano di simmetria x 1 − x 3 : nessuna condizione aggiuntiva su C ijLa matrice di rigidezza diventa così formata da 9 costanti indipendenti:⎡⎤C 11 C 12 C 13 0 0 0C 12 C 22 C 23 0 0 0C ij =C 13 C 23 C 33 0 0 0⎢ 0 0 0 C 44 0 0⎥⎣ 0 0 0 0 C 55 0 ⎦0 0 0 0 0 C 66(2.66)Asse di simmetria Materiale trasversalmente isotropo32⎡C⎢⎢C⎢C⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎣ 0Figura 2.9: Asse di simmetria.11 12 122112x 3x’ 3x’θ2θx 2x 1x’ 1CCC2223 40000CCC2322000C22000−C20023Materiale trasversalmente isotasse di simmetria rotazionale x0000C66000000C66⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦5 moduli di rigid

Con procedimento analogo al precedente si può dimostare che nel caso dimateriale che presenta una simmetria rispetto ad una asse di rotazione x 1 , vediFig.(2.9), il numero di costanti indipendenti della matrice di rigidezza si riducea 5:⎡⎤C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 22 C 12 0 0 0C ij =C 12 C 12 C 33 0 0 0C⎢ 0 0 0 22−C 3320 0(2.67)⎥⎣ 0 0 0 0 C 66 0 ⎦0 0 0 0 0 C 66Tre assi di simmetriaNel caso di 3 assi di simmetria il numero di costanti indipendenti si riduce a 2:⎡⎤C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 11 C 12 0 0 0C ij =C 12 C 12 C 11 0 0 0C⎢ 0 0 0 11−C 1220 0(2.68)⎥⎣C0 0 0 011−C 1220 ⎦0 0 0 0 02.5.5 Materiale anisotropoC 11−C 122Un materiale anisotropo non presenta nessun simmetria. La matrice di rigidezza,o cedevolezza, è formata da 21 costanti indipendenti, vedi Eq.(2.52) e Eq.(2.53).2.5.6 Materiale ortotropoUn materiale ortotropo presenta 3 piani di simmetria riducendo il numero dicostanti indipendenti a 9, vedi Eq.(2.66).Le 9 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto ai modulidi elasticità E i e ai coefficienti di Poisson ν ij valutati sperimentalmente nellediverse direzioni del materiale ortotropo.La matrice di cedevolezza può così essere scritta come:ɛ i = S ij σ j =⇒ [ɛ] = [C] [σ]⎡ ⎤ ⎡1ɛ 1 E ɛ 21− ν21E 2− ν31E 30 0 0− ν12 1E =⇒ɛ 31 E 2− ν32E 30 0 0− ν13E ⎢ɛ 4=1− ν23 1E 2 E 30 0 01⎥0 0 0⎣ɛ 5⎦ ⎢G 230 01⎣ 0 0 0 0G 130ɛ610 0 0 0 0dove per simmetria valgono le seguenti relazioni:⎤⎥⎦G 12⎡ ⎤σ 1σ 2σ 3⎢σ 4⎥⎣σ 5⎦σ 6(2.69)41

⎧ν 21= ν 12E ⎪⎨ 2 E 1ν 31= ν 13(2.70)E 3 E 1ν ⎪⎩ 23= ν 32E 2 E 3Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come:σ i = C ij ɛ j =⇒ [σ] = [C] [ɛ] =⇒⎡ ⎤ ⎡ 1−νσ23ν 32 ν 21+ν 23ν 31 ν 31+ν 21ν 32⎤ ⎡ ⎤1E 2E 3∆ E 2E 3∆ E 2E 3∆0 0 0 ɛ 1σ 2ν 21+ν 23ν 31 1−ν 13ν 31 ν 32+ν 12ν 31E 2E 3∆ E 1E 3∆ E 1E 3∆0 0 0ɛ 2σ 3ν 31+ν 21ν 32 ν 32+ν 12ν 31 1−ν 12ν 21⎢σ 4=E 2E 3∆ E 1E 3∆ E 1E 2∆0 0 0ɛ 3⎥ ⎢ 0 0 0 G 23 0 0⎥ ⎢ɛ 4⎥⎣σ 5⎦ ⎣ 0 0 0 0 G 13 0 ⎦ ⎣ɛ 5⎦σ 6 0 0 0 0 0 G 12ɛ 6(2.71)dove:∆ = (1 − ν 12ν 21 − ν 23 ν 32 − ν 13 ν 31 − 2ν 21 ν 32 ν 13 )E 1 E 2 E 3(2.72)2.5.7 Materiale isotropoUn materiale isotropo presenta 3 assi di simmetria riducendo il numero dicostanti indipendenti a 2, vedi Eq.(2.68).Le 2 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto al modulodi elasticità E e al coefficienti di Poisson ν.La matrice di cedevolezza può così essere scritta come:dove si può dimostare che:ɛ i = S ij σ j =⇒ [ɛ] = [S] [σ]⎡ ⎤ ⎡1ɛ 1 E− ν E ɛ 2− ν ⎤ ⎡ ⎤E0 0 0 σ 1− ν 1E E− ν E0 0 0=⇒ɛ 3⎢ɛ 4=− ν E− σ 2ν 1E E0 0 0σ 31⎥ ⎢ 0 0 0G0 0⎥ ⎢σ 4⎥⎣ɛ 5⎦ ⎣10 0 0 0G0 ⎦ ⎣σ 5⎦1ɛ 6 0 0 0 0 0 σG 6(2.73)G =E2 (1 + ν)(2.74)Tale legame può anche essere espresso in maniera semplice utilizzando lanotazione indiciale:42

dove:ɛ ij = 1 + νE σ ij − ν E σ kkδ ij (2.75)e δ ij rappresenta il delta di Kronecker:σ kk = σ 11 + σ 22 + σ 33 (2.76)δ ij ={ 1 se i = j0 se i ≠ jE’ possibile anche introdurre la notazione tensoriale:(2.77)dove:ɛ ij = S ijkl σ kl (2.78)S ijkl = − ν E δ ijδ kl + 1 + ν2E (δ ikδ jl + δ jk δ il ) (2.79)Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come:σ i = C ij ɛ j =⇒ [σ] = [C] [ɛ] =⇒⎡ ⎤ ⎡(1−ν)E⎤νEνEσ 1 (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν)0 0 0⎡ ⎤ɛ 1σ 2νE(1−ν)EνEσ 3(1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν)0 0 0ɛ 2νEνE(1−ν)E⎢σ 4=(1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν)0 0 0ɛ 3⎥⎣σ 5⎦ ⎢ 0 0 0 G 0 0⎥ ⎢ɛ 4⎥⎣ 0 0 0 0 G 0 ⎦ ⎣ɛ 5⎦σ 60 0 0 0 0 Gɛ 6(2.80)dove:G =E2 (1 + ν)Anche in questo caso è possibile introdurre la notazione indiciale:(2.81)dove:σ ij =E1 + ν ɛ νEij −(1 + ν)(1 − 2ν) ɛ kkδ ij (2.82)ɛ kk = ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 (2.83)E’ possibile infine anche introdurre la notazione tensoriale:dove:σ ij = C ijkl ɛ kl (2.84)43

νEC ijkl = −(1 + ν)(1 − 2ν) δ Eijδ kl +2(1 + ν) (δ ikδ jl + δ jk δ il ) (2.85)44

2.6 AppendiceE’ utile scrivere le relazioni tra spostamenti e deformazioni nei riferimenti, diversida quello cartesiano finora adottato, cilindrico e sferico. Tali relazioniverranno utilizzate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuni problemi relativiallo stato di sforzo.Riferimento cilindrico (r, θ, z)Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, z), le deformazioni si esprimonocome:ɛ r =⎧⎪ ∂u∂r , ɛ θ = 1 ( ) ∂vr ∂θ + u , ɛ z = ∂w∂z( 1 ∂u⎨ γ rθ =r ∂θ + ∂v∂r − v )r( ∂wγ rz =∂r + ∂u )(2.86)∂r(⎪ ∂v⎩ γ θz =∂z + 1 )∂wr ∂θRiferimento sferico (r, θ, φ)Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, φ) (dove φ misura l’angolotra il raggio considerato e la direzione positiva dell’asse z) , le deformazioni siesprimono come:⎧ɛ r = ∂u∂r , ɛ θ = 1 ( ) ∂vr ∂θ + u , ɛ z = 1r sin θ( 1 ∂u⎪⎨ γ rθ =r ∂θ + ∂v∂r − v )r( ∂wγ rφ =∂r − w r + 1 )∂ur sin θ ∂φ⎪⎩ γ θφ = 1 (sin θ ∂w)∂v− w cos θ +r sin θ ∂θ ∂φ( ∂w∂φ + u sin θ + v cos θ )(2.87)45

Parte IIProblemi elastici46

Capitolo 3Soluzione analitica diproblemi elastici pianiSi illustra la soluzione di una serie di problemi elastici importanti sulla base del potenzialedi Airy. Questo tipo di analisi sono sono dello stesso tipo di quelle adottate per le lastrepiane e lo stato di sforzo all’apice di fratture 1 .3.1 Problemi piani3.1.1 Stato di sforzo pianoConsideriamo ora il problema della determinazione dello stato di sforzo in unsolido bidimensionale sottile in cui le facce laterali siano scariche (Fig. 3.1(a)).In tal caso σ z , σ xz , σ yz = 0 e lo stato di sforzo si riduce alle sole componenti:[σx σ xyσ y]che devono anche soddisfare le condizioni al contorno:{σx n x + σ xy n y = t xσ xy n x + σ y n y = t y(3.1)dove t x , t y sono le componenti delle forze di superficie applicate bordo del solidoe n x , n y sono le componenti del versore che definisce la direzione della normale albordo. Risolvere lo stato di sforzo nel solido significa ricavare le tre componentiincognite con le condizioni già viste:1 a cura di S. Beretta e M. Sangirardi47

(a)(b)Figura 3.1: Problemi piani: a) stato di sforzo piano; b) stato di deformazionepiana.equazioni di equilibrio:legame sforzi-deformazioni⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∂σ x∂x + ∂σ xy∂y = 0∂σ xy∂x+ ∂σ y∂y = 0 (3.2)ɛ x = 1 E (σ x − νσ y ), ɛ y = 1 E (σ y − νσ x ), γ xy = 2(1+ν)Eɛ z = ν E (σ x + σ y ) γ xz = γ yz = 0σ xy(3.3)Sembra ragionevole pensare che nella membrana bidimensionale che stiamo considerandogli spostamenti u, v siano funzione solo delle variabili x ed y e chenon vi sia alcuno spostamento w fuori dal piano: nella realtà ɛ z ≠ 0 e quindi lamembrana varia di spessore da punto a punto.3.1.2 Stato di deformazione pianaSe consideriamo u = u(x, y) e v = v(x, y) insieme con la condizione γ xz = γ yz =0, dalle Eq.2.5 si ricava che:∂w∂x = ∂w∂y = 0ovvero w è indipendente da x ed y e, se consideriamo dei problemi come quelloin Fig.3.1(b) in cui il corpo è esteso indefinitamente nella direzione z, ci immaginiamofacilmente che ɛ z non dipenda da z. Poichè ɛ z = ∂w/∂z ne segue cheɛ z = c = cost.48

Questo tipo di stato di deformazione corrisponde a quello di un solido in cuile dimensioni del corpo lungo z fanno sì che le sezioni (perpendicolari all’assez) si mantengano piane. Se come in Fig.3.1(b) il corpo è vincolato lungo z, ladeformazione è impedita e ɛ z = 0 2 . Dalle Eq.2.5 si ricava che in tale condizione:Il legame sforzi-deformazioni risulta quindi:(σ x −ɛ x = 1 − ν2Eɛ y = 1 − ν2Eγ xy =σ z = ν(σ x + σ y ) (3.4)(σ y −ν )1 − ν σ yν )1 − ν σ x2(1 + ν)σ xy , γ xz = γ yz = 0E(3.5)Lo stato di deformazione piana è quindi corrispondente allo sforzo piano con leposizioni (come già visto anche nell’esempio 2.4):3.1.3 SoluzioneĒ =E1 − ν 2 , ¯ν = ν1 − νSe ricordiamo la Eq. (2.20) di congruenza:∂ 2 ɛ x∂y 2+ ∂2 ɛ y∂x 2= ∂2 γ xy∂x∂yesprimendo le deformazioni in termini degli sforzi si ottiene:∂ 2∂y 2 (σ x − νσ y ) + ∂2∂x 2 (σ y − νσ x ) = 2(1 + ν) ∂2 σ xy∂x∂y(3.6)Derivando rispetto a x e y le equazioni di equilibrio e facendo la somma di taliderivate si ottiene:∂ 2 σ x∂x 2+ ∂2 σ y∂y 2= −2∂2 σ xy∂x∂y(3.7)Introducendo tale equazione in quella precedente finalmente è possibile riscriverela Eq.(2.20) come:( )∂2∂x 2 + ∂2∂y 2 (σ x + σ y ) = 0 (3.8)Questa equazione, insieme con le equazioni al contorno, permette di risolvere informa chiusa dei problemi elastici 2D. L’ulteriore importante osservazione è cheσ x +σ y deve essere una funzione armonica indipendente dalle caratteristiche delmateriale.2 Se non vi fossero vincoli la condizione ɛ z = c si può ottenere facilmente sovrapponendoallo stato di sforzo corrispondente a ɛ z = 0 uno sforzo uniforme che annulli la risultante deglisforzi in z.49

3.2 Funzione di AiryUn modo particolarmente efficace di trovare soluzioni per problemi elastici 2D fuproposto da Airy [1] che formulò che la soluzione potesse essere trovata tramiteuna funzione Φ = Φ(x, y) detta funzione di sforzo tale che:⎧σ x = ∂2 Φ∂y 2⎪⎨⎪⎩σ y = ∂2 Φ∂x 2σ xy = − ∂2 Φ∂x∂y(3.9)Introducendo tali posizioni, che soddisfano le condizioni di equilibrio, nellaEq.(3.8) si ottiene:∂ 4 Φ∂x 4 + 2 ∂4 Φ∂x 2 y 2 + ∂4 Φ∂y 4 = 0 (3.10)ovvero la funzione Φ deve essere biarmonica. Questo semplifica la ricerca dellasoluzione dei problemi elastici in quanto esistono dei metodi per ’costruire’funzioni biarmoniche [5]. Nel seguito esaminiamo alcuni semplici esempi.3.2.1 Semplici esempi di funzione ΦConsideriamo dapprima Φ in termini di un semplice polinomio del secondoordine:Φ = a 22 · x2 + b 2 · xy + c 22 · y2 (3.11)Per le (3.9) risulta:⎧⎨⎩σ x = c 2σ y = a 2(3.12)σ xy = −b 2ovvero la (3.11) rappresenta la funzione di sforzo che descrive una membranasoggetta ad uno stato di sforzo uniforme. Una funzione polinomiale del terzoordine del tipo:Φ = a 36 · x3 + b 32 · x2 y + c 32 · xy2 + d 36 · y3 (3.13)fornisce delle componenti di sforzo che variano linearmente con le coordinatex, y: ⎧⎨⎩σ x = c 3 x + d 3 yσ y = a 3 x + b 3 yσ xy = −b 3 x − c 3 yse solo d 3 ≠ 0 allora le componenti di sforzo diventano:⎧⎨ σ x = d 3 yσ y = 0⎩σ xy = 0(3.14)(3.15)50

ovvero la Φ descrive una membrana soggetta a flessione semplice.3.2.2 Soluzioni per serieSemipiano elastico con pressione cosinusoidaleyxLLFigura 3.2: Semipiano indefinito caricato da una pressione tipo cos kx.Consideriamo un semipiano elastico caricato da uno sforzo σ y = σ 0 cos kx conk = 2π/L. Poichè lo stato di sforzo superficiale ha una risultante nulla (su unalunghezza d’onda L) ci si aspetta che ad una distanza sufficiente all’interno delsemispazio elastico lo stato di sforzo si annulli. Se consideriamo una funzionedi sforzo del tipo:Φ(x, y) = f(y) · cos kx (3.16)introducendo tale funzione nella Eq.(3.10) ne risulta una equazione differenziale:la cui soluzione è del tipo:d 4 fdy 4 − 2k2 d2 fdy 2 + k4 f = 0 (3.17)f(y) = A · e ky + B · e −ky + C · y · e ky + D · y · e −ky (3.18)Le costanti A, B, C, D si ricavano con le condizioni al contorno. In particolarela condizione che per y → ∞ lo stato di sforzo si annulli impone che A = C = 0.Ricavando le componenti di sforzo ed imponendo le condizioni al contorno siricavano le costanti B e D, in particolare:{ {σy (x, 0) = σ 0 cos kx B = −σ0 /k 2→σ xy (x, 0) = 0D = −σ 0 /kLo stato di sforzo nel semipiano elastico risulta quindi:⎧⎪⎨σ y = (1 + ky)σ 0 · e −ky · cos kxσ x = (1 − ky)σ 0 · e −ky · cos kx⎪⎩σ xy = −kσ 0 · y · e −ky · sin kx(3.19)51

Si può facilmente verificare come lo stato di sforzo diminuisca rapidamente all’internodel semipiano elastico (ad esempio risulta σ y (x, L) = 0.014σ 0 cos kx),confermando il principio di Saint-Venant.Barretta caricata assialmente da una pressione localeConsideriamo il problema di una barretta caricata su due lati da una pressionecostante q su un segmento di lunghezza 2a. La pressione q può essererappresentata dalla seguente serie:q = A 0 +∞∑m=1A m cos mπxL(3.20)dove:A 0 = qa LA m = 1 L∫ a−aq cos mπxLdx = 2q sin(mπa/L)mπLa Φ che risolve il problema conterrà un termine in x 2 e dei termini come quellidella Eq.(3.16) per ognuna delle m armoniche. Lo stato di sforzo [1] σ y risulta:σ y = − qa ∞∑ sin αa (αc cosh αc + sinh αc) cosh αy − αy sinh αy sinh αccos αxL msinh 2αc + 2αcm=1(3.21)in cui α = mπ/L.Se immaginiamo il caso di una barretta caricata da una forza P concentratasi può utilizzare la stessa soluzione immaginando che a → 0 e qa = P/2. Inparticolare la distribuzione di sforzo σ y nella barretta appare quasi uniformegià ad una distanza pari alla larghezza della barretta, similmente ai risultati giàottenuti con lo smorzamento delle tensioni nel semipiano elastico, in accordo alprincipio di Saint-Venant.52

aaqcycxqLLFigura 3.3: Barretta caricata da una pressione localizzata.PcyxcLLP(a)(b)Figura 3.4: Barretta caricata da un carico concentrato: a) schema; b) soluzione [1].53

3.3 Problemi in coordinate polariE’ interessante applicare la metodologia di soluzione di Airy a problemi elasticiin coordinate polari: vediamo dapprima come si esprimono le equazionifondamentali in coordinate polari e poi vedremo alcune soluzioni in termini difunzione di sforzo. Il legame tra spostamenti e deformazioni in coordinate polariè:ɛ r = ∂u r∂r , ɛ θ = u rr + ∂u θr∂θ , γ rθ = ∂u rr∂θ + ∂u θ∂r − u θ(3.22)rIl legame tra sforzi e deformazioni è simile a quello delle coordinate rettangolari:ɛ r = 1 E (σ r − νσ θ ), ɛ θ = 1 E (σ θ − νσ r ), γ xy =Le condizioni di equilibrio in coordinate polari risultano:⎧∂σ r ⎪⎨∂r + 1 r⎪⎩ 1r∂τ rθ∂θ+ σ r − σ θr+ b r = 0∂σ θ∂θ + ∂τ rθ∂r+ 2τ rθr + b θ = 02(1 + ν)σ rθ (3.23)E(3.24)Se cerchiamo di esprimere la Eq.(3.8) in coordinate polari conviene prima ditutto scrivere le componenti di sforzo nel nuovo sistema di riferimento. DalleEq.(1.9) si ottiene (scrivendo in funzione dell’angolo 2θ 3 ):⎧⎪⎨⎪⎩σ r = σ x + σ y2σ θ = σ x + σ y2σ rθ = − σ x − σ y2+ σ x − σ y2− σ x − σ y2sin 2θ + σ xy cos 2θDa tali equazioni si può facilmente verificare che:σ x + σ y = σ r + σ θcos 2θ + σ xy sin 2θcos 2θ − σ xy sin 2θ(3.25)Poichè il laplaciano di una funzione f si può esprimere come:( ) ( ∂2∂x 2 + ∂2 ∂2∂y 2 f =∂r 2 + ∂ )r∂r +∂2r 2 ∂θ 2 f (3.26)si può esprimere la Eq.(3.8) come:( ∂2∂r 2 +∂r∂r +)∂2r 2 ∂θ 2 (σ r + σ θ ) = 0 (3.27)3 ricordando che cos 2 θ = (1 − cos 2θ)/2, sin 2 θ = (1 + cos 2θ)/2 e 2 sin θ cos θ = sin 2θ54

La funzione di Airy in coordinate polari è una funzione Φ tale che:⎧σ r = 1 ∂Φr ∂r ⎪⎨+ ∂2 Φr 2 ∂θ 2σ θ = ∂2 Φ∂r 2⎪⎩ σ rθ = 1 ∂Φr 2 ∂θ − 1 ∂ 2 Φr ∂r∂θ(3.28)Con tali posizioni, che soddisfano le condizioni di equilibrio, la (3.27) diventa:( ∂2∂r 2 + ∂ )(r∂r +∂2 ∂ 2 Φr 2 ∂θ 2 ∂r 2 + ∂Φ )r∂r + ∂2 Φr 2 ∂θ 2 = 0 (3.29)Problemi assialsimmetriciConsideriamo ora un sottoinsieme di problemi elastici piani: i problemi elasticinei quali lo stato di sforzo e deformazione non dipende da θ (lo sforzo e deformazioneè uguale per ogni θ e possiamo quindi dire che ogni piano radiale è disimmetria). In tali condizioni l’unico campo di spostamento è u r e le Eq.(3.22)si semplificano in:ɛ r = ∂u r∂rɛ θ = u rrγ rθ = 0 (3.30)Immaginiamo per i problemi assialsimmetrici una funzione di sforzo Φ = Φ(r),in tal caso l’equazione biarmonica diventa una equazione differenziale:( d2dr 2 + 1 )(d d 2 Φr dr dr 2 + 1 )dΦ(3.31)r drche ammette una soluzione del tipo:Φ(r) = A log r + Br 2 log r + Cr 2 + D (3.32)3.3.1 Membrana forata soggetta a carico biassialeConsideriamo il problema di una membrana contenente un foro di raggio ae soggetta ad un carico remoto S biassiale (Fig.3.6), il problema può essererisolto sulla base della Φ(r) prima vista. In particolare le componenti di sforzorisultano:⎧⎪σ r = A + B(1 + 2 log r) + 2C⎨ r2 ⎪ ⎩σ θ = − A + B(3 + 2 log r) + 2Cr2 σ rθ = 0(3.33)55

SS2aSSFigura 3.5: Membrana forata soggetta ad uno sforzo remoto S biassiale (S, S, 0)Poichè per r → ∞ lo sforzo deve essere finito deve essere B = 0 4 , imponendole ulteriori condizioni al contorno si ottengono le costanti A e C. In particolare:{σr = S per r → ∞σ r (a) = 0→{ 2C = SA = −Sa 2Lo stato di sforzo nella membrana forata risulta quindi:( ) ( )σ r = S 1 − a2rσ 2 θ = S 1 + a2r 2(3.34)Si può vedere come per r = a risulta σ θ = 2S, ovvero nella membrana soggettaad un carico biassiale un foro piccolo (piccolo rispetto alle dimensioni dellamembrana) crea una concentrazione di sforzo con K t = 2.3.3.2 Foro in una membrana indefinita soggetto a caricoradialeConsideriamo una membrana indefinita con una foro di raggio a soggetta ad uncarico radiale S. La soluzione è ancora del tipo precedente con:⎧σ r = A ⎪⎨ r 2 + 2Cσ θ = − A r ⎪⎩2 + 2C(3.35)σ rθ = 04 il termine B corrisponde a spostamenti non assialsimmetrici [1] e può venire annullatoanche imponendo che il campo di spostamenti del problema in esame (come in questo caso)sia assialsimmetrico.56

S2aFigura 3.6: Membrana forata soggetta ad un carico radiale SImponendo le condizioni al contorno si ottiene la distribuzione di sforzo:⎧{σr = 0 per r → ∞⎪⎨ σ r = S a2→r 2(3.36)σ r (a) = S⎪⎩ σ θ = −S a2r 2Possiamo quindi dire che un carico distribuito sul contorno del foro da unaconcentrazione di sforzo locale con un K t = −1.Esempio 3.1 Si può arrivare allo stesso risultato immaginando che lo stato di sforzodi Fig. 3.6 sia la sovrapposizione di due stati di sforzo qui di seguito rappresentati, dicui il primo è uno stato di sforzo biassiale uniforme.SSSSSSS2a2aS(a)S(b)Figura 3.7: Membrana forata soggetta a carico assiale come sovrapposizione di:a) sforzo uniforme; b) sforzo (−S, −S, 0).57

3.3.3 Membrana forata soggetta a taglioConsideriamo la membrana forata indefinita già esaminata soggetta ad unosforzo remoto (0, 0, S):σ x = 0 σ y = 0 σ xy = Slo sforzo remoto in coordinate polari risulta:σ r = S sin 2θ σ θ = −S sin 2θ σ rθ = S cos 2θPer θ = π/4 si ha σ r = S, σ θ = −S, σ rθ = 0 che corrisponde allo stato di sforzonelle direzioni principali (Fig.3.8(b)). Ricordando le Eq.(3.28) ricerchiamo,come già visto in Sez.3.2.2, una funzione di sforzo del tipo:Φ(r, θ) = f(r) sin 2θCon tale posizione l’equazione biarmonica diventa:( d2dr 2 + 1 dr dr − 4 )( d 2 fr 2 dr 2 + 1 dfr dr − 4f )r 2(3.37)Inserendo una soluzione del tipo f(r) = r m si ottengono le 4 radici 2, −2, 0, 4e corrispondentemente la funzione di sforzo sarà:Φ(r, θ) =(Ar 2 + Br 4 + C )r 2 + D sin 2θ (3.38)SSBASS2a(a)2a(b)Figura 3.8: Membrana forata soggetta a taglio: a) sforzo (0, 0, S); b) sforzo incoordinate polari (è evidenziato lo stato di sforzo per θ = π/4).58

Le componenti di sforzo risultano:⎧ (σ r = − 2A + 6Cr⎪⎨4 + 4D )r 2 sin 2θ(σ θ = 2A + 12Br 2 + 6C )r 4 sin 2θ(⎪⎩ σ rθ = − 2A − 6Br 2 + 6Cr 4 + 2D )r 2 cos 2θImponendo le condizioni al contorno:{σr = S sin 2θ per r → ∞σ rθ = S cos 2θ per r → ∞ → {A = −S/2B = 0e: { {σr (a) = 0σ rθ (a) = 0 →D = Sa 2C = −Sa 4 /2Lo stato di sforzo nella membrana risulta quindi:⎧σ r = S ( 1 + 3 a4r 4 − ) 4a2 sin 2θr 2⎪⎨⎪⎩σ θ = −S ( 1 + 3 a4) sin 2θr4 σ rθ = S ( 1 − 3 a4r 4 + 2a2r 2 )cos 2θ(3.39)Se analizziamo lo stato di sforzo nei punti A (θ = π/4) e B (θ = 3π/4) sul bordodel foro otteniamo: ⎧⎪⎨⎪ ⎩σ θ (a, π 4 ) = −4Sσ θ (a, 3 π) = 4S4Considerando lo stato di sforzo remoto (di trazione per θ = π/4 e di compressioneper θ = 3π/4), ne possiamo concludere che uno sforzo remoto tangenzialeprovoca sul bordo del foro un fattore di concentrazione degli sforzi K t = 4 incorrispondenza delle direzioni degli sforzi principali.3.3.4 Membrana forata soggetta a carico assialeSoluzione analiticaLo stato di sforzo nella membrana (vedasi il riferimento di Fig.3.9) risulta:⎧σ r = S (1 + cos 2θ)2 ⎪⎨σ θ = S (1 − cos 2θ)(3.40)2⎪⎩ σ rθ = − S 2 sin 2θ59

ISAyBθrxIIS2aFigura 3.9: Membrana forata soggetta ad un carico assiale.Dovendo imporre le condizioni al contorno remoto e sul foro circolare scarico, sipuò utilizzare una funzione di Airy del tipo:Φ(r, θ) = Ar 2 + B log r + Cr 2 cos 2θ + D cos 2θ + F cos 2θ (3.41)r2 Tramite le Eq.(3.28) si ottengono le componenti di sforzo. Imponendo che perr → ∞ lo stato di sforzo equivalga alle (3.40) si ottiene:{A = S/4Imponendo che per r = a:{σr (a, θ) = 0σ rθ (a, θ) = 0La distribuzione finale di sforzo risulta:⎧⎪⎨σ r (r, θ) = S 2 − Sa22r 2 + S 2σ θ (r, θ) = S 2 + Sa22r 2 − S 2⎪⎩ σ rθ (r, θ) = − S 2Sul bordo del foro lo sforzo risulta:C = −S/4→⎧⎨⎩B = −Sa 2 /2F = Sa 2 /2D = −Sa 4 /4cos 2θ + 3Sa4 cos 2θ − 2Sa22r4 r 2 cos 2θcos 2θ − 3Sa4 cos 2θ2r4 Sa2sin 2θ + 3Sa4 sin 2θ −2r4 σ r = 0σ θ = S · (1 − 2 cos 2θ)τ rθ = 0I massimi e minimi di σ theta sono:σ θ,A = 3S per θ = π/2, 3π/2σ θ,B = −S per θ = 0, πr 2 sin 2θ (3.42)(3.43)60

Se consideriamo la sezione I − I, che passa per il centro del foro e corrispondea θ = π/2, gli sforzi dalla (3.42) risultano (Fig. 3.10):σ r = 3 ( ) a22 S r 2 − a4r 4σ θ = 1 ()2 S 2 + a2r 2 + 3a4 r 4τ rθ = 0(3.44)E’ facile vedere il carattere locale della concentrazione di sforzo in quanto σ θdecresce molto rapidamente e tende allo sforzo S. Già per r/a = 5 si ottieneσ θ = 1.02S e quindi a partire da una tale distanza l’effetto del foro è trascurabile.Lungo la linea II − II (θ = 0) gli sforzi sono (Fig. 3.11):σ r = 1 ()2 S 2 − 5 a2r 2 + 3a4 r 4σ θ = 1 ( ) a22 S r 2 − 3a4 r 4τ rθ = 0(3.45)Anche in questo caso va annotato il carattere locale dello sforzo circonferenzialein B, l’andamento di σ θ cambia di segno in quanto la risultante di tali sforzilungo la linea II − II deve essere nulla.Soluzione come sovrapposizione degli effettiSe consideriamo una membrana caricata da uno sforzo (0, S, 0) si può notarecome lo stato di sforzo possa ottenersi come sovrapposizione dei due stati di32.5! "/ S! r/ S2! "/ S, ! r/ S1.510.501 2 3 4 5 6 7 8 9 10r/aFigura 3.10: Sforzi adimensionalizzati lungo la linea I − I.61

10.8! "/ S! r/ S0.60.4! "/ S, ! r/ S0.20−0.2−0.4−0.6−0.8−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10r/aFigura 3.11: Sforzi adimensionalizzati lungo la linea II − II.sforzo mostrati in Fig.3.12 dei quali già conosciamo le soluzioni. In particolarenel punto A (sulla base dei K t delle sezioni precedenti) lo stato di sforzocirconferenziale risulta:σ θ = 2 · (0.5S) + 4 · (0.5S) = 3S0.5 S0.5 S0.5 S0.5 S0.5 S0.5 S0.5 S(a)0.5 S(b)Figura 3.12: Membrana forata soggetta a carico assiale come sovrapposizione di:a) sforzo (0.5S, 0.5S, 0); b) sforzo (−0.5S, 0.5S, 0).e nel punto B:σ θ = 2 · (0.5S) − 4 · (0.5S) = −SLo stato di sforzo lungo le linee I e II può altresì essere ottenuto sovrapponendoσ r e σ θ dei due casi.62

3.3.5 Carico concentrato su un semispazio elasticoData una membrana caricata da una forza concentrata P (P è una forza per unitàdi lunghezza poichè ripartita sull’intero spessore della membrana di spessoreunitario, Fig. 3.13), è possibile calcolare in modo semplice la distribuzione disforzo esatta nella membrana. Poichè per r → ∞ lo sforzo deve annullarsi èfacile immaginare (anche dal punto di vista dimensionale) che le componenti disforzo debbano essere espressi da relazioni del tipo:Se ipotizziamo una funzione di sforzo del tipo:σ ij (r, θ) = P r g ij(θ) (3.46)Φ = rP f(θ) (3.47)introducendo nella Eq.(3.29) diventa una equazione differenziale ordinaria:la cui soluzione è:f + 2 d2 fdθ 2 + d4 fdθ 4 = 0 (3.48)f(θ) = A sin θ + B cos θ + Cθ sin θ + Dθ cos θ (3.49)Ne risulta una funzione di sforzo:Φ = rP ( A sin θ + B cos θ + Cθ sin θ + Dθ cos θ ) (3.50)Poichè i termini in sin θ e cos θ non danno contributi agli sforzi (essendo x =r cos θ ed y = r sin θ) e cerchiamo una soluzione tale che σ r sia simmetricarispetto a θ = 0, se ne ricava che la funzione di sforzo sarà:Φ(r, θ) = rP Cθ sin θ (3.51)Figura 3.13: Carico P concentrato sul bordo di una membrana.63

La costante C si ricava imponendo che lungo una semicirconferenza di raggio rvi sia equilibrio alla traslazione in x:∫ π/2−π/2σ r cos θrdθ = −P (3.52)da cui si ottiene C = −1/π. Le equazioni dello stato di sforzo risultano:⎧⎨σ r = − 2P cos θπ r⎩σ θ = σ rθ = 0(3.53)ovvero la forza P da origine solo a degli sforzi radiali mentre le altre componentidi sforzo sono nulle. E’ importante annotare come lo stato di sforzo sia singolare,ovvero per r → 0 σ r → ∞: tuttavia in un componente vero a mitigarequesta singolarità interviene la non-linearità del contatto (se immaginiamo adesempio il contatto di una superficie cilindrica di raggio qualunque sul semipianoelastico, il contatto idealmente è puntiforme come in Fig.3.13 ma gli sforzifanno deformare le superfici a contatto facendo aumentare l’area di contatto)ed eventualmente la plasticizzazione localizzata nella zone di applicazione delcarico.Se calcoliamo le componenti di sforzo nel riferimento X − Y di Fig. 3.13 aduna distanza h dal bordo della membrana otteniamo:⎧σ x = σ r cos 2 θ = − 2P cos 3 θ= − 2P⎪⎨π r πh cos4 θσ y = σ θ sin 2 θ = − 2Pπh sin2 θ cos 2 θ(3.54)⎪⎩σ xy = σ rθ sin θ cos θ = − 2Pπh sin θ cos3 θL’andamento di tali sforzi è riportato in Fig.3.15: si nota come gli sforzi (il cuivalore massimo è inversamente proporzionale ad h) decrescano rapidamente conla distanza dalla retta di applicazione del carico.Una soluzione approssimata σ ∗ x per la componente di sforzo nella direzione delcarico può essere trovata immaginando che gli sforzi σ ∗ x dovuti a P si sviluppinosu un settore angolare del semipano di semiampiezza π/4 [6]. Il valore ditale sforzo vale σ ∗ x = −P/2h e sottostima del 27% il valore massimo effettivoσ x,max = −2P/πh.64

0.4" x0.2" y# xy02P/(! h)−0.2−0.4−0.6−0.8−1−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5y/hFigura 3.14:semipiano.Sforzi per un carico localizzato ad una distanza h dal bordo delPyh45°45°xhσ* xhFigura 3.15: Calcolo approssimato degli sforzi di contatto σ ∗ x ad una distanza hdal bordo del semipiano [6].65

3.4 EserciziEsercizio 3.1 Consideriamo a contatto due corpi rugosi (rugosità con una lunghezzad’onda L = 20 [µm]): immaginiamo che la pressione di contatto p che si scambiano idue corpi sia descrivibile come sovrapposizione di una componente costante più unacomponente sinusoidale. A quale profondità dalla superficie non si risente più delladistribuzione non uniforme della pressione ?Esercizio 3.2 Data una membrana forata soggetta allo stato di sforzo (espresso inMPa) (100, 60, 50). Calcolare: i) l’andamento dello sforzo σ θ sul bordo del foro; ii) ivalori massimi e minimi dello sforzo σ θ ; iii) le direzioni per le quali σ θ è massimo cosarappresentano per il tensore [σ ij] dello stato di sforzo remoto ?Esercizio 3.3 Data una membrana forata soggetta allo stato di sforzo generico (S x, S y, 0)ricavare un’espressione analitica della concentrazione di sforzo nei punti A e B (vedasiFig.3.9) al variare della biassialità λ = S x/S y.Esercizio 3.4 Risolvere lo stesso caso di Es.3.2 tramite la soluzione dell’esercizioprecedente.66

Capitolo 4Intagli e concentrazione disforzoSi riprendono alla luce del Cap. 2 i concetti di coefficiente d’intaglio, già esposti nelCorso di Costruzione di Macchine 1, illustrando il concetto di ellisse equivalente e comesi possano applicare a problemi reali i dati/grafici dei coefficienti d’intaglio disponibili inletteratura per geometrie semplificate 1 .4.1 Concentrazione di sforzo nella membrana forataNel Cap. 2 abbiamo visto come la concentrazione di sforzo al bordo di un foroin una membrana indefinita sia caratterizzato da una una concentrazione disforzo con σ θ,max = 3 · S per θ = ±π/2 (dove S è lo sforzo remoto applicato).Richiamando il concetto di coefficiente d’intaglio:K t = σ maxσ nom(4.1)si ricava che il coefficiente d’intaglio per un foro in una lastra indefinita (ovverouna lastra molto più grande delle dimensioni del foro) è K t = 3.Se consideriamo una applicazione reale in cui una lastra di dimensioni finiteè soggetta ad uno sforzo assiale σ, si può vedere come il coefficiente d’intagliodiminuisca al variare del rapporto d/H (Fig. 4.1) partendo da un valore 3 perd/H = 0 (quando d → 0 il foro è infinitesimo rispetto alle dimensioni della lastratorniamo al caso visto nel capitolo precedente). La ragione di tale variazioneè che, pensando all’analogia idrodinamica già vista nel corso di Costruzione diMacchine 1 [4], il flusso degli sforzi intorno al foro diminuisce all’aumentare delledimensioni dello stesso. In particolare riferendosi alla sezione nominale minima1 a cura di S. Beretta67

Figura 4.1: Coefficiente d’intaglio in una membrana forata di dimensioni finite [7].della lastra:σ nom =σ(4.2)H − ded il coefficiente d’intaglio K t può essere approssimato con la formula [7] (ottenutacome interpolazione di risultati sperimentali):(K t = 2 + 1 − d ) 3(4.3)HSe il coefficiente d’intaglio viene invece riferito alla sezione lorda - K t,g - la concentrazionedi sforzo tende invece a salire, perché all’aumentare delle dimensionidel foro si riduce sempre di più la sezione minima e lo sforzo nominale tende adinnalzarsi rispetto allo sforzo remoto σ. In particolare:K t,g =K t(1 − d/H)(4.4)L’effetto della superficie libera su K t,g è simile a quello che si ritroverà sul fattoredi forma per esprimere il SIF all’apice delle fratture.68

4.2 Membrana con foro ellitticoNel caso di una membrana di dimensioni indefinite contenente un foro ellitticodi semiassi a, b e soggetta ad uno sforzo remoto σ (in direzione y), lo stato disforzo può essere espresso in diverse formulazioni abbastanza complicate. Quelloche qui ci interessa annotare è che lo sforzo tangente al foro in A risulta:σ A =(1 + 2a b)· σ (4.5)mentre quello in B risulta σ B = −σ (come nel foro circolare) indipendentementedal rapporto a/b. Il coefficiente d’intaglio per un foro ellittico è quindi:K t = 1 + 2a b(4.6)che può altresì essere riscritta come:√ tK t = 1 + 2ρ(4.7)dove t = a è la semilarghezza della cavità e ρ è il raggio di curvatura in A (perun ellisse ρ = b 2 /a).Figura 4.2: Membrana con foro ellittico [7].Esempio 4.1 Si consideri una membrana indefinita soggetta ad uno sforzo di 100[MPa] contenente un foro ellittico delle dimensioni 20, 10 [mm]: valutare la concentrazionedi sforzo al variare della giacitura della cavità (asse maggiore orizzontale o69

verticale).Consideriamo dapprima l’asse del foro orizzontale: in tal caso 2a = 20 [mm] e 2b = 10[mm]: per la Eq.(4.6) risulta K t = 5. Al semiasse maggiore è presente uno sforzoσ A = 500 [MPa] ed al semiasse minore uno sforzo σ B = −100 [MPa].Nell’altra giacitura dell’ellisse K t = 2: lo sforzo massimo sulla periferia del foro èpari a 200 [MPa].La Eq. (4.7) mostra come per ρ → 0 (come nel caso di una cavità ellittica chesi assottiglia fino a diventare una frattura) lo stato di sforzo diventi singolarecon σ A → ∞. Nel caso di fratture abbandoneremo il K t ed analizzeremo lostato di sforzo (per eseguire le verifiche di resistenza) sulla base del SIF (StressIntensity Factor), un parametro che descrive l’intensità del campo di sforzosingolare all’apice della frattura.4.3 Determinazione dello stato di sforzo in organidi macchina4.3.1 Ellisse equivalenteLa determinazione esatta dello stato di sforzo indotto da intagli di varia formapresenti negli organi di macchina va fatta sulla base di geometrie (più o menosemplificate) presenti nei manuali oppure attraverso analisi numeriche.Tuttavia è possibile in molti casi ricavare indicazioni di prima approssimazione,peraltro in molti casi vicine al vero, senza bisogno di analisi complicateadottando il concetto di ellisse equivalente.!8!" 8 $!!9!%$"!" ) $)!#$"!:#!!!#$%&'&'(!)**+$,-.$/0!/1!.23!,/0,3*.!/1!345$6-+30.!3++$*73!Figura 4.3: Foro di forma romboidale [8].70

Consideriamo ad esempio il caso della cavità romboidale di Fig. 4.3 in unamembrana soggetta allo sforzo remoto σ. Per stimare il coefficiente d’intaglionel punto A immaginiamo un’ellisse che abbia la stessa larghezza della cavitàed lo stesso raggio di raccordo ρ A . Il coefficiente d’intaglio può essere stimatocome:√ aK t,A = 1 + 2ρ A!!""!#$%&'&'(!!)**+$,-"$./!.0!"12!,./,2*"!.0!234$5-+2/"!2++$*62!Figura 4.4: Intaglio sul bordo di una membrana [8].Consideriamo ora un intaglio a V sul bordo di una membrana: anche in questocaso si può adottare il concetto di ellisse equivalente, immaginando un’ellisseche approssima la forma sulla base della profondità e del raggio di raccordo alfondo dell’intaglio. In particolare risulta dalla Eq.(4.7):!√ tK t = 1 + 2ρEsempio 4.2 Si consideri un intaglio semicircolare sul bordo di una membra: stimareil coefficiente d’intaglio.Adottando in questo caso la Eq.(4.7) risulta: K t,A∼ = 3. Il valore vero del coefficiented’intaglio è K t = 3.06 [7]. La ragione per cui questa concentrazione di sforzo è moltoσAσFigura 4.5: Intaglio semicircolare.71

simile a quella di un foro è che nell’intaglio semicircolare sul bordo manca, rispettoalla membrana forata, la presenza degli sforzi σ θ : il loro effetto è modesto in A giacchéhanno una risultante nulla (lo stesso vale per una cavità semi-ellittica).Esempio 4.3 Si consideri un foro tangente al bordo di una membrana semi-infinitasoggetta ad un sforzo remoto σ (questo semplice caso schematizza una inclusione odifetto appena sotto la superficie di un pezzo): stimare il coefficiente d’intaglio nelpunto A.σA2rσFigura 4.6: Foro al bordo di una membrana semi-infinita.In questo caso applicando ancora la Eq.(4.7) risulta: K t,A∼ = 3.828, molto vicino alvalore esatto K t = 4 [7].4.3.2 Intagli multipliNel caso di due o più intagli presenti in una stessa posizione ci troviamo inpresenza di una concentrazione multiple di sforzo. Un esempio è quello dellaFig. 4.7 in cui sul bordo di un foro è ricavato un piccolo intaglio semicircolare.Figura 4.7: Intagli multipli [7]: a) piccolo intaglio semicircolare al bordo di un foro;b) schematizzazione dell’intaglio.72

In casi come questo in cui le dimensioni geometriche di un intaglio sono moltominori di quelle dell’altro si può ragionare in questo modo:• lo stato di sforzo indotto dal foro è K t1 = 3;• lo stato di sforzo indotto dal piccolo intaglio semicircolare non è in gradodi perturbare la distribuzione di sforzo intorno al foro grande e diconseguenza l’intaglio è investito da uno sforzo pari a K t1 · σ;• l’intaglio è approssimabile all’intaglio semicircolare al bordo di una membranasemi-infinita e caratterizzato da K t2 = 3.06.In conseguenza dei punti precedenti la concentrazione di sforzo al bordo dell’intagliorisulta:K t1,2 = K t1 · K t2 = 9.18Un altro caso simile è quello di un foro al fondo di uno spallamento o la gola diun albero: considerando un albero con un foro piccolo al fondo di una gola (comesi verifica per i fori di lubrificazione in alberi motore) soggetto a torsione, dettoK t,tors il coefficiente d’intaglio a torsione dell’albero, al bordo del foro si ha K t =4·K t,tors . Nel caso invece di intagli di dimensioni simili le considerazioni sempliciFigura 4.8: Intagli multipli [7]: albero con un foro piccolo al fondo di una gola incui il K t è ricavabile tramite moltiplicazione dei coefficienti d’intaglio.sopraesposte non possono essere applicate (Fig. 4.9(a)): la concentrazione disforzo può essere stimata sulla base del concetto di ellisse equivalente. Unsimile concetto si può applicare anche al caso di gole negli alberi (Fig. 4.9(b)),scegliendo geometrie sostitutive (intagli a U o iperbolici) con la stessa profonditàe raggio al fondo.4.3.3 Sovrapposizione degli effettiNel caso un pezzo sia soggetto a diversi carichi, lo stato di sforzo al fondo degliintagli si ottiene come semplice sovrapposizione degli effetti. In particolare,73

(a)(b)Figura 4.9: Intagli multipli costituiti da geometrie di dimensione simile non risolvibilicon la moltiplicazione dei coefficienti d’intaglio: a) foro con intagli ellittici; b)albero con gola doppia.Figura 4.10: Sovrapposizione di carichi su un elemento intagliato.74

considerando una membrana sottile cui siano applicati un carico assiale ed unacoppia flettente, detti:σ max,1 = K t,1 · σ nom,1σ max,2 = K t,2 · σ nom,2gli sforzi massimi dovuti rispettivamente a P ed M, lo sforzo al fondo dell’intagliorisulta:σ max = σ max,1 + σ max,2 = K t,1 · σ nom,1 + K t,2 · σ nom,2 (4.8)Nel caso di componenti soggetti a carichi che provocano componenti sforzo diverseal fondo di un intaglio, come nel caso di un albero soggetto a carichi cheinducono sforzi normali (azione assiale P e coppia flettente M) e sforzi di taglio(una coppia torcente T ), si sovrappongono gli effetti e si ricorre quindi ad unopportuno criterio di cedimento (statico o fatica) per lo stato di sforzo compostocome mostrato nel successivo esempio.Esempio 4.4 Si consideri una gola semicircolare di raggio r = 2 [mm] in un alberodel diametro D = 50 [mm] soggetto ai seguenti carichi: P = 40 [kN], M = 1000 [Nm],T = 500 [Nm]. Calcolare lo sforzo equivalente (criterio della τ ottaedrale) al fondodell’intaglio.Figura 4.11: Sovrapposizione di carichi su un albero con una gola semicircolare.Per effetto dell’azione assiale (K t = 2.70) lo sforzo massimo è σ max,P = 38.18 [MPa]e per effetto del momento flettente (K t = 2.45) lo sforzo massimo σ max,M = 225.65[MPa]: lo sforzo normale massimo al fondo della gola è quindi σ max = 263.83 [MPa].Lo sforzo tangenziale massimo (K t = 1.75) è τ max = 40.28 [MPa].Essendo in prima approssimazione uno stato di sforzo piano (trascurando le componenticirconferenziali dello sforzo normale) la sollecitazione di confronto si calcolacome:σ∗ = √ σ 2 max + 3 · τ 2 max = 272.89 [MPa]75

Capitolo 5Problemi assialsimmetriciSi considera una classe particolare di problemi assialsimmetrici, molto comuni nelle applicazionimeccaniche. A questa classe di problemi appartengono dischi e cilindri soggetti apressioni radiali e a effetti di forze centrifughe dovute a rotazione con velocità angolare ωcostante 1 .5.1 Problema termoelastico lineareSi considerano una classe particolare di problemi assialsimmetrici in cui le condizionidi carico, gli sforzi e le deformazioni dipendono solo dalla coordinataradiale r. Sia per gli effetti elastici sia per gli effetti termici si fa l’ipotesi cheil mezzo sia isotropo. Le componenti del generico stato di sforzo sono σ r , σ θ ,σ z , funzioni solo della coordinata radiale r, come indicato nella Fig. 5.1(a) eτ r,θ = τ r,z = τ θ,z = 0. Quindi σ r , σ θ , σ z sono sforzi principali. Su un elementinoYdθσ rrdrσ θF rXσ θσ r + dσ r(a)(b)Figura 5.1: Problemi assialsimmetrici: a) stato di sforzo; b) equilibrio radialeelemento.1 a cura di A. Loconte e S. Beretta76

isolato in coordinate cilindriche agisce, oltre agli sforzi di superficie, anche laforza di massa per unità di volume F r .Scrivendo la condizione di equilibrio in direzione radiale (l’unica non identicamentesoddisfatta) si ha:−σ r·rdθdz+(σ r +dr)·(r+dr)·dθdz−2σ θ drsin dθ2 ·dz+F R(r + dr )·dθdrdz = 02(5.1)Sviluppando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al terzo e dividendoper dz dθ si ricava:σ r dr + dσ r r − σ θ dr + F R rdr = 0σ r + dσ rdr r − σ θ + F R r = 0Infine l’equazione di equilibrio in direzione radiale si scrive:ddr (σ rr) − σ θ + F R r = 0 (5.2)Una porzione di materiale (come nella Fig. 5.1(a)(a)) sottesa dall’angolo dθpuò solo muoversi in direzione radiale con uno spostamento u. Considerando lecomponenti di deformazioni di tale caso, nell’esempio 2.1 avevamo ottenuto leEq. (2.1):ɛ r = du ɛ θ = u dr rche possiamo combinare in:d(ɛ θ r)drper ottenere l’equazione di congruenza:= dudr = ɛ rd(ɛ θ r)− ɛ r = 0 (5.3)drAlla equazione di congruenza si devono aggiungere le condizioni al contorno ela legge costitutiva del materiale così espressa dalle relazioni termoelastiche:ɛ r = 1 E [σ r − ν (σ θ + σ z )] + α T (r)ɛ θ = 1 E [σ θ − ν (σ r + σ z )] + α T (r)(5.4)ɛ z = 1 E [σ z − ν (σ r + σ θ )] + α T (r)Si introduce a questo punto la funzione di sforzo Φ ′ (r) che diventa l’incognitadel problema, essa rende identicamente soddisfatta l’equazione di equilibrio. Inquesto caso si pone:σ r r = Φ ′σ θ = dΦ′dr + F R r77(5.5)

La funzione Φ ′ si determina mediante l’equazione di congruenza espressa intermini di sforzo attraverso la legge costitutiva. Considerando quanto già vistonel Cap. 4, si può dire che la funzione Φ ′ è la derivata del potenziale di Airy.5.2 Dischi sottiliSi trattano dischi omogenei, isotropi, di spessore costante infinitesimo, rotantiattorno all’asse principale d’inerzia z e sottoposti a pressioni sui contorni internoed esterno, come mostra la Fig. 5.2.In ogni punto del disco si ha:σ z = τ rz = τ θz = 0 (5.6)Indicando con ρ la densità del materiale, la forza di massa per unità di volumeèF r = ρ ω 2 r (5.7)e le relazioni termoelastiche sono:ɛ r = 1 E (σ r − νσ θ ) + α T (r)ɛ θ = 1 E (σ θ − νσ r ) + α T (r)ɛ z = − ν E (σ r − νσ θ ) + α T (r)(5.8)dove α è il coefficiente di dilatazione lineare del materiale e T (r) è la temperatura(variabile lungo il raggio). Esprimendo le componenti di deformazioneωp ip eFigura 5.2: Disco sottile e relative condizioni al contorno.78

in funzione degli sforzi ed introducendole nell’equazione di congruenza (5.3) siottiene:rEddr (σ θ − νσ r ) + α r d dr T (r) + 1 E (σ θ − νσ r ) − 1 E (σ r − νσ θ ) = 0σ θ − νσ r − σ r + νσ θ + r dσ rdr − r ν dσ rdr + α E r dTdr = 0Introducendo gli sforzi, espressi attraverso la funzione di sforzo Φ ′ , si har 2 d2 (Φ ′ )dr 2 + r d(Φ′ )− Φ ′ = −ρω 2 r 3 (3 + ν) − αEr 2 dTdrdrche è un’equazione differenziale lineare completa di Eulero.dell’integrale generale dell’omogenea associata si pone:(Φ ′ ) ′ = r λ(5.9)Per la ricercada cui:Sostituendo si ottiene:d(Φ ′ ) ′drd 2 (Φ ′ ) ′dr 2= λr λ−1= λ (λ − 1) r λ−2r 2 λ (λ − 1) r λ−2 + r λ r λ−1 − r λ = 0 → r λ [λ (λ − 1) + λ − 1] = 0 (5.10)che dovendo valere per ogni r esige cheλ 1 = 1 λ 2 = −1 (5.11)e la soluzione dell’omogenea associata è:L’integrale particolare è:(Φ ′ ) ′ = C 1 r λ1 + C 2 r λ2 = C 1 r + C 2r(5.12)(Φ ′ ) ′′ = − 3 + ν ρω 2 r 3 − α E 1 8re quindi l’integrale generale risulta:∫ rΦ ′ = (Φ ′ ) ′ + (Φ ′ ) ′′ = C 1 r + C 2r − 3 + ν ρω 2 r 3 − α E 1 8rkT r dr (5.13)∫ rkT r dr (5.14)in cui C 1 e C 2 sono costanti da determinare imponendo le condizioni al contorno.Si vede la sovrapposizione degli effetti dovuti alla rotazione (terzo addendo) ealla distribuzione della temperatura (quarto addendo).79

Ricordando il legame tra la Φ ′ e gli sforzi definito mediante la funzione del Airy,si ricava infineσ r = Φ′r = C 1 + C 2r 2 − 3 + ν ρ − α E 1 ∫ r8 r 2 T r dr (5.15)σ θ = dFdr + Rr = C 1 − C 2r 2 − 1 + 3ν ρ + α E 1 ∫ r8r 2 T r dr − α E T (5.16)Se T (r) = costante, gli integrali si spezzano nella somma di un termine costantee di uno in r −2 che si conglobano in C 1 e in C 2 . Solo se la temperatura non èuniforme ci sono sforzi termici.5.2.1 Disco con sole pressioni sui contorniDisco pienoLa soluzione generale si riduce a quella del Lamé (citato in [9]).per cui:σ r = C 1 + C 2r 2σ θ = C 1 − C 2r 2kσ r + σ θ = 2 C 1 (5.17)Il disco si deforma in modo che le superficie laterali rimangono piane e paralleleinfatti:ɛ r = 1 E (σ r − νσ θ )ɛ θ = 1 E (σ θ − νσ r )(5.18)ɛ z = − ν E (σ θ + σ r ) = − 2νC 1E = costanteQuesta condizione, superficie laterali che rimangono piane durante la deformazione,per simmetria deve essere verificata anche per un concio infinitesimo diun cilindro infinitamente lungo (paragrafo ??) quindi per l’unicità della soluzionedel problema elastico, la soluzione del Lamé, qui data per i dischi, è anchesoluzione del problema dei cilindri infinitamente lunghi, pieni o cavi, con solepressioni sui contorni.Se il disco non ha un foro centrale deve essere C 2 = 0 affinché, per r → 0, glisforzi non tendano all’infinito e quindi 2 :σ r = C 1 σ θ = C 12 Si poteva anche arrivare alla stessa conclusione considerando che per r = 0 deve essereσ r = σ θ .k80

p ep ep ep ep eFigura 5.3: Stato di sforzo in un disco sottile soggetto a pressione esterna p e .La costante C 1 si determina quindi imponendo l’unica condizione sul contornoesterno:σ r = −p e per r = r edove il segno − deriva dall’aver assunto positivi gli sforzi di trazione.dunque in ogni punto del disco:Si haσ r = −p eσ θ = −p e(5.19)con uno stato di sforzo piano idrostatico (nel piano) come indicato nella figura5.3.Disco foratoNel caso in cui il disco sia forato è necessario scrivere le condizioni sia sulcontorno interno sia su quello esterno:Si ricavaσ r = −p i per r = r i − p i = C 1 + C 2r 2σ r = −p e per r = r e − p e = C 1 + C 2r 2C 1 = p ir 2 i − p er 2 er 2 e − r 2 iC 2 = (p e − p i ) r 2 i r2 er 2 e − r 2 i(5.20)81

2σ r/p i1.5σ θ/p iσ/p i10.5a=3a=2.5a=20−0.5a=3a=2.5 a=2−10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1(r−r i)/(r e−r i)Figura 5.4: Andamento di σ r e σ θ per pressione interna p i e diversi valori di a.e quindi l’espressione degli sforzi è la seguente:σ r = p ir 2 i − p er 2 er 2 e − r 2 iσ θ = p ir 2 i − p er 2 er 2 e − r 2 i+ (p e − p i ) r 2 i r2 er 2 e − r 2 i− (p e − p i ) r 2 i r2 er 2 e − r 2 i1r 2(5.21)1r 2Nel caso di sola pressione esterna (p i = 0), indicando con a = r er i, si ha:σ r = p ea 2a 2 − 1σ θ = p ea 2a 2 − 1( ) r2ir 2 − 1 ( )− r2 ir 2 − 1ovunque di compressioneovunque di compressione(5.22)All’intradosso dove si ha il massimo valore assoluto di σ θ èσ r = 0 e σ θ = −p e2 a 2a 2 − 1(5.23)e nel caso di foro molto piccolo (r i → 0 rispetto alle dimensioni esterne deldisco) si ha 3 :limr i→0 σ θ = −2 p e3 Allo stesso risultato si può arrivare considerando le (5.19) ed il coefficiente d’intaglio perun foro in una lastra soggetta a stato di sforzo biassiale (crf. Cap.2).82

All’estradosso si ha:σ r = −p e e σ r = −p ea 2 + 1a 2 − 1(5.24)Si osserva che |σ θ | è sempre maggiore di p e e tende a p e per r e → ∞. Va ancheannotato come i valori degli sforzi non dipendono dalle dimensioni assolute deldisco ma dal rapporto a = r e /r i .Nel caso della sola pressione interna (Fig. 5.4) con p e = 0 si ha:σ r =σ θ =p ia 2 − 1p ia 2 − 1(1 − a2 ri2 )r 2(1 + a2 ri2 )r 2All’intradosso dove σ θ è massima si ha:σ r = −p iovunque di compressioneovunque di trazioneσ θ = p ia 2 + 1a 2 − 1 > p i(5.25)(5.26)In questo caso la σ θ è sempre maggiore di p i e tende a p i per r e → ∞ o perr i → 0. All’estradosso si haσ r = 0σ θ = 2 · p ia 2 − 1Esempio 5.1 Si consideri un disco in realizzato in Fe510 avente diametro esternopari a 30 mm e forzato su un albero di diametro 10 mm. Si calcoli il valore massimodella pressione che, per effetto del forzamento, si può ammettere sul diametro internoaffinché il coefficiente di sicurezza rispetto allo snervamento sia pari a 1.2.Il punto più sollecitato si ha all’intradosso dove:σ r = −p i e σ θ = p ia 2 + 1a 2 − 1Indicando con σ ∗ lo sforzo di confronto di Guest-Tresca, essendo σ z = 0, si ha:(5.27)σ ∗ a 2 + 1= σ θ − σ r = p i +a 2 pi (5.28)− 1Assumendo per il materiale Fe510 lo sforzo di snervamento pari a 355 MPa ed essendoa = r e/r i = 3, si può scrivere:σ ∗ = p i ( 32 + 1 355+ 1) =3 2 − 1 1.2da cui p i,max = 132 MPa, σ r=-132 MPa, σ θ = 165 MPa e σ ∗ = 297 MPa.(5.29)83

5.2.2 Disco rotante a ω costanteLe espressioni degli sforzi sono:e la dilatazione lungo z è:σ r = C 1 + C 2r 2 − 3 + ν ρω 2 r 28σ θ = C 1 − C 2rp2 − 1 + 3ν ρω 2 r 28ɛ z = − ν E (σ r + σ θ ) = − ν E(2C 1 − ρω 2 r 2 1 + ν )2che mostra come le superficie laterali non restino piane; C 1 e C 2 si determinanoimponendo le condizioni al contorno.Disco pienoNel caso del disco pieno, se la superficie esterna è scarica, si ha:σ r = σ θ per r = 0σ r = 0 per r = r ee si ottiene:C 1 = 3 + ν ρω 2 r 2 C 2 = 08Con questi valori delle costanti le espressioni degli sforzi diventano:σ r = 3 + ν8σ θ = 3 + ν8ρ ω 2 (r 2 e − r 2 )ρ ω 2 r 2 e − 1 + 3ν8Al centro del disco, per r = 0, èovunque di trazioneρ ω 2 r 2ovunque di trazione(5.30)σ r = σ θ = 3 + ν8ρ ω 2 r 2 ee nel caso di ν = 0.3: σ r = σ θ = 0.412 ρ ω 2 r 2 e.Alla periferia del disco, per r = r e , si ottiene:σ r = 0σ θ = 1 − ν4ρ ω 2 r 2 eLa deformazione assiale ɛ z risulta variabile con r:ɛ z = − ν E ρ ω2 ( 3 + ν4r 2 e − 1 + ν2r 2 )84

σ/(ρ ω 2 r e2 )0.5σ r/(ρ ω 2 2r e )0.4σ θ/(ρ ω 2 2r e )0.30.20.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1(a)(b)Figura 5.5: Disco rotante a ω costante: a) stato di sforzo; b) deformata qualitativadel disco.L’andamento degli sforzi è mostrato nella Fig. 5.5(a). La deformata qualitativadel disco è mostrata in Fig. 5.5(b): si può immediatamente notare come lasoluzione dei dischi rotanti non possa essere valida anche per i cilindri in quantoɛ z varia radialmente. Nel cilindro rotante dovrà quindi nascere una σ z (variabilelungo il raggio) tale da rendere ɛ z = cost.Esempio 5.2 Si consideri un disco pieno in acciao (ρ = 7800kg/m 3 ) rotante con velocitàperiferica v p = 100 m/s. Assumendo r e =1 m (ω=100 rad/s), e lo spessore deldisco (s) pari a 20 mm, si calcoli lo stato di sforzo al centro del disco e la massimariduzione di spessore del disco per effetto della rotazione.Al centro del disco:σ r = σ θ = 3 + ν ρ ω 2 re 2 = 3 + ν · 7800 · 100 2 = 32.4 · 10 6 [P a] = 32.4 [MP a].88. La massima riduzione di spessore del disco si ha al centro del disco stesso dove èmassimo in valore assoluto il valore di ɛ z. Per r = 0 si ha:ɛ z = − ν E ρ ω2 ( 3 + ν4Assumendo ν = 0.3, E = 200000 MPa ed esprimendo tutto nel SI si ha:0.3ɛ z = −200000 10 7800 3 + 0.36 1002 = −96 · 10 −6 = −96 [µɛ]4. La massima riduzione di spessore al centro del disco risulta:∆s = ɛ z · s = −96 · 10 −6 · 20 [mm] = 0, 002 [mm]r 2 e)85

Disco foratoSe il disco rotante è forato, le condizioni al contorno sonoe le espressioni degli sforzi sono:σ r = 3 + ν8σ θ = 3 + ν8σ r = 0 per r = r iσ θ = 0 per r = r eρ ω 2 (r 2 i + r 2 e − r2 e r 2 ir 2 − r 2 )ρ ω 2 (r 2 i + r 2 e + r2 e r 2 ir 2− 1 + 3ν3 + ν r2 )ovunque di trazioneovunque di trazione(5.31)Il valore massimo di σ r è:(σ r ) max = 3 + ν8ρω 2 ( (ri 2 − re2 ) 3 + ν = ρω 2 r 2 1 − 1 ) 28ae si ha per r = √ r i r e , mentre il valore massimo di σ θ è(σ θ ) max = 3 + ν4(ρ ω 2 re 2 + 1 − ν )3 + ν r2 i = 3 + ν ρ ω 2 re2 4(1 + 1 − ν3 + ν)1a 2e si manifesta all’intradosso.All’estradosso si ha il minimo valore di σ θ :(σ θ ) r=re = 3 + ν (ρω 2 ri 2 + 1 − ν )43 + ν r2 e = 3 + ν4ρω 2 r 2 e( 1a 2 + 1 − ν )3 + νL’andamento degli sforzi è mostrato nella Fig. 5.6. Si può osservare che il valoredegli sforzi dipende dalla forma (rapporto r e /r i ), dalla densità ρ, dal coefficientedel Poisson ν e dalla velocità periferica v p = ω r e .E’ interessante notare come per un foro molto piccolo presente sull’asse (r i → 0),cioè per a → ∞, si ottiene:σ θ, max = 3 + ν ρω 2 re2 4che è il doppio del valore di σ θ al centro di un disco pieno rotante.Esempio 5.3 Si consideri un disco pieno in acciaio (ρ = 7800kg/m 3 ) rotante convelocità di rotazione ω = 3000 [g/min], avente r e =1 [m] e r i=0.2 [m], con uno spessores= 40 [mm]. Alla periferia del disco sono vincolate 64 palette avente ognuna unamassa m p = 1[kg], si calcoli lo stato di sforzo all’intradosso del disco.86

10.8σ r/(ρ ω 2 r e2 )σ θ/(ρ ω 2 r e2 )σ/(ρ ω 2 r e2 )0.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1(r−r i)/(r e−r i)Figura 5.6: Andamento di σ r e σ θ per il disco rotante a ω costante con r e /r i = 4.Calcolando la risultante totale dovute alla forza centrifuga delle palette (ω = 314.15 [rad/s])si ottiene che:F r = 64 · m p · ω 2 · r e = 6.316 · 10 6 [N]dividendo per l’area totale su cui è applicata F r (la superficie esterna del disco) nerisulta:F rσ ext == 25.13 [MP a]2π · r e · sLo stato di sforzo all’intradosso del disco turbina è quindi la sovrapposizione dellosforzo dovuto a σ ext(che già contiene la forza centrifuga delle palette) e di quellodovuto alla rotazione del disco. In particolare:σ θ = σ θ,ω + σ θ,σext = 640.46 + 52.35 = 692.81 [MP a]Come si vede chiaramente dall’esempio, nel disco rotante gli sforzi circonferenzialimaggiori sono all’intradosso e, nei casi di interesse applicativo in cui (ω ·r e )assume valori elevati, sono sicuramente impegnativi per i materiali di comuneimpiego. Nelle turbine (a vapore o a gas) il profilo dei dischi (che sono anchesoggetti alle forze radiali centrifughe delle palette) presentano uno spessoremaggiore all’intradosso proprio per presidiare tali sforzi circonferenziali.Le palette vengono fissate all’esterno del disco mediante opportuni collegamentiche permettono un facile montaggio delle pale ed il trasferimento deglielevati carichi al disco turbina attraverso un accoppiamento di forma (vedasiFig. 5.7(b)).87

(a)(b)Figura 5.7: Applicazione analisi dischi: a) disco turbina con palette; b) particolareattacco palette.88

5.2.3 Metodo di GrammelEsistono alcune soluzioni analitiche per i dischi di spessore variabile [9], masi può trovare una soluzione soddisfacente al problema dividendo il disco in ncorone circolari di spessore costante h i (i = 1, n), assumendo uno spessore parial valore medio nel tratto considerato. Questo modo di procedere si chiamametodo del Grammel [10].Figura 5.8: Disco di spessore variabile: suddivisione in n corone di spessorecostante.Per ciascuna corona valgono le espressioni degli sforzi trovati per disco rotantedi spessore costante:σ r = C 1i + C 2ir 2σ θ = C 1i − C 2ir 2− 3 + ν r 28− 1 + 3ν r 28Le 2n costanti C 1i e C 2i con (i = 1, n) si determinano con le due condizioni alcontorno sulle superficie interna ed esterna:σ r = −p int per r = r int prima coronaσ r = σ ext per r = r ext n-esima corona(5.32)e con 2(n − 1) condizioni di contatto tra n corone.Considerato il disco i-esimo e la superficie di contatto con il disco successivo(posta a r = r i ) possiamo scrivere l’equazione di equilibrio delle forze radiali:σ (i)rh i = σ (i+1)r h i+1 (5.33)e l’equazione di congruenza imponendo l’uguaglianza delle deformazioni circonferenziali:σ (i)θ est − ν σ(i) r est = σ (i+1)θ int− ν σ(i+1) r int (5.34)89

questa seconda, esprimendo l’uguaglianza delle deformazioni circonferenziali,impone l’uguaglianza degli spostamenti radiali. Le due equazioni precedenti,queste possono essere scritte per ognuno delle (n − 1) superfici di contatto,formando quindi con le (5.32) un sistema di (2 · n) incognite in (2 · n) equazioni.In molti casi pratici, per esempio dischi di bassa pressione di turbine a vapore,in cui lo spessore aumenta molto verso il mozzo, l’approssimazione piùgravosa sta nel considerare valide le relazioni che danno gli sforzi ricavati perspessore infinitesimo. La variabilità dello spessore può essere seguita molto beneaumentando il numero delle corone, introducendo tutta la procedura in unopportuno programma di calcolo.E’ interessante notare come le espressioni soprascritte esprimono il metodo delleforze con i passi usuali, in particolare:• mettiamo in evidenza le iperstatiche (le forze radiali σ (i)r · h i );• calcoliamo le iperstatiche in modo da ricostruire le congruenza delle deformazioni.5.3 Cilindri lunghiIl problema dei dischi sottili è un problema di sforzo piano, σ z = 0, mentrenei cilindri indefinitamente lunghi ogni piano normale all’asse del cilindro è unpiano di simmetria e quindi tale sezione può spostarsi solo parallelamente a sestessa, cioè ɛ z = costante (le sezioni si mantengono piane).Per il cilindro deve inoltre valere la condizione globale di equilibrio:∫σ z dA = N (5.35)Aessendo N la forza assiale agente sulle basi. L’effetto di altri carichi (flessione,taglio, torsione) si considera a parte e poi si applica la sovrapposizione deglieffetti poiché si è in campo elastico lineare.Procedendo come già fatto per i dischi e introducendo il legame sforzideformazioninell’equazione di congruenza si ottiene:(1 + ν) σ θ − (1 + ν)σ r + r dσ θdr − r ν dσ rdr − r ν dσ zdr + α E r dTdr = 0 (5.36)Dall’espressione della dilatazione assiale:ɛ z = 1 E [σ z − ν (σ r + σ θ )] + α T (r)poiché ɛ z = cost lungo la sezione, deve essere:dɛ zdr = 0 = 1 Eddr [σ z − ν (σ r + σ θ )] + α T (r)dr(5.37)90

da cui si ottiene:dσ zdr = ν d dr (σ r + σ θ ) + α T (r)drTenendo conto di questa espressione si ottiene:(5.38)(1+ν)σ θ −(1+ν)σ r +r(1−ν 2 ) dσ θdr −rν (1+ν)dσ rdT+(1+ν)αE rdr dr = 0 (5.39)e infine introducendo ancora la funzione di sforzo F si ottiene ancora un’equazionedi Eulero, analoga a quella dei dischi, in cui al secondo membro la ν comparein modo diverso:r 2 d2 Φ ′dr 2Integrando si ottiene:+ r dΦ′dr − Φ′ = −ρ ω 2 r 3 3 − 2ν1 − ν − αE dTr21 − ν dr(5.40)e successivamente:Φ ′ = C 1 r + C 2r − 3 − 2ν8(1 − ν) ρω2 r 3 − αE1 − νσ r = C 1 + C 2r 2 − 3 − 2ν8(1 − ν) ρω2 r 2 − αE1 − νσ θ = C 1 − C 2r 2 − 1 − 2ν8(1 − ν) ρω2 r 2 + αE1 − νDa queste si ricava:e quindi:σ r + σ θ = 2 C 1 −1r∫ rk∫1 rr 2 T r drk∫1 rr 2 T r dr −kT r dr (5.41)αE (5.42)1 − ν T12(1 − ν) ρω2 r 2 − αE1 − ν T (5.43)dσ zdr = ν d dr (σ r + σ θ ) − αE dTdr = − ν1 − ν ρω2 r − ν dTαE1 − ν dre integrando si ha l’espressione di σ z :− αEdTdr (5.44)νσ z = −2(1 + ν) ρω2 r 2 − αE1 − ν T + C 3 (5.45)C 3 si calcola imponendo l’equilibrio sulle basi, per esempioe si ottieneC 3( r2e2 − r2 i2)N =∫ rer iσ z dA ,= N ( )2π + ν r4e2(1 + ν) ρω2 4 − r4 i−491αE1 − ν∫ rer iT r dr

Si vede che nell’espressione di σ z i termini che dipendono da r sono quelli dovutialla rotazione.Nel caso in cui agiscano solo le pressioni interna ed esterna si ha lo sforzoσ z = costante = N/A. Se N = 0 non si hanno sforzi assiali. In questo caso lasoluzione è quella già trovata per i dischi che dà ɛ z = cost., come deve essereper l’unicità della soluzione del problema termoelastico.5.3.1 Cilindro rotante a velocità angolare costanteCilindro pienoNel caso del cilindro pieno con superficie esterna scarica e con N = 0 si ottieneσ r =σ θ =σ z =3 − 2ν8(1 − ν) ρ ω2 r 2 e3 − 2ν8(1 − ν) ρ ω2 r 2 eν4(1 − ν) ρ ω2 r 2 e) (1 − r2r 2 e(1 − 1 + 2ν3 − 2 ν(1 − 2 r2r 2 eovunque di trazione)ovunque di trazioner 2re2)si annulla per r = r e√2(5.46)L’andamento di tali sforzi lungo il raggio è riportato nella Fig. 5.9. Al centro0.50.40.3σ/(ρ ω 2 r e2 )0.20.10−0.1σ r/(ρ ω 2 r e2 )σ θ/(ρ ω 2 r e2 )σ z/(ρ ω 2 r e2 )−0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/r eFigura 5.9: Andamento degli sforzi lungo il raggio di un cilindro rotante (ν = 0.3).92

del cilindro per r = 0 si ha:σ r = σ θ =3 − 2ν8(1 − ν) ρ ω2 re2νσ z =4(1 − ν) ρ ω2 re2(5.47)per ν = 0.3 tali relazioni forniscono:{σr = σ θ = 0.428 ρ ω 2 r 2 eσ z = 0.107 ρ ω 2 r 2 eI valori sono leggermente maggiori di quelli trovati per il disco sottile, ma nelcilindro è presente anche uno sforzo σ z > 0: il confronto dei cerchi di Mohr neidue casi è mostrato in Fig. 5.10.0.20.150.1τ/(ρ ω 2 r e2 )DiscoCilindroσ0.05σ σ zzθ=σ r0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.05−0.1σ/(ρ ω 2 r e2 )−0.15−0.2Figura 5.10: Cerchi di Mohr per disco e cilindro rotanti pieni in corrispondenzadell’asse con ν = 0.3.Calcolando la sollecitazione equivalente di Guest-Tresca:¯σ GT,cil = (0.428 − 0.107) ρ ω 2 r 2 e = 0.321 ρ ω 2 r 2 e¯σ GT,dis = (0.412 − 0) ρ ω 2 r 2 e = 0.412 ρ ω 2 r 2 esi può facilmente verificare come il lo stato di sforzo nel disco sia più gravoso diquello del cilindro.93

Al bordo esterno gli sforzi sono:σ r = 0σ θ = 1 − 2 ν4(1 − ν) ρ ω2 re2νσ z = −4(1 − ν) ρ ω2 re2per ν = 0.3 tali sforzi risultano:Cilindro cavoσ r = 0; σ θ = 0.146 ρ ω 2 r 2 e; σ z = −0.107 ρ ω 2 r 2 eSe il cilindro è cavo supponendo che le superficie laterali siano scariche, lecondizioni al contorno si esprimono come:{σr = 0 per r = r iσ r = 0 per r = r eImponendo tali condizioni al contorno e ricavando le costanti C 1 e C 2 si ottiene:σ r =3 − 2ν (8(1 − ν) ρ ω2 re2 1 + 1 )a 2 − r2 ir 2 − r2re2 ovunque di trazioneσ θ =3 − 2ν (8(1 − ν) ρ ω2 re2 1 + 1 a 2 + r2 ir 2 − 1 + 2ν r 2 )3 − 2ν re2 ovunque di trazioneνσ z =4(1 − ν) ρ ω2 re(1 2 + 1 )a 2 − 2r2 re2 (5.48)L’andamento degli sforzi in funzione √ del raggio, per a = 4, è riportato nellari figura 5.11. Si ha σ z = 0 per r =2+r2 e2.La σ r è massima quando è minima la somma r2 ir+ r22 r ecioè, dato che il prodottodei due addendi è costante, quando r2 ir= r22 re quindi per r = √ re2 i r e dove vale:σ r max =3 − 2ν8(1 − ν) ρ ω2 re(1 2 − 1 )a 2La σ θ e la σ z sono massime all’intradosso dove valgono:σ θ max =3 − 2ν (4(1 − ν) ρ ω2 re2 1 + 1 − 2ν )13 − 2ν a 2 per r = r iνσ z max =4(1 − ν) ρ ω2 re(1 2 − 1 ) (5.49)a 2 per r = r i94

σ/(ρ ω 2 r e2 )10.80.60.40.2σ r/(ρ ω 2 r e2 )σ θ/(ρ ω 2 r e2 )σ z/(ρ ω 2 r e2 )0−0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1(r−r i)/(r e−r i)Figura 5.11: Sforzi in un cilindro lungo rotante per a = 4 (ν = 0.3).Sulla superficie esterna si ha il valore minimo sia di σ z sia di σ θσ θ min =3 − 2ν ( 1 − 2ν4(1 − ν) ρ ω2 re2 3 − 2ν + 1 )a 2 per r = r eνσ z min = −4(1 − ν) ρ ω2 re(1 2 − 1 )a 2 per r = r eNel caso di un foro molto piccolo presente al centro del cilindro rotante, dalleequazioni precedenti per a → ∞, si ottiene:σ θ, max =3 − 2ν4(1 − ν) ρω2 re2νσ z, max =4(1 − ν) ρω2 re2E’ facile verificare che σ θ, max in presenza del foro è il doppio del valore di uncilindro pieno, mentre la σ z rimane inalterata in quanto un foro, lungo l’asse z,non provoca alcuna concentrazione di tensioni.5.4 EserciziEsercizio 5.1 Dato un disco forato (D=60 mm) su cui viene calettato un disco forato(D i = 60 mm, D e = 160 mm), ambedue i dischi sono in acciaio:• calcolare l’interferenza necessaria ad assicurare una pressione di contatto di 60MPa;95

• calcolare la pressione di contatto se l’insieme dei due corpi viene posto in rotazionead una velocità di 3000 [g/min](il calcolo si fa immaginando che per effettodella rotazione le superfici dei due dischi subiscano uno spostamento radiale);• verificare che la soluzione del punto precedente poteva essere ottenuta medianteil principio di sovrapposizione degli effetti.Esercizio 5.2 Si abbia un tubo da realizzare in acciaio inox AISI 17-4 PH (R m =1100 [MP a], R p0.2 = 1000 [MP a]), costituente un intensificatore di pressione per unwater-jet, con un diametro di 30 mm soggetto ad una pressione interna pulsante di250 [MP a]. Quesiti:• calcolare il minimo diametro esterno del tubo in modo che il tubo possa resisterea fatica illimitata (si assuma la superficie interna del tubo rettificata);• calcolare come cambia il coefficiente di sicurezza a fatica sulla superficie internadel tubo se a questo (mediante forzamento di una camicia esterna) venisseimposta una pressione esterna di 50 [MP a].Esercizio 5.3 Dimensionare la camicia esterna, realizzata nello stesso acciaio del tubo,che permetta di avere una pressione di contatto di 50 [MP a] tra i due tubi dell’esercizioprecedente.Calcolare inoltre come cambia lo stato di sforzo nel foro dell’intensificatore per effettodella camicia forzata.96

Capitolo 6Lastre circolari pianeSi analizza in questo capitolo, a partire dal legame tra curvature e momenti delle lastrepiane, si analizza lo stato di sforzo in lastre circolari caricate simmetricamente soggette acondizioni di carico che si rifanno alle comuni applicazioni nei recipienti in pressione 1 .6.1 Flessione semplice di una lastra in due direzioniortogonaliConsideriamo una lastra di spessore t inflessa nei due piani xz ed yz da coppieuniformemente ripartite [11]. Chiamiamo M x ed M y i momenti per unità dilunghezza di ciascun lato. La lastra si inflette in entrambe le direzioni ed ilpiano medio xy diventa una superficie a doppia curvatura, la superficie elasticadella lastra.Analogamente a ciò che accade nelle travi, ogni segmento perpendicolare alpiano medio si mantiene rettilineo e normale alla superficie elastica. Inoltre, segli spostamenti w dei punti del piano medio sono piccoli rispetto allo spessore t,possiamo ritenere che le deformazioni ɛ x ed ɛ y siano proporzionali alla distanzaz dal piano medio (ovvero le deformazioni sono nulle sul piano medio). Inparticolare:ɛ x = z , ɛ y = z (6.1)ρ x ρ ySe dalle deformazioni ricaviamo gli sforzi otteniamo:σ x = E · z ( 11 − ν 2 + ν 1 ), σ y = E · z ( 1ρ x ρ y 1 − ν 2 + ν 1 )ρ y ρ x(6.2)I momenti per unità di lunghezza applicati alla lastra stanno in relazione congli sforzi (prendendo delle porzioni di larghezza unitaria) tramite le:M x =1 a cura di S. Beretta∫ +t/2−t/2σ x · 1dz · z, M y =∫ +t/2−t/2σ y · 1dz · z (6.3)97

Sostituendo le (6.2) si ottiene:e:dove:M x = D( 1ρ x+ ν 1 ρ y)( 1M y = D + ν 1 )ρ y ρ xD =E ∫ +t/21 − ν 2 z 2 Et 3dz =12(1 − ν 2 )−t/2rappresenta la rigidezza flessionale della lastra.(6.4)(6.5)(6.6)t t/2 t/2 Figura 6.1: Flessione semplice in due piani di una lastra [11].6.1.1 Composizione dei momenti in un puntoConsiderando le sollecitazioni σ x e σ y agenti in un punto, possiamo calcolarele sollecitazioni agenti su un piano avente normale n con coseni direttori[cos α sin α] con le relazioni del cerchio di Mohr:{σn = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α(6.7)τ nt = (σ y − σ x ) sin α cos αSe gli sforzi σ x e σ y sono gli sforzi generati ad una distanza z dal piano mediodai momenti M x ed M y in una fetta di lastra, se ne deduce che sulla facciainclinata nascono: un momento normale M n , che genera σ n , ed un momento98

σ xσ xαYσ yσ yτ ntnσ nM yzτ ntσ nM ntM xtXM n(a)(b)Figura 6.2: Composizione momenti su un piano: a) sforzi su un piano aventecoseni direttori [cos α sin α]; b) i momenti flettenti sulla faccia di una lastra aventela medesima inclinazione.torcente M nt , che genera τ nt . Si può quindi facilmente ricavare che tali momentidipendono dalla direzione della normale n con le relazioni:{Mn = M x cos 2 α + M y sin 2 α(6.8)M nt = (M y − M x ) sin α cos αPoichè le relazioni tra gli sforzi sono uguali alle relazioni tra i momenti, ne segueche i momenti agenti in un punto al variare della giacitura possono essere rappresentatisu un cerchio esattamente come gli sforzi: esistono due momenti principaliche corrispondono ai momenti normali massimo e minimo (si verificanosu piani in cui M nt è nullo).La costruzione grafica permette di anche capire come l’unico caso in cui nonvi sia M nt è quello in cui i due momenti principali siano coincidenti.M ntMy2αMxFigura 6.3: Cerchio di Mohr per i momenti agenti in un punto.99

6.1.2 Lastre con momento uniformeNel caso di M x = M y = m (flessione uniforme), le due curvature 1/ρ x ed 1/ρ ysono uguali tra di loro e risulta:1ρ = m(1 + ν)D(6.9)ovvero la superficie elastica diventa una sfera (una porzione di sfera) avente unraggio ρ.Se consideriamo una lastra circolare soggetta ad un momento distribuito mcostante sul contorno (essendo M x = M y = m si ha un momento costante intutte le direzioni), ci troviamo in tale situazione. In particolare detto R il raggiodella lastra, la rotazione α al contorno e la freccia f al centro risultano:wFigura 6.4: Lastra circolare soggetta a momento costante m sul contorno [11].α = R ρ =m · R(1 + ν)D(6.10)f = 2R28ρ = mR 2(6.11)2(1 + ν)DLa superficie secondo cui si atteggia la lastra è descritta dall’equazione:m (w =R 2 − r 2) (6.12)2(1 + ν)D6.2 Lastre circolari assialsimmetricheAnalizziamo come si possa arrivare ad un’equazione risolvente che ci permettadi determinare la soluzione del problema elastico nel caso di lastre circolarisoggette ad una distribuzione di carico assialsimmetrica [12].100

Se consideriamo una lastra circolare soggetta da una distribuzione di sforzoassialsimmetrica, la deformata sarà anch’essa dello stesso tipo e ci basta analizzarela deformata lungo un qualsiasi diametro. Consideriamo l’origine O delnostro riferimento al centro della lastra ed indichiamo con w l’abbassamentodella lastra. La curvatura della lastra in direzione radiale in un punto A risultaespressa da:1= − d2 wρ r dr 2 (6.13)e quella in direzione circonferenziale (la superficie dei punti lungo lo spessoreavente la medesima distanza r dal centro si atteggia secondo un cono aventecentro in B) con:1= − 1 dw(6.14)ρ θ r drIl legame tra momenti e curvature risulta quindi 2 :Figura 6.5: Raggi di curvatura nella deformazione di una lastra circolare.( d 2 wM r = −D)dwdrdr 2 + ν r( )1 dwM θ = −Dr dr + ν d2 wdr 2(6.15)(6.16)Consideriamo una porzione di lastra abcd di larghezza dr e delimitata dall’angolodθ e soggetta ad un carico distribuito q: sulle facce ab e cd agiscono le forze ditaglio Q ed i momenti M r , mentre sulle facce ad e bc (per la condizione diassialsimmetria) agiscono solo i momenti M θ .2 alla stesse equazioni si poteva arrivare, come visto a lezione, trasformando in coordinatepolari (e tenendo conto che ∂w/∂θ = 0 in un problema assialsimmetrico) il legame tra momentie curvature delle lastre in coordinate cartesiane.101

M θM θM rdθM r + dM r(a)(b)Figura 6.6: Equilibrio di una porzione di lastra: a) posizione geometrica e sezione;b) i momenti flettenti presenti sul concio [12].In particolare si può notare come le due coppie M θ diano come risultante unmomento radiale (diretto come il momento M r agente su cd) pari a:2 · M θ sin dθ2 dr = M θdrdθScrivendo quindi l’equilibrio alla rotazione dell’elementino abcd si ottiene:(M r + dM )rdr dr (r + dr)dθ − M r rdθ − M θ drdθ + Qrdrdθ = 0 (6.17)trascurando gli infinitesimi di ordine superiore e dividendo per drdθ l’equazionedi equilibrio si semplifica in:M r + dM rdr · r − M θ + Q · r = 0 (6.18)Esprimendo i momenti flettenti in termini di curvature, si ottiene la equazionedifferenziale:d 3 wdr 3 + 1 d 2 wr dr 2 − 1 dwr 2 dr = Q (6.19)Dche può essere riscritta come:[ (d 1 dr dw )]= Q (6.20)dr r dr dr DIl taglio Q è in equilibrio con il carico distribuito q tramite la relazione:Q · 2πr =∫ rL’equazione differenziale può essere quindi riscritta come:0q · 2πrdr (6.21)102

Figura 6.7: Equilibrio tra taglio Q e carico distribuito q.[ (d 1 dr dw )]= 1dr r dr dr r · D∫ rdifferenziando rispetto ad r e dividendo per r si ottiene:{1 dr d [ ( 1 dr dw )]}= q r dr dr r dr dr D0q · rdr (6.22)(6.23)Nei paragrafi successivi vedremo come integrando tale relazione, a dispetto dellalunghezza della formula, sia semplice ottenere la soluzione in alcuni casiapplicativi di interesse.6.2.1 Carico distribuitoConsideriamo una lastra soggetta ad un carico distribuito q, esaminando la Fig.6.7 possiamo esprimere Q come:Q = qr2Se consideriamo la Eq.(6.20) possiamo quindi scrivere:[ (d 1 dr dw )]= qrdr r dr dr 2Dintegrando una volta:1rddr(r dw )= qr2dr 4D + C 1Moltiplicando per r ed integrando otteniamo:(6.24)(6.25)da cui:r dwdr = qr416D + C 1r 2+ C 22dwdr = qr316D + C 1r2 + C 2r103

Integrando ancora una volta otteniamo finalmente la soluzione (costituita daun’omogenea con i termini C 1 , C 2 e C 3 e da un’integrale particolare contenenteq):w = qr464D + C 1r 2+ C 2 log r + C 3 (6.26)4Lastra incastrataq Figura 6.8: Lastra incastrata soggetta al carico distribuito q.Consideriamo ora una lastra incastrata di raggio a, le condizioni al contorno delproblema sono:⎧⎨⎩dwdr = 0 per r = adwdr = 0 per r = 0Otteniamo che la equazione risolvente è:→{C2 = 0C 1 = − qa28DImponendo:w = qr464D − qa2 r 232D + C 3w(a) = 0 → C 3 = qa464DIn conclusione la soluzione è:w =q (a 2 − r 2) 264DLa freccia massima al centro risulta:(6.27)f max = qa464DI momenti flettenti risultano:M θ = q [a 2 (1 + ν) − r 2 (3 + ν) ] 16(6.28)M r = q [a 2 (1 + ν) − r 2 (1 + 3ν) ] 16(6.29)104

I momenti nella sezione d’incastro (r = a) risultano:M r = − qa28M θ = −ν qa28Gli sforzi si ricavano dai momenti flettenti come:(6.30)σ r = 6M rt 2σ θ = 6M θt 2L’andamento degli sforzi è riportato nella Fig. 6.9: si può vedere come il puntopiù sollecitato per una lastra incastrata sia sul bordo esterno.Figura 6.9: Distribuzione degli sforzi nella lastra incastrata soggetta a pressione(carico distribuito) costante.Lastra appoggiataLa lastra appoggiata si può ricavare a partire da quella della lastra incastratasovrapponendo alla soluzione dell’incastro, quella di una lastra soggetta a deimomenti radiali uguali e contrari al momento radiale d’incastro. Poichè nellasoluzione che sovrapponiamo M r = M θ = −qa 2 /8 costante, ci basta sovrapporretale valore alle equazioni dei momenti per la lastra incastrata.In particolare i momenti flettenti nella lastra appoggiata soggetta a caricodistribuito risultano:M θ = q [a 2 (3 + ν) − r 2 (1 + 3ν) ] (6.31)16M r = q16 (3 + ν)(a2 − r 2 ) (6.32)6.2.2 Carico concentratoConsiderando una lastra circolare appoggiata caricata al centro da un caricoconcentrato P, la soluzione della deformata può essere ottenuta come limite (per105

Figura 6.10: Soluzione della lastra circolare soggetta a pressione appoggiata, comesovrapposizione della soluzione incastrata (a) più una lastra soggetta a momentidistribuiti che liberano radialmente il bordo.c → 0) della soluzione di una lastra in cui il carico P sia ripartito su un’area diraggio c (tale soluzione si può ottenere con un metodo delle forze ricostruendola congruenza tra la lastra centrale con carico distribuito ed una lastra anularecaricata dal taglio Q e da un momento M [12]).PaFigura 6.11: Lastra circolare caricata al centro.Quando c → 0 la deformata della lastra risulta espressa da:w =P [ 3 + ν16πD 1 + ν (a2 − r 2 ) + 2r 2 log r ]a(6.33)I momenti flettenti risultano:M r = P 4πM θ = P 4π (1 + ν) log a r[(1 + ν) log a ]r + 1 − ν(6.34)(6.35)Quando r → 0 le espressioni precedenti non possono essere utilizzate per valutarei momenti flettenti e gli sforzi nella lastra in quanto tendono all’infinito.Le assunzioni su cui è stata impostata la soluzione dei problemi delle lastre non106

acMFigura 6.12: Lastra circolare caricata su una zona centrale: la soluzione si ottienecercando le iperstatiche M e Q che ristabiliscono la congruenza degli spostamentitra le due porzioni di lastra.Qvalgono vicino al punto di applicazione del carico: quando c → 0 l’intensitàdella pressione P/πc 2 non è più trascurabile in confronto agli sforzi flessionali,così come la deformazione dovuta alle azioni taglianti. Lo stato di sforzo vero èquello di una porzione di lastra cui si sovrappone la distribuzione locale dovutaal carico carico concentrato (esaminato nella Sez. 3.3.5).Figura 6.13: Azioni localizzate in presenza di un carico concentrato [12].6.2.3 Lastra anulareMomenti applicatiConsideriamo una lastra anulare (di raggio interno b e raggio esterno a) soggettaalle coppie M 1 ed M 2 applicate ai bordi: il taglio è nullo, la soluzione si puòtrovare a partire dalla (6.26) con i termini della soluzione dell’omogenea. Inparticolare riscriviamo per comodità l’integrale dell’omogenea come:w = C 1r 24+ C 2 log r a + C 3 (6.36)107

abM 2M 1M 1M 2Figura 6.14: Lastra anulare con momenti sui bordi.Il momento M r risulta:M r = −D[C12 − C 2r 2 + ν (C12 + C 2r 2 )](6.37)Imponendo che: {Mr = M 1 per r = bM r = M 2 per r = aSi ottiene:C 12 = − (a 2 M 2 − b 2 M 1)(1 + ν)D(a 2 − b 2 )C 2 = − a2 b 2 (M 2 − M 1 )(1 − ν)D(a 2 − b 2 )(6.38)Dovendo essere w(a) = 0 si ottiene:C 3 = − C 1a 2(6.39)4E’ interessante notare che se b → 0, allora C 2 = 0 e gli altri termini diventano:C 12 = − M 2(1 + ν)D C 3 = M 2a 22(1 + ν)D(6.40)e l’equazione della deformata diventa identica alla (6.12) (là il raggio esternoera R): ciò significa che la presenza di un foro piccolo al centro della lastra nonaltera la deformazione della lastra, ma ovviamente crea una concentrazione disforzo da valutare con i concetti esposti nel Cap. 2.Carico sul bordo internoConsideriamo una lastra anulare caricata sul bordo interno da un carico Puniformemente ripartito sul bordo interno. La forza di taglio Q risulta:Q = Q obr= P2πrIntegrando la (6.23) si ottiene una equazione del tipo [12]:(6.41)108

Q oaFigura 6.15: Lastra anulare caricata sul bordo interno.w = P r24πD log r a + C 1r 2+ C 2 log r 4a + C 3 (6.42)Le costanti possono essere determinate imponendo che sul bordo esterno:( d 2 w(w) r=a = 0 − Ddr 2 + ν )dw= 0r drr=ae sul bordo interno: ( d 2 w−Ddr 2 + ν )dw= 0r drr=bNel caso b → 0 (un forellino infinitesimo) le costanti diventano:C 1 = − 1 − ν P1 + ν 4πD C 2 = 0 C 3 = P a2 1 − ν16πD 1 + ν(6.43)e la espressione della deformata coincide con la (6.33), confermando ancora comela presenza di un forellino al centro non faccia cambiare la deformata generaledella lastra.6.3 Esercizi e problemi sul quadernoEsercizio 6.1 Dato il fondo piano superiore del recipiente in pressione adottato nell’esercitazionesperimentale, valutare la rigidezza flessionale con la presenza del forocentrale confrontandola con quella di una lastra non forata.Problema 6.1 Ricavare la distribuzione dei momenti flettenti in una lastra incastratasoggetta a carico concentrato P al centro della lastra, utilizzando la soluzionedella lastra appoggiata + quella della lastra circolare soggetta a momento radiale diestremità.Problema 6.2 Dato un acciaio con R p0,2=240 MPa ed un carico P=1000 [N], calcolarelo spessore t minimo per una lastra di raggio 500 mm che sopporti il carico ericavare la freccia massima.109

Capitolo 7Lastre cilindricheIn questo capitolo, seguendo la notazione di Timoshenko [12], si analizza lo stato di sforzoin lastre cilindriche indefinitamente lunghe caricate simmetricamente. Nelle applicazioni,affrontate con il metodo dei coefficienti elastici di bordo, si esaminano quindi comuni casirelativi ai recipienti in pressione 1 .7.1 Risoluzione del problema elasticoConsideriamo una lastra cilindrica come nella Fig. 7.1: è facile ricavare dalleequazioni di equilibrio delle lastre che, per le condizioni di assialsimmetria, leuniche azioni flessionali presenti sono i momenti M x ed M φ (quest’ultimo costantelungo una circonferenza), l’unica azione tagliante è T x e le componentimembranali sono N x ed N φ (anche questa costante lungo una circonferenza perassialsimmetria).Consideriamo un concio di lastra di dimensioni dx × Rdϕ (considerando che leuniche azioni che variano sui lati dell’elemento sono M x e T x , vedasi Fig. 7.2)soggetto ad una pressione distribuita p. Scrivendo l’equilibrio lungo la direzionex del concio di lastra otteniamo:∂N xRdxdϕ = 0 (7.1)∂xL’equazione di equilibrio lungo la direzione z risulta:(T x + ∂T )x∂x dx Rdϕ − T x Rdϕ + N ϕ sin (dϕ) dx + pRdxdϕ = 0 (7.2)che si può semplificare come:1 a cura di S. Beretta e M. Sangirardi∂T x∂x Rdxdϕ + N ϕdϕdx + pRdxdϕ = 0 (7.3)110

(a)M ϕM xT xN ϕN x(b)(c)Figura 7.1: Lastra cilindrica con carichi assialsimmetrici: a) posizione del problema;b) schematizzazione dell’elemento come lastra; c) schematizzazione dell’elementocome membrana.da cui:∂T x∂x + N ϕ= −p (7.4)RCon riferimento ancora alla Fig. 7.2 e imponendo l’equilibrio alla rotazione111

pFigura 7.2: Equilibrio dell’elemento infinitesimo.intorno alla direzione circonferenziale si ottiene:(M x + ∂M )x∂x dx Rdϕ − M x Rdϕ − T x Rdϕdx = 0 (7.5)da cui:∂M x∂x − T x = 0 (7.6)Cercando di risolvere in forma chiusa il problema ci troviamo di fronte aduna difficoltà in quanto abbiamo due equazioni (la 7.4 e la 7.6) in tre funzioniincognite.7.1.1 Deformazioni ed azioni sul concio di lastraConsiderando gli spostamenti elastici membranali: la simmetria implica chela componente di spostamento circonferenziale u ϕ = 0, restano le componentiassiale u e radiale w. In particolare le componenti di deformazione sono:ɛ ϕm =ɛ xm = ∂u∂x(R − w) dϕ − RdϕRdϕ= − w R(7.7)(7.8)Esprimendo quindi gli sforzi in funzione delle deformazioni, possiamo scrivere:σ xm =σ ϕm =E1 − ν 2 (ɛ xm + νɛ ϕm ) (7.9)E1 − ν 2 (ɛ ϕm + νɛ xm ) (7.10)112

Figura 7.3: Componenti di deformazione.da cui le azioni membranali (essendo s lo spessore della lastra):N x =Es1 − ν 2 (ɛ xm + νɛ ϕm ) (7.11)N ϕ =Es1 − ν 2 (ɛ ϕm + νɛ xm ) (7.12)Sostituendo le deformazioni in funzione degli spostamenti:)N x =Es ( ∂u1 − ν 2 ∂x − ν w RN ϕ =Es (1 − ν 2 − w R + ν ∂u )∂x(7.13)(7.14)Se consideriamo lastre cilindriche non soggette ad alcun carico assiale N x = 0 edovrà essere quindi 2 :∂u∂x = ν w (7.15)Rsostituendo quindi nella eq.(7.14) si ottiene:N ϕ =Es (− w 1 − ν 2 R + w )ν2 = −Es w (7.16)R RSe consideriamo il legame tra momenti flettenti e curvature già visto nel Cap. 3,poiché il problema è assialsimmetrico la superficie media della lastra si può solospostare in direzione radiale, mantenendo costante la curvatura circonferenziale.Risulta quindi:s 3M x = −E(1 − ν 2 ) 12[ ∂ 2 ]w∂x 2 = − Es 3(1 − ν 2 ) 12∂ 2 w∂x 2 (7.17)2 questa è una ipotesi importante della quale dovremo ricordarci per la soluzione dei problemipratici: in caso di sforzi assiali dovremo risolvere il problema come sovrapposizionedegli effetti di sforzi assiali (ricavabili dell’equilibrio assiale) e sforzi circonferenziali dovutialla pressione.113

M ϕ = −E(1 − ν 2 ) 12s 37.1.2 Equazione risolvente[ ]ν ∂2 w∂x 2 = − νEs 3(1 − ν 2 ) 12∂ 2 w∂x 2 (7.18)Derivando la (7.4) in x ed introducendo i termini nella Eq.(7.6) si ottiene:∂ 2 M x∂x 2+ N ϕR= −p (7.19)Sostituendo ora nell’eq.(7.19) le espressioni di N ϕ e M x delle equazioni (7.16) e(7.17), si ottiene:∂ 4 w∂x 4 + 12 ( 1 − ν 2)s 2 R 2 w = p D , (7.20)dove:D =Es 312 (1 − ν 2 )è il modulo di elasticità flessionale della lastra. Ponendo:l’equazione risolutiva diventa:3 ( 1 − ν 2)s 2 R 2 = β 4 (7.21)∂ 4 w∂x 4 + 4β4 w = p D(7.22)L’omogenea (p = 0) ha per soluzione:w = e βx (C 1 cos (βx) + C 2 sin (βx)) + e −βx (C 3 cos (βx) + C 4 sin (βx)) (7.23)7.1.3 Un approccio basato sulla teoria delle traviSi può arrivare all’equazione risolvente delle lastre cilindriche a partire dallateoria delle travi [11].Consideriamo dapprima un concio di lastra cilindrica delimitatodall’angolo dϕ, ed immaginiamo che subisca uno spostamento radialew.Per effetto dello spostamento radiale, la deformazione circonferenziale cui èsoggetto il concio è:ɛ ϕ = − w RNe segue che lo sforzo circonferenziale che ne nasce è:σ ϕ = −E · wRla cui risultante è la forza circonferenziale:N ϕ = −Es · wR114

Se componiamo radialmente il contributo di N ϕ sui due lati del concio, immaginandoche sia assimilabile ad una pressione radiale ρ otteniamo:2 · −Es · wR · dϕ 2= ρ · Rdϕ (7.24)da cui:ρ = − EsR 2 · w (7.25)Consideriamo ora una striscia longitudinale (sempre sottesa dall’angolo dϕ) dellalastra soggetta alla pressione p. Ricordando che l’equazione di equilibrio dellatrave soggetta ad un carico distribuito è:EJ · w IV = p (7.26)Possiamo adattare questa equazione alla nostra striscia di lastra, considerandoche per una una strisciolina di lastra (date le deformazioni trasversali impedite)al posto di EJ va considerato il termine:Es 3(1 − ν 2 )12Inoltre dobbiamo aggiungere al carico distribuito p il carico trasversale ρ dovutoalla cerchiatura esercitata dalla lastra cilindrica sulla striscia, quindi al posto dip dobbiamo considerare:p + ρ = p − EswR 2L’equazione differenziale di equilibrio della trave risulta quindi:ovvero questa equazione coincide con la (7.22).Es 312(1 − ν 2 ) wIV + EsR 2 w = p (7.27)wρN φdφRN φFigura 7.4: Risultante radiale ρ per effetto dello spostamento radiale w.115

pρFigura 7.5: Striscia di lastra soggetta a ρ e p.7.1.4 Integrali particolariSe p varia lungo il tubo con una legge del tipo p = cx n , l’integrale particolaredella (7.22) è 3 :w =cxn4β 4 D = cxn R 2= pR2(7.28)Es EsLe forze circonferenziali che conseguono a questi spostamenti:N ϕ = − Es pR 2= −pR (7.29)R EsGli sforzi:σ ϕ = N ϕs= −pR (7.30)sGli sforzi circonferenziali sono proporzionali solo alla pressione, con dei terminipari allo sforzo di Mariotte. Da notarsi che gli sforzi sono negativi in quanto lapressione va nello stesso verso dell’asse z, nei recipienti in pressione più comunementesi ha una pressione maggiore all’interno del recipeinte: in questo casop sarebbe negativa, come pure (dalle equazioni soprascritte) w, N ϕ e σ ϕ .7.2 Cilindri lunghi caricati su un bordoConsideriamo una lastra cilindrica indefinitamente lunga al cui bordo estremosiano applicati delle forze di taglio T o e delle coppie M o (forze e coppie perunità di lunghezza quindi dimensionalmente sono [N/m] e [N · m/m]), comerappresentato in Fig. 7.6.3 vale la relazione: 4β 4 D = Es/R 2 116

Figura 7.6: Effetti di bordo.La distribuzione di forze è autoequilibrata, quindi ad una distanza x sufficientementegrande dal bordo gli sforzi e le deformazioni dovranno annullarsi(come abbiamo già visto nel Cap. 2).Ne consegue che i termini in e βx della soluzione generale (7.23) dovranno essereessere nulli e quindi C 1 = C 2 = 0. La soluzione sarà quindi rappresentata dasinusoide e cosinusoide smorzate:la cui lunghezza d’onda è:w = e −βx (C 3 cos (βx) + C 4 sin (βx)) (7.31)λ = 2π ββ viene detto coefficiente di smorzamento:β =√4 3 (1 − ν2 )√sR(7.32)con ν = 0.33 assume il valore:β ∼ = 1.285 √sREsempio 7.1 Ad esempio, assumendo 2R = 10s (piccolo spessore) si ottiene:β = 0.575s117

Per βx = π:x = π β =πs ≈ 1.74πs = 5.47s0.575e −π = 0.043quindi già ad una distanza pari a metà lunghezza d’onda gli spostamenti sono di dueordini di grandezza inferiori rispetto a quelli delle estremità caricate del bordo.Ad una distanza βx = 2π il termine e −βx diventa e −2π = 0.0019 e gli spostamentisono di tre ordini di grandezza inferiori rispetto al bordo.Supponendo che vi sia solo M 0 :M x = −E ∂ 2 w(1 − ν 2 ) 12 ∂x 2 = E(1 − ν 2 )Per x = 0:s 3s 312 β2 e −βx (−2C 3 sin (βx) + 2C 4 cos (βx))(7.33)EM x (x = 0) =(1 − ν 2 ) 12 β2 2C 4 = M 0 (7.34)Per determinare il valore di C 3 , ricordando l’eq.(7.6):s 3C 4 = 12 ( 1 − ν 2)2Es 3 β 2 M 0 (7.35)T x = −E(1 − ν 2 ) 12 2β3 e −βx ((C 4 − C 3 ) sin (βx) + (C 4 + C 3 ) cos (βx)) (7.36)s 3da cui, imponendo che per x = 0 sia T = 0:si ottiene:T x (x = 0) = −E(1 − ν 2 ) 12 2β3 (C 3 + C 4 ) = 0 (7.37)Gli spostamenti e le azioni sulla lastra risultano:s 3C 3 = −C 4 = − 12 ( 1 − ν 2)2Es 3 β 2 M 0 (7.38)w [M0] = 6 ( 1 − ν 2)Es 3 β 2 e −βx M 0 (−cos (βx) + sin (βx)) (7.39)M x[M0] = M 0 e −βx (sin (βx) + cos (βx)) (7.40)T x[M0] = −2βM 0 e −βx sin (βx) (7.41)118

Esempio 7.2 Considerando ancora un cilindro con 2R = 10s ed s = 10 mm soggettoad una coppia M 0 = 100 [Nmm/mm], calcolare le azioni interne nel tubo e gli sforzi.Applicando la (7.40) e la (7.41) è facile ottenere l’andamento lungo il tubo delle azionisulla lastra. E’ facile verificare come i punti di stazionarietà di M x si ottengano perβx = 0 e βx = π, ovvero i punti nei quali T x è nullo.1006M x! " m80T x5! x! " f604340220100−200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x [mm](a)−10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x [mm](b)Figura 7.7: Cilindro con momento su un bordo: a) azioni interne sulla lastra; b)sforzi all’intradosso.Lo stato di sforzo sull’intradosso (dove il contributo di M x è positivo) è facilmentecalcolabile:σ x,M = 6Mxs 2 σ ϕ,f = ν · σ x,M σ ϕ = −E w RI diversi termini sono riportati in Fig. 7.7: va annotato come gli sforzi sull’estradosso(per la sola componente flessionale) vadano calcolati con il segno negativo rispetto allerelazioni soprascritte.Considerando ora il caso che vi sia solo T 0 , imponendo la condizione x = 0 nelledue eq.(7.33) e (7.37) si ottiene:e:s 3M x (x = 0) = 0 =⇒E(1 − ν 2 ) 12 β2 (2C 4 ) = 0 =⇒ C 4 = 0 (7.42)T x (x = 0) = T 0 =⇒ −E s 36 ( 1 − ν 2)(1 − ν 2 ) 12 β3 C 3 = T 0 =⇒ C 3 = −T 0Es 3 β 3 (7.43)Spostamenti ed azioni sulla lastra dovute a T 0 risultano quindi:w [T0] = − 6 ( 1 − ν 2)Es 3 β 3 T 0 e −βx cos (βx) (7.44)119

M x[T0] = T 0β e−βx sin (βx) (7.45)T x[T0] = −T 0 e −βx (sin (βx) − cos (βx)) (7.46)Esempio 7.3 Considerando ancora un cilindro con 2R = 10s ed s = 10 mm soggettoad una forza radiale T 0 = 10 [N/mm], calcolare le azioni interne nel tubo e gli sforziall’intradosso.606M x! " m50T x5! x! " f40430320210100−100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x [mm](a)−10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x [mm](b)Figura 7.8: Cilindro con forza radiale su un bordo: a) azioni interne sulla lastra;b) sforzi all’intradosso.In complesso, in presenza sia di M 0 sia di T 0 :w = 6 ( 1 − ν 2)Es 3 β 2 e −βx [M 0 (−cos (βx) + sin (βx)) − T 0β cos (βx) ](7.47)∂w∂x = 6 ( 1 − ν 2)Es 3 β 2 e −βx [2βM 0 cos (βx) + T 0 (cos (βx) + sin (βx))] (7.48)M x = e −βx [M 0 (sin (βx) + cos (βx)) + T 0β sin (βx) ](7.49)T x = e −βx [−2βM 0 sin (βx) − T 0 (sin (βx) − cos (βx))] (7.50)La derivata ∂w/∂x rappresenta la rotazione del bordo cui vengono applicate leazioni: con le convenzioni prese per w ed x, la rotazione è positiva se diretta insenso orario.120

7.2.1 Coefficienti di bordoGli effetti di M 0 e T 0 li possiamo trattare con dei coefficienti che diano spostamentie rotazioni per effetto di forze e coppie unitarie. In particolare calcolandogli spostamenti e le derivate prime in x = 0:w M = − 12β 2 Dw T = − 12β 3 Ddw Mdx = θ M = 1βDθ T = 12β 2 D(7.51)(7.52)(7.53)(7.54)Va annotato come i termini misti dovrebbero essere uguali per il Th. di Maxwell,in realtà il segno è discorde perché abbiamo preso il verso di T discorde con w.I coefficienti di bordo inoltre soddisfano questa relazione:w T · θ M = 2 · w M · θ T (7.55)7.3 Applicazioni7.3.1 Forza radiale su un paralleloCalcoliamo le azioni che nascono su un tubo che venga ‘premuto’ su un paralleloda una forza radiale P .Figura 7.9: Tubo lungo premuto da una forza radiale P lungo un parallelo.Una striscia del cilindro, lungo la generatrice, è come una trave caricata sull’assedi simmetria: la forza P si ripartisce egualmente sulle due metà del cilindro epossiamo mettere in evidenza un momento iperstatico M, come visibile in Figura7.10.121

Figura 7.10: Sezione del cilindro nella zona di applicazione della forza P .Avendo diviso il problema in due cilindri, uniti per un bordo, possiamo usarei coefficienti di bordo. Il momento M deve essere tale da ‘riportare’ a zerol’angolo che la lastra forma per effetto di P/2. In particolare:1βD M − P 12 2β 2 D = 0 =⇒ M = P 4β = P/22β(7.56)Lo spostamento del tubo sotto l’azione di P può essere calcolato ancora con icoefficienti di bordo, sotto l’azione di M e P/2:w| x=0 = − P 4β12β 2 D + P 212β 3 D =⇒ w| x=0 =P8β 3 D(7.57)7.3.2 Vincolo radiale su un tuboSi abbia un tubo soggetto ad una pressione interna p, vincolato a non espandersiradialmente su un parallelo. Calcolare lo stato di sforzo.(a)(b)Figura 7.11: Cilindro in pressione vincolato su un parallelo: a) problema; b)schematizzazione.Calcoliamo, con i concetti del metodo delle forze, la forza T che ‘riporta’ a zerolo spostamento radiale del parallelo vincolato, quando il cilindro è soggetto allapressione interna.T18β 3 D − pR22p= 0 =⇒ T =Es β(7.58)122

Il momento M si ricava dalla soluzione già vista per la lastra caricata su unparallelo.M =p2β 2 (7.59)Si poteva arrivare alla stessa soluzione cercando le forze T 0 e M 0 da applicareal bordo di un tubo per impedire lo spostamento radiale (per il vincolo) e larotazione (per la simmetria).{1βD M 0 + 12β 2 D T 0 = 0− 12β 2 D M 0 − 12β 3 D T 0 −p4β 4 D = 0 (7.60)Notare che T 0 ha verso diverso rispetto a T della soluzione precedente.M 0 =p2β 2T 0 = − p β(7.61)Ovviamente la soluzione trovata fa sì che lo spostamento radiale del parallelosia nullo:w| x=0 = − 1 (2β 3 β pD 2β 2 − p )−pβ 4β 4 D = 0 (7.62)Lo spostamento risulta:w(x) = e−βx2β 3 D[β p2β 2 (sin (βx) − cos (βx)) + p β cos (βx) ]−p4β 4 D(7.63)di cui l’ultimo termine corrisponde all’integrale particolare. Il momento M xvale:[ pM x = e −βx 2β 2 (sin (βx) + cos (βx)) − p ]β 2 sin (βx) (7.64)Esempio 7.4 Considerando un cilindro con R = 200 [mm] ed s = 10 mm soggetto aduna pressione interna p = 15 [N/mm 2 ] che è impedito di spostarsi radialmente su unparallelo, calcolare gli sforzi all’intradosso del tubo.Applicando le relazioni trovate si ottengono dapprima w ed M x (è presente anche ilmomento anticlastico M ϕ = νM x), gli sforzi risultano:σ x = 6Mxs 2 σ ϕ,f = ν · σ x,m σ ϕ,m = −E w RL’andamento degli sforzi rappresentato in Fig. 7.12. Val la pena notare come nellasezione di mezzeria, essendo impedito lo spostamento radiale, lo sforzo σ ϕ,m = 0.La seconda osservazione che si può fare è che lo sforzo circonferenziale membranalepuò essere anche calcolato come:σ ϕ,m = − E R w(M0, T0) + pR s(7.65)ovvero come somma del contributo dovuto allo spostamento indotto dalle iperstatichee del contributo dovuto allo sforzo di Mariotte.123

600! " m500400! x! " f300!2001000−100−2000 50 100 150 200 250 300x [mm]Figura 7.12: Sforzi all’intradosso del tubo, con una pressione interna p =15 [MP a], la cui espansione è impedita su un parallelo.Si può facilmente vedere come lo sforzo σ ϕ,m sia massimo per βx = π = 109.3 [mm].Per βx = 2π gli effetti di bordo sono trascurabili: per x > 2π/β il cilindro non risentedella presenza del vincolo (lo stato di sforzo e deformazione corrisponde ai soli effettidella pressione interna) e si comporta come un cilindro di lunghezza indefinita.7.3.3 Cerchiatura del tuboSi abbia un tubo soggetto ad una pressione p, rinforzato su un parallelo da unanello di sezione trasversale A (supponiamo la sezione sufficientemente strettada immaginare che i due corpi si scambino azioni su un parallelo): vogliamocalcolare lo stato di sforzo.Risolvendo con il metodo delle forze, il problema è ricercare la forza radialeT che si scambiano anello e cilindro, imponendo che i due corpi abbiano lostesso spostamento radiale. Conosciamo già la cedevolezza del tubo premutoradialmente, dobbiamo calcolare quella della trave anulare 4 .Considerando la trave anulare soggetta ad una forza radiale T , la trave risultasoggetta (facendo l’equilibrio radiale su un semi-anello) ad un’azione assiale N4 La schematizzazione a trave è corretta se l’altezza dell’anello è piccola, altrimenti l’anelloandrebbe schematizzato come un disco forato124

ATp(a)(b)Figura 7.13: Cilindro in pressione rinforzato su un parallelo: a) problema; b)schematizzazione con il metodo delle forze.che genera uno sforzo circonferenziale σ ϕ :N = T · R ⇒ σ ϕ = T · RAPoichè la deformazione circonferenziale è ɛ ϕ = u/R, lo spostamento radiale chesubisce l’anello risulta:u = T · R2(7.66)E · AScrivendo l’equazione di congruenza (spostamento cilindro = spostamento anello)si ottiene:T ·18β 3 D − p · R24β 4 = −TD E · A(7.67)da cui con alcuni semplici passaggi (ricordando che 4β 4 D = Es/R 2 ) si ottiene:( βT2 A)+ s = pda cui:T =pβ2 + s A(7.68)Val la pena notare come se A → ∞, allora T = 2p/β (come nel caso del vincoloradiale sul parallelo), mentre se A → 0 allora T → 0.Esempio 7.5 Considerando un cilindro con R = 200 [mm] ed s = 10 [mm] soggettoad una pressione interna p = 15 [N/mm 2 ] su cui è saldato un anello avente sezione20 × 50 [mm], calcolare gli sforzi all’intradosso del tubo e lo sforzo assiale sul rinforzo.Applicando le formule precedenti si ottiene T = 615.47 [N/mm], da cui si ricavanole azioni applicate sul bordo del cilindro nella sezione di mezzeria: M 0 = T/4β eT 0 = −T/2. Lo spostamento w ed M x dovuto alle iperstatiche si calcolano quindisemplicemente con la (7.47) e la (7.49). Lo sforzo circonferenziale medio si calcola125

quindi in modo semplice con la (7.65). In particolare gli sforzi sono rappresentati nellaFig. 7.14 : lo sforzo circonferenziale medio in x = 0 risulta meno del 50% dello sforzodi Mariotte nel cilindro semplice.Lo sforzo nell’anello risulta: σ ϕ,an = 123.1 [MP a]: è da notare che tale valorecorrisponde allo sforzo circonferenziale membranale nel tubo.350300250200! " m! x! " f150!100500−50−1000 50 100 150 200 250 300x [mm]Figura 7.14: Sforzi all’intradosso di un tubo (R = 200 [mm], s = 10 [mm])rinforzato con un anello di dimensioni 20 × 50 [mm] soggetto ad una pressioneinterna p = 15 [MP a].Come si vede dall’esempio precedente, la cerchiatura provoca una drasticariduzione dello sforzo σ ϕ,m nel tubo. Questo è il principio su cui funzionano lecondotte cerchiate, su cui vengono messi degli anelli equispaziati, per ridurre losforzo nel tubo e permettere alla tubazione di assorbire sovrapressioni e colpid’ariete (in questo modo si risparmia materiale rispetto ad una condotta dispessore uniforme). Nelle reali applicazioni gli anelli vengono forzati sul tubo peragevolare il collegamento meccanico e precaricare in compressione la condotta.La distanza tra gli anelli in una cerchiatura reale deve essere minore dellametà di λ = 2π/β altrimenti l’effetto benefico si limita a brevi zone sotto ciascuncerchio [11].7.4 Recipienti cilindriciLa risoluzione della giunzione tra lastre cilindriche ed altri elementi (travi adanello, fondi piani, fondi sferici) tramite il metodo delle forze, come visto nelle126

applicazioni precedenti, permette di trovare lo stato di sforzo presente nei recipientiin pressione. Avendo già analizzato fondi piani e travi ad anello, nelseguito si esaminano i coefficienti elastici e lo stato di sforzo nelle fondi (cupole)sferici, per poi calcolare lo stato di sforzo in un recipiente a spessore costantesoggetto a pressione interna7.4.1 Fondi sfericiConsideriamo una porzione di fondo sferico di raggio R e spessore s ed indichiamocon ω f l’angolo che il fondo forma con il piano che contiene il bordo.Si dimostra che sotto l’azione di forze radiali T unitarie applicate al bordo, glispostamenti risultano [11]:w T = − sin2 ω f2β 3 Dθ T = sin2 ω f2β 2 D(7.69)e che per effetto di coppie M unitarie risultano:w M = − sin2 ω f2β 2 Dθ M = sin2 ω fβD(7.70)Osservando le equazioni precedenti, si osserva facilmente che per ω fcoefficienti di bordo sono quindi uguali a quello di un cilindro lungo.= 90 iTMRω fFigura 7.15: Applicazione di forze al bordo di una porzione di fondo sferico.Considerando il fondo sferico soggetto alla pressione p, gli sforzi membranali(uguali lungo lungo i meridiani e lungo i paralleli) presenti sono:σ ϕ = − pR2s(7.71)127

con le stesse convenzioni di segno già assunte per i cilindri (pressione positivase agente sulla superficie esterna). Nella risoluzione dei problemi andrà quinditenuto in conto che lo spostamento radiale del fondo, ricavabile dagli sforzimembranali, è diverso da quello del mantello cilindrico.7.4.2 Recipiente con fondi semisfericiConsideriamo un recipiente cilindrico di raggio R e spessore s con fondi semisfericidi uguale spessore, soggetto alla pressione interna p. Per effetto dellaTMTMppFigura 7.16: Forze che si sviluppano alla giunzione fondo-cilindro di un recipientein pressione.pressione interna le deformazioni circonferenziali nei due corpi (cilindro e fondo)sono rispettivamente:ɛ ϕ,c = 1 EpR(2 − ν)2s ɛϕ,f = 1 EGli spostamenti radiali (essendo ɛ ϕ = u/R) sono:u c = 1 EpR 2(2 − ν)2s uf = 1 EpR(1 − ν) (7.72)2spR 2(1 − ν) (7.73)2sNascono quindi delle azioni iperstatiche M e T che ristabiliscono la congruenzadelle deformazioni tra i corpi. In particolare, scrivendo la prima equazione dicongruenza degli spostamenti angolari:1βD M − 12β 2 D T = − 1βD M − 12β 2 D T (7.74)128

da cui si ottiene M = 0 (ciò è dovuto al fatto che T genera delle rotazioni ugualisui due corpi e non è quindi ulteriormente necessario M). Dalla congruenzadegli spostamenti radiali (sapendo già che M = 0):12β 3 D T − 1 EpR 21(2 − ν) = −2s 2β 3 D T − 1 EpR 2(1 − ν) (7.75)2sda cui si ricava:T = p(7.76)8βGli sforzi si ricavano quindi dalle (7.47) ed (7.49) (nelle quali T 0 = −T per laconvenzione di Fig. 7.16 contraria a quelle che avevamo assunto per gli effettidi bordo). In particolare:M x = − p8β 2 e−βx sin βxT x = p8β e−βx (sin βx − cos βx)Il massimo di M x si raggiunge quando T x = 0, ovvero per βx = π 4. In corrispondenzadi tale distanza lo sforzo σ x,f è massimo (il segno negativo di M xsignifica che sono tese le fibre all’estradosso) a cui va sommato lo sforzo membranaleσ x,m = pR/2s. In particolare lo sforzo massimo all’estradosso del cilindrorisulta:σ x,max = σ x,f,max + σ x,m =tale valore è circa pari a 1.29 · σ x,m .3 √ 2R8s √ 3(1 − ν 2 ) e−π/4 p + pR2s(7.77)Esempio 7.6 Considerando un recipiente cilindrico a fondi semisferici con R = 200 [mm]ed s = 10 [mm] soggetto ad una pressione interna p = 15 [N/mm 2 ], calcolare gli sforzisul mantello cilindrico.Dalla (7.76) ricaviamo T 0 = −65.23 [N/mm] e possiamo rappresentare gli sforzi in Fig.7.17. Va annotato come il calcolo dello sforzo membranale circonferenziale, poichèsiamo in un caso in cui N x ≠ 0, può essere fatto solo attraverso la (7.65): la ragionesta nel fatto che lo spostamento radiale del mantello cilindrico (a causa della presenzadello sforzo assiale) non è più descritto dalla (7.28).7.4.3 Altri recipientiLa soluzione vista prima per il recipiente con fondi semisferici (M 0 = 0) valesolo per il caso di cilindro e fondi aventi medesimo spessore. In tutti gli altricasi (o nel caso di giunzioni con altri elementi quali travi ad anello o fondi piani)le due equazioni di congruenza formano un sistema 2 × 2 da cui si ricavano leazioni iperstatiche M 0 e T 0 .129

350300! ",m250! ",i! ",e200! x,i!! x,e1501005000 50 100 150 200 250 300x [mm]Figura 7.17: Sforzi all’intradosso di un recipiente cilindrico (R = 200 [mm], s =10 [mm] costante) con fondi semisferici, soggetto ad una pressione interna p =15 [MP a].7.5 EserciziEsercizio 7.1 Calcolare gli spostamenti e la distribuzione di sforzi in un tubo pereffetto di un sistema di coppie applicate lungo un parallelo (è il duale della forzaradiale sul parallelo). Perchè σ ϕ.m deve risultare nullo in corrispondenza del parallelodi applicazione delle forze ?Esercizio 7.2 Perchè in un tubo cerchiato lo sforzo circonferenziale sul tubo è pari aquello sull’anello ?Esercizio 7.3 Calcolare la distribuzione di sforzi nel mantello cilindrico di un recipientea fondi chiusi (R = 100 [mm] e s = 10 [mm]), rinforzato da un anello 50 ×20 [mm] soggetto ad una pressione di 300 bar.130

Parte IIIApplicazioni ed organi dimacchina131

Capitolo 8Fatica degli elementi saldatiSi espongono i concetti fondamentali delle verifiche a fatica degli elementi saldati alla lucedelle vigenti normative, insieme con una descrizione delle verifiche basate sul concetto dihot-spot. Per un quadro più completo, si accenna quindi alla propagazione di difetti ed aimetodi per incrementare la resistenza a fatica di un giunto saldato 1 .8.1 Introduzione alla resistenza a fatica dei giuntisaldatiLa saldatura è una tecnica di giunzione di materiali, solitamente metalli, percoalescenza. Ciò si ottiene provocando la fusione locale delle parti da collegare,eventualmente con l’aggiunta di materiale d’apporto. In questo modo si formauna mescolanza di materiale fuso che, una volta raffreddato, costituisce unagiunzione resistente. Le fonti di energia per la saldatura possono essere unafiamma a gas, un arco elettrico, un laser o un fascio di elettroni. A saldaturaavvenuta, nella zona di saldatura si possono riconoscere un certo numero di zonedistinte.Figura 8.1: Saldatura e zona termicamente alterataLa saldatura vera e propria è la cosiddetta zona fusa (dove è stato eventualmentedisposto il materiale d?apporto). Le proprietà della zona fusa dipendono1 a cura di A. Bernasconi e M. Filippini132

Figura 8.2: configurazioni tipiche dei giunti saldatiessenzialmente dal materiale d?apporto utilizzato e dalla sua compatibilità conil materiale base. La circonda la zona termicamente alterata, fatta di materialebase la cui microstruttura e le cui proprietà sono state alterate dal processo disaldatura (si veda il profilo di durezza in corripsondenza della zona termicamentealterata in Figura 8.1). In questa zona si sviluppano le tensioni residue cheverranno descritte nel seguito.I giunti saldati si classificano in base alla geometria e alla disposizione deilembi delle lamiere che vengono collegate tra loro. In Figura 8.2 sono riportatele configurazioni più diffuse:1. giunto di testa (butt joint)2. giunto di testa con preparazione (single V butt joint)3. giunto a sovrapposizione (lap joint)4. giunto a T (T-butt weld)La preparazione consiste in una lavorazione dei lembi da saldare atta a favorirela disposizione del materiale d’apporto in modo tale da ottenere la completapenetrazione, cioè il completo ripristino della sezione resistente.Come si può vedere in Figura 8.3, la presenza di una saldatura modifica lacurva S-N di un acciaio in misura molto più gravosa di un semplice intaglio, conun abbassamento del limite di fatica e un incremento della pendenza della curvastessa. La presenza di saldature riduce la resistenza a fatica di un componenteessenzialmente per le seguenti ragioni:133

Figura 8.3: Confronto tra le curve S-N del materiale base, intagliato e saldatoFigura 8.4: Posizione del piede e della radice di una saldatura• concentrazione di sforzi dovuta alla forma della saldatura e alla geometriadel giunto;• concentrazione di sforzi causata dai difetti di saldatura;• sforzi residui introdotti durante la saldatura.I punti di possibile nucleazione di fratture si trovano solitamente in corrispondenzadel piede del cordone, della base della saldatura (radice, secondo laterminologia di Figura 8.4), o nei punti di interruzione del cordone nel caso disladature discontinue o interrotte.La geometria locale di un cordone di saldatura è variabile da punto a puntoe si discosta dalla geometria nominale per la forma (non necessariamente triangolare)e per la presenza di sporgenze e rientranze non sempre riconducibili araggi di raccordo. Quanto anche sia possibile riconoscere dei dettagli geometriciassimilabili a raggi di raccordo, i valori presentano un’elevata dispersione al variaredella posizione lungo il cordone lungo il quale si effettuano i rilievi. A titolodi esempio, in Figura 8.5 è riportata la micrografia di una sezione trasversaledi una saldatura su cui sono stati rilevati i raggi di raccordo e il grafico con la134

distribuzione dei raggi di raccordo misurati . I difetti presenti in una saldaturaFigura 8.5: Rilievo dei raggi di raccordo in una sezione trasversale di un cordonedi saldatura e distribuzione dei valori di raggio rilevati [13].sono di diverso tipo (in Figura 8.6 sono rappresentati i difetti più ricorrenti)e sono provocati da meccanismi essenzialmente riconducibili alla successione diriscaldamento e rapido raffreddamento, nonché alla deposizione di materiale diapporto. Per individuare i difetti le saldature sono soggette a controlli non distruttivi(radiografie, ultrasuoni) e pertanto ill livello e la qualità del controllocontribuisce a determinare i valori degli sforzi ammissibili.Figura 8.6: Difetti tipici presenti in una saldatura.Gli sforzi residui si sviluppano in corrispondenza della saldatura per effettodella contrazione del materiale fuso durante il raffreddamento, che viene inparte contrastata dal materiale base che, avendo raggiunto una temperaturainferiore, ha subito una deformazione iniziale inferiore. Come tutte le tensioniresidue, anche quelle derivanti dal processo di saldatura sono autoequilibrate(cioè la risultane delle forze ad essi associate è nulla). La distribuzione tipica diqueste tensioni è mostrata in Figura 8.7, dove si può osservare che è presenteuna componente di trazione residua che si estende per un lungo trato lungo il135

cordone di saldatura. Queste tensioni residue possono raggiungere valori moltoelevati, dell’ordine di grandezza dello snervamento del materiale base. Le tensioniresidue possono essere ridotte o eliminate mediante trattamenti termici didistensione.Figura 8.7: Distribuzione degli sforzi residui in una saldaturaIn generale per valutare correttamente la resistenza di una saldatura, si deveadeguatamente tenere conto complessivamente di tutti i seguenti parametri:• ampiezza degli sforzi applicati;• livello caratteristico degli sforzi medi e sforzi residui indotti dal processo;• concentrazione di sforzi causati dalla geometria;• dimensioni e posizione delle discontinuità della saldatura.I primi due sono una conseguenza dei carichi applicati sulla struttura e soloparzialmente del processo di realizzazione della saldatura (sforzi residui), mentregli altri tre parametri dipendono dalle scelte progettuali e dalle caratteristichee dalla qualità della saldatura.La resistenza di una giunzione saldata può venire espressa in termini di fattoridi riduzione, detti anche efficienze, che esprimono il rapporto tra la resistenza136

Figura 8.8: Componenti di sforzo considerate nella definizione delle efficienzea fatica di una giunzione saldata e quella del materiale base. Solitamente fannoriferimento al limite di fatica; vedremo nel seguito che il concetto di limite difatica trova una definizione convenzionale nell’ambito delle normative di riferimentoper la verifica delle saldature. Questi fattori di riduzione sono definiti conriferimento alle ampiezze delle componenti di sforzo agenti in direzione perpendicolareσ ⊥ , parallela σ ‖ e tangente τ ‖ al cordone di saldatura (v. Figura 8.8).Se indichiamo con ∆σ ⊥,A , ∆σ ‖,A e ∆τ ‖,A i limiti di fatica associati a queste trecomponenti, con ∆σ D e ∆τ D i limiti di fatica del materiale base (a trazione e ataglio, rispettivamente), le corrispondenti efficenze γ ⊥ , γ ‖ γ τ sono espresse nelseguente modo:γ ⊥ = ∆σ ⊥A∆σ D(8.1)γ ‖ = ∆σ ‖A∆σ D(8.2)γ τ = ∆τ ‖A∆τ D(8.3)Valori caratteristici delle efficienze per un acciaio da costruzione simile all’Fe360sono riportati nella tabella di Figura 8.10, in cui ∆σ D = 240 MPa(questo valore, corrispondente P f =10%, è relativo a un rapporto di ciclo R = 0,cioè a fatica pulsante, mentre la resistenza a fatica alternata, cioè a R= -1, dell’Fe360è ∆σ D,R=−1 /2 = 180 MPa; questi valori sono coerenti con il diagrammadi Haigh di Figura 8.9 ). Si noti che le efficienze sono indicate con il simbolo γa indicare che fanno riferimento a proprietà del materiale base ∆σ D ricavate daprovini estratti da lamiera grezza e non da provini lucidati (diverso effetto dellafinitura superficiale). Una tabella analoga, valida per le leghe di alluminio, èriportata in Figura 8.11137

Figura 8.9: Diagramma di Haigh semplificato per l’acciaio Fe360Figura 8.10: Valori tipici delle efficienze di giunti saldati in acciaio strutturale [14]Figura 8.11: Valori tipici delle efficienze di giunti saldati in alluminio [14]138

Figura 8.12: Coefficienti di sicurezza per la resistenza a fatica γ MF proposti daEurocodice 3.8.2 Approccio agli sforzi nominali secondo le normativePoiché la saldatura è molto utilizzata come tecnica per realizzare opere e struttureper uso civile, oltre che per la realizzazione di apparecchi in pressione, in tuttii paesi sono state pubblicate norme e linee guida per la verifica di giunzioni saldate.In Italia, fino a pochi anni fa era attiva la normativa CNR UNI 10011 [15],che riguardava in generale le strutture in acciaio 2 e che presenta anche una parteriguardante la verifica di resistenza a fatica delle giunzioni saldate. Normativesimili sono pubblicate in altri paesi. Ad esempio, le normative inglesi (BS) [16]pubblicano alcune normative che sono specifiche per il calcolo a fatica. Oggi ilriferimento normativo più aggiornato sulla verifica a fatica di strutture saldatesono le normative europee (Eurocode 3 per le strutture ini acciaio [17], Eurocodice9 [18] per le strutture in alluminio). In aggiunta alle normative, esistonolinee guida per la progettazione e la verifica a fatica dell saldature, come quellaprodotta dall’IIW, International Institute of Welding [19]. Pur non avendo valorenormativo, le linee guida presentano importanti suggerimenti e complementialle prescrizioni dell normative.Nel caso della progettazione a fatica, le norme possono essere intese comerequisito minimo per la garanzia dei prodotti, e un’ulteriore analisi si deve renderenecessaria per quei componenti che si ritengono critici per la sicurezza (sipensi alle costruzioni impiegate per il trasporto ferroviario). Si tenga conto cheimportanti campi della tecnica non utilizzano codici e normative per la progettazione,come ad esempio il settore automobilistico e il settore aerospaziale, purfacendo largo uso della tecnica della saldatura.In generale, le normative si basano sul calcolo degli sforzi nominali. Le normeimpongono di verificare che le ampiezze di variazione degli sforzi nominali, ∆σsiano sempre inferiori ad un’ampiezza nominale ammissibile, ottenuta dividendol’ampiezza limite per un opportuno coefficiente di sicurezza corrispondente, aseconda dei casi, a durata illimitata, o a durata finita oppure ancora al caso dicondizioni di carico variabili. In Figura 8.12 è riportata la tabella dei coefficientidi sicurezza γ MF proposti da Eurocodice 3.2 Per gli apparecchi in pressione sono previste normative specifiche: in questi casi i controllie le verifiche sono ancora più dettagliate. Infatti in questo settore delle costruzioni meccaniche,la tecnica di saldatura riveste, a ragione, importanza fondamentale.139

Figura 8.13: Curve SN utilizzate dalla normativa Eurocodice 3. .Gli sforzi ammissibili in funzione del numero di cicli atteso, sono dati sottoforma di curve SN in funzione della classe della giunzione. In Figura 8.13 sonoriportate le curve SN relative agli acciai da costruzione (sono valide per tuttigli acciai da costruzione con f y ≤ 690N/mm 2 ), tratte da Eurocodice 3. Questecurve S-N sono ottenute per traslazione lungo l’asse dei ∆σ di una curva diriferimento, riportata in Figura 8.14. Sono caratterizzate dallo stesso valoredell’inverso della pendenza m 1 = 3 del tratto a termine, mentre si distinguonoper il valore della resistenza ∆σ C a N = 2 · 10 6 cicli. Questo tratto rettilineo siestende fino a durate pari a N C = 5 · 10 6 cicli. Oltre a questa durata, nel casodi fatica ad ampiezza costante, si considera che esista un valore ∆σ D al di sottodel quale non sia necessaria alcuna verifica (linea c trattegiata in figura 8.14).L’ulteriore tratto continuo che in Figura 8.14 termina con il tratto orizzontaled verra spiegato nel seguito con riferimento alla verifica a fatica in presenza disforzi ad ampiezza variabile.Curve S-N analoghe sono disponibili per i giunti saldati in lega di aluminio,come riportato in Figura 8.15. La norma di riferimento in questo caso è Eurocodice9 [18] (in questa norma, per alcuni tipi di giunzioni in alluminio, sonopreviste pendenze del tratto a termine diverse da quelle degli acciai e diverse alvariare della classe del giunto).Concorrono alla definizione della classe tre elementi principali: la geometria(in ultima analisi il tipo di discontinuità o intaglio), il tipo di sollecitazione(il tipo di forze che deve trasmettere il giunto e la posizione del loro punto140

Figura 8.14: Curva SN di riferimento utilizzata dalla normativa Eurocodice 3.Figura 8.15: Curve SN relative alle costruzioni in alluminio [19].141

Figura 8.16: Esempio di tabella relativa alle classi di resistenza delle saldature,tratta da Eurocodice 3.142

di applicazione) ed infine la qualità della fabbricazione e/o il tipo e il livellodi controlli eseguiti. Come mostrato in Figura 8.16, le normative propongonotabelle dove nella prima colonna è riportato il valore di ∆σ, nella seconda unoschea della giunzione e delle forze che trasmette, nella terza una descrizionee infine nella quarta eventuali precisazioni o considerazioni sulle modalità direalizzazione o sul livello di controllo.Dalle espressioni delle curve SN, del tipo ∆σ m · N = ∆σC m · N C, si ricaval’espressione della durata corrispondente a un dato ∆σ nominale applicato: peril tratto a termine (cioè per ∆σ > ∆σ C , vale a dire per N < 5 · 10 6 ), si ha( ) m1N = 2 · 10 6 ∆σC(8.4)∆σ/γ MFIl valore dello sforzo nominale applicato, da cui si ricava ∆σ, è calcolato seguendola definizione corrispondente alla classe del giunto, cioè con riferimento aduna determinata configurazione di carichi e ad una sezione resistente indicatadalla norma. Si osservi che ai fini della verifica è richiesto di consideare solol’ampiezza ∆σ della variazione degli sforzi, trascurando il valore medio. Ciò ègiustificato dalla presenza, nelle giunzioni saldate che non siano state soggette atrattamento termici di distensione, degli sforzi residui di trazione (come abbiamogià visto possono raggiungere il carico di snervamento del materiale base).La presenza di questi sforzi residue rende di fatto trascurabile la presenza diuna componente media aggiuntiva, sia essa di trazione o di compressione, legataagli sforzi applicati. Nel caso di giunzioni distese è invece previsto che si tengain conto l’effetto degli sforzi medi.Figura 8.17: Disegno e dimensioni della struttura da verificare143

Esempio 8.1 Sia data una struttura come quella disegnata in Figura 8.17. Si trattadi una porzione di una trave a struttura scatolare, con due rinforzi saldati sulle piattabandesuperiore ed inferiore, terminati con una sagoma semicircolare. Il modulo diresistenza della sezione nominale è quello della sezione rettangolare cava di dimensioni330 x 400 x 10, e valeW = 1 12(330 · 400 3 − 310 · 380 3) · 4002 = 1, 71 · 106 mm 4 (8.5)Supponendo che in corrispondenza della sezione A-A, posta al termine del rinforzosemicircolare, agisca l’azione interna momento flettente pulsante ∆M = 128,5 kNm,si calcola uno sofrzo nominale σ = M/W = 75MP a. Ipotizzando l’impiego di unacciaio strutturale, la classe di dettaglio riportata in Eurocodice 3 più simile a questaconfigurazione è la qunta dall’alto tra quelle riportate in Figura 8.16. Il valore di ∆σ Cassociato è 50 MPa e pertanto si calcola una durata( ) 3N = 2 · 10 6 50= 592.000 (8.6)758.2.1 Effetto dello sforzo medioNel caso in cui la giunzione abbia subito un trattamento termico di distensionedelle tensioni residue, è opportuno tenere conto dell’effetto della componentemedia del ciclo degli sforzi sulla resistenza a fatica. Come è noto, una componentedi compressione ha l’effetto di aumentare la resistenza a fatica. Poichéle curve di riferimento fanno rifermento a prove di fatica pulsante (rapporto diciclo R = 0), qualora una parte del ciclo degli sforzi sia di compressione, anzichémodificare le curve, Eurocodice 3 prevede di modificare il valore dello sforzo nominale∆σ, secondo lo schema riportato in Figura, cioè aggiungendo alla partepositiva del ciclo il 60% della frazione di compressione.Un approccio molto più chiaro è quello proposto dalle linee guida dell’IIWprevedono di modificare il valore di ∆σ C , moltiplicandolo per un fattore correttivof R che tenga conto del rapporto di ciclo R, i cui valori sono riportatiin Figura 8.19. Ad esempio considerando una saldatura completamente distesasoggetta ad uno sforzo alternato simmetrico (R = −1), lo sforzo ammissibile∆σ C della saldatura può aumentare di un fattore 1.6 rispetto ai valori usualiriportati nelle tabelle di resistenza delle varie classi di saldatura.8.2.2 Multiassialità degli sforziNel caso di giunzioni saldate di elementi in acciaio, qualora lo stato di sforzonominale consista in una componente di taglio agente in direzione parallela alcordone di saldatura, è prevista l’adozione di due curve S-N espresse in terminidi ∆τ, caratterizzate da una pendenza del tratto a termine minore (m 1 = 5)di quella associata a sforzi ∆σ agenti in direzione perpendicolare al cordone di144

Figura 8.18: Modifica del ciclo degli sforzi per giunzioni distese, secondo normativaEurocodice 3.saldatura (m 1 = 3). In Figura 8.20 sono riportate le curve corrispondenti alleclassi contemplate da Eurocodice 3.Nel caso di presenza contemporanea di sforzi normali ∆σ e tangenziali ∆τ,qualora per la classe di dettaglio in questione non sia espressamente previstadalla normativa una formula che permetta di calcolare un’ampiezza di variazionedegli sforzi di riferimento, si procede alla combinazione delle due componentisecondo la seguente formula di verifica( ) 3 ( ) 5 ∆σ ∆τ+ ≤ 1.0 (8.7)∆σ C ∆τ CIl significato fisico della (8.7) è che tale equazione corrisponde a combinare i ∆σed i ∆τ in modo che il danno (vedi sezione seguente) sia 1, in corrispondenzadi 2 · 10 6 cicli. Nel caso di verifica per un numero di cicli inferiore, effettuandoquindi un calcolo simile, si può applicare più intuitivamente la relazione:( ) ( )n n+ ≤ 1.0 (8.8)N N8.2.3 Sforzi ad ampiezza variabileσNel caso di verifiche a fatica in presenza di sforzi ad ampiezza variabile, le curveS-N di riferimento vengono modificate in moto tale da ammettere un contributoal danno per fatica anche di cicli di ampiezza inferiore a ∆σ D . Esiste ancoraun limite di fatica, ma questo limite è spostato più in basso, al valore ∆σ L ,corrispondente a durate superiori a N = 10 8 cicli. Il tratto compreso tra ∆σ D eτ145

Figura 8.19: Fattore di correzione della resistenza a fatica, secondo le line guidadell’IIW.Figura 8.20: Curva SN utilizzate dalla normativa Eurocodice 3 per la verifica inpresenza di sforzi di taglio.146

∆σ L si assume che abbia una pendenza pari a 1/m 2 , dove m 2 = 2 · m 1 − 1 = 5per gli acciai.Nel caso di sforzi ad ampiezza variabile Eurocodice 3 prevede una procedurariassunta in figura8.21. Per prima cosa è necessario costruire la sequenzatemporale degli sforzi nominali in corrispondenza del dettaglio da verificare.Successivamente, con un opportuno metodo (per esempio il metodo Rainflow)si procede all’individuazione dei cicli e al loro conteggio, al fine di costrure unospettro di carico, caratterizzato da blocchi di ampiezza ∆σ i che si estendonoper un numero di cicli n i . Per ciascuno di questi blochhi, con rifernimento allacurva S-N del dettaglio in questione, si calcola il numero di cicli a rottura N i .La verifica finale è condotta applicando una legge di somma lineare del danno(legge di Miner)∑ niN i≤ D = 1.0 (8.9)dove N i viene calcolato applicando le seguenti equazioni:( ) m1∆σ i > ∆σ C → N i = 2 · 10 6 ∆σC(8.10)∆σ i /γ MF( ) m2( ) m1∆σ < ∆σ C → N = 2 · 10 6 ∆σC 2(8.11)∆σ i /γ MF 5Il valore della somma del danno D uguale a 1.0 è ritenuta dall’IIW nonconservativo. Pertanto viene proposto un valore ridotto a 0.5.147

Figura 8.21: Schema proposto da Eurocodice 3 per la verifica in presenza di sforziad ampiezza variabile.148

8.3 Metodo hot-spotQualora il manufatto che è oggetto della verifica non sia riconducibile a nessunadelle classi previste dalle normative, è possibile applicare un metodo, detto hotspot [20], basato sull’intensità delle azioni interne, valutate in corrispondenzadel cordone di saldatura mediante opportune tecniche di estrapolazione (ovviamentenulla vieta di applicare il metodo hot spot anche a giunzioni contemplatetra ii dettagli strutturali contemplati dalle normative). L’estrapolazione è necessariain quanto la distribuzione degli sforzi nello spessore di una lamiera incorrispondenza di una saldatura non è direttamente riconducibile ai valori delleazioni interne che la hanno generata. Ciò è dovuto alla presenza del cordone disaldatura che genera una concentrazione di sforzo e una distribuzione non linearedegli sforzi lungo lo spessore, come mostrato in Figura 8.22. Le sole azioniFigura 8.22: Distribuzione degli sforzi nello spesssore in corrispondenza di unagiunzione saldata.Figura 8.23: Distribuzione lineare degli sforzi nello spesssore, in corrispondenza diuna giunzione saldata, atttribuibile alle sole azioni interne.interne (momento flettente, che genera σ b , ed azione assiale membranale, chegenera σ m ) infatti genererebbero una distribuzione lineare, quale quella mostatain Figura 8.23. Questa distribuzione di sforzi prende il nome di sforzi strutturali,in quanto appunto legati alle sole azioni interne. A questa si aggiunge una componentenon lineare σ nlp , il cui andamento dipende dalla geometria locale del149

cordone di saldatura. Poiché, come abbiamo visto, tale geometria presenta unavariabilità elevata, con il metodo hot spot si mira a ottenere uno sforzo localedi riferimento in corrispondenza del punto più sollecitato, l’hot spot appunto,che non dipenda da queste condizioni locali non note.Figura 8.24: Distanza minima dal giunto da cui si procede per l’estrapolazionedegli sforzi strutturali.Per ricavare il valore dello sforzo strutturale nell’hot spot viene prescrittaun’estrapolazione a partire dai valori segli sforzi strutturali calcolati in prossimitàdel giunto, a partire da una distanza minima fissata in 0, 4t, dove t è lospessore della lamiera di base. Il valore di 0, 4t è quello che nella maggior partedei casi garantisce che la distribuzione degli sforzi nello spessore non risenta piùdella componente non lineare σ nlp , come mostrato in Figura 8.24. Poiché nellamagior parte dei casi si procede ad un’estrapolazione lineare, il secondo puntosi posiziona ad una distanza pari allo spessore t della lamiera di base.Mediante questa tecnica di estrapolazione, lo sforzo strutturale nell’hot spotrisulta più basso dello sforzo di picco reale, ma maggiore dello sforzo nominale,come mostrato schematicamente in Figura 8.25. Rispetto allo sforzo nominaleσ n , lo sforzo di hot spot σ HS risulta pertanto amplificato di un coefficiente K s ,per cuiσ HS = K s · σ n (8.12)Il metodo hot spot si presta particolarmente all’applicazione ad analisi agli elementifiniti di strutture. E’ sufficiente disporre della coppia di nodi (di estremità,ma anche intermedi, o mid-node) posti alle distanze prescritte, come mostratoin Figura 8.26. Poiché nella pratica è frequente l’impiego di elementi aventi mediamentetutti le stesse dimensioni, è ammesso il ricorso all’estrapolazione anchea partire da nodi intermedi posti alle distanze di 0, 5t e 1, 5t, come mostrato inFigura 8.27Le formule che forniscono il valore dello sforzo nell’hot spot sono, per l’estrapolazioneeseguita a partire da punti posti alle distanze di 0, 4t e 1, 0t,σ hs = 1, 67 · σ 1,0t − 0, 67 · σ 0,4t (8.13)150

Figura 8.25: Definizione del coefficiente K s .Figura 8.26: Estrapolazione degli sforzi strutturali da un modello FEMFigura 8.27: Estrapolazione degli sforzi strutturali da un modello FEM con nodiequidistanti151

mentre per l’estrapolazione a partire da punti posti alle distanze 0, 5t e 1, 5tσ hs = 1, 5 · σ 1,5t − 0, 5 · σ 0,5t (8.14)Il tipo di elemento ottimale da impiegare per questo tipo di analisi deveessere quello che permetta di calcolare σ HS con il minor numero di elementi. Intal senso si consiglia di utilizzare (v. Figura 8.28):• elementi solidi quadratici, con un solo elemento nello spessore, a integrazioneridotta, con rappresentazione del cordone di saldatura medianteelementi di tipo prismatico• elementi shell quadratici con rappresentazione del cordone di saldaturamediante:– elementi rigidi verticali;– elementi shell verticali;– elementi shell inclinati, a riprodurre la geometria nominale del cordonedi saldatura.Figura 8.28: Tipi di elementi adatti per analisi hot spot [20]I valori di ampiezza degli sforzi di hot spot ammissibili sono stati determinatimediante estese campagne sperimentali, come quella i cui risultati sonoriportati in Figura 8.29, che hanno portato alla conclusione che sia possibile152

fare riferimento, nel caso degli acciai, alle sole due classi denominate FAT90e FAT100 (cioè alle classi di dettagglio corrispondenti a ∆σ C = 90MP a e a∆σ C = 100MP a. In Eurocodice 3 è riportata una tabella (v. Figura 8.30) conle classi di resistenza da assumere nel caso in cui si proceda alla verifica medianteil metodo hot spot dei tipi di giunzione riportati nella tabella stessa. Ilmeodo hot spot è contemplato anche dalla norma Eurocodice 9 per le strutturein alluminio.Figura 8.29: Risultati sperimentali che hanno permesso di definire la resistenzahot spot degli acciai.Rispetto all’approccio nominale, la verifica secondo questo metodo si basaquindi sulla distribuzione delle azioni interne valutate mediante estrapolazione incorrispondenza della giunzione (l’approccio agli sforzi nominali invece si basa suconfigurazioni prestabilite, dove le azioni interne sono calcolate ad una distanzaopportuna dalla giunzione). In questo modo è allora possibile includere l’effettodi eventuali disallineamenti delle lamiere, di eccentricità (per esempio nei giuntia sovrapposizione) e più in generale dello stato di sollecitazione effettivo neglielementi da verificare.Esempio 8.2 Si consideri la stessa struttura analizzata nell’esempio precedente e lasi analizzi con il metodo hot spot. Per fare ciò è necessario costruire un modello aglielementi finiti della struttura. Il modello, riportato in Figura 8.31, è composto daelementi di tipo shell a 8 nodi e la mesh è stata costruita in modo tale che lungo lalinea di mezzeria della piattabanda superiore, in prossimità del termine del rinforzosemicircolare, si disponessero due nodi alle distanze prestabilite di 0, 5t e 1, 5t (v.Figura 8.32).La presenza del cordone di saldatura è simulata per mezzo di elementi shell dispostisia verticalmente, sia secondo lo stesso angolo d’inclinazione del profilo nominale delcordone stesso, come mostrato in Figura 8.33. In questo modo, oltre a riprodurrel’irrigidimento dovuto alla presenza del cordone di saldatura, la posizione dell’hotspot nel modello agli elementi finiti viene a coincidere con quella dell’hot spot nella153

Figura 8.30: Tabella dei valori di resistenza hot spot riportata in Eurocodice 3.Figura 8.31: Modello agli elementi finiti della struttura.154

Figura 8.32: Particolare del modello in corrispondenza del cordone di saldaturaFigura 8.33: Simulazione della presenza del cordone di saldatura mediante elementiinclinati o mediante elementi rigidi verticalistruttura reale. Diversamente, se non fossero stati presenti gli elementi inclinati, masolo elementi verticali, eventualmente di tipo rigido, l’hot spot nel modello si sarebbevenuto a trovare spostato a sinistra rispetto alla posizione assunta nella struttura reale.L’analisi fornisce la distribuzione degli sforzi σ x agenti in direzione parallella all’assedella trave riportata in Figura 8.34. Il valore massimo di σ x si registra in prossimitàdella mezzeria della piattabanda, laddove agisce perpendicolarmente al cordone di saldatura.Tuttavia nel nodo posizionato esattamente all’intersezione tra il cordone disaldatura e la piatttabanda si registra una sollecitazione apparentemente inferiore, comesi può vedere in Figura 8.35, a causa dell’operazione di resitituzione al nodo diun valore medio dei valori nodali di sforzo associato agli elementi aventi quel nodo incomune. Non è quindi possibile utilizzare il valore di sforzo agente nell’hot spot leggendolodirettamente in corrispondenza del nodo posto nell’hot spot, bensì è necessarioprocedere all’estrapolazione secondo la procedura vista. In Figura 8.36 è riportatol’andamento dei valori di σ x in funzione della distanza dall’hotspot. Il risultato del-155

Figura 8.34: Distribuzione degli sforzi σ x nella piattabanda superiorel’estrapolazione lineare a partire dai valori di sigma x letti in corrispondenza dei nodiposti alle distanze 0, 5t e 1, 5t, rispettivamente pari a 144,4 MPa e 158,8 MPa, portaa valutare una sollecitazione ∆σ hs = 1, 5 · 158, 8 − 0, 5 · 144, 4 = 166MP a. Assumendouna classe ∆σ C = 100MP a, sulla base dello schema riportato in Figura 8.30, si calcolauna durata pari a( ) 3N = 2 · 10 6 100= 547.000 (8.15)166valore molto prossimo a quello ottenuto applicando il metodo basato sugli sforzinominali.156

Figura 8.35: Particolare della distribuzione degli sforzi σ x nella piattabandasuperiore; si osservi la riduzione apparente in corrispondenza dell’hot spotFigura 8.36: Grafico dei valori di σ x in funzione della distanza dall’hot spot157

8.4 Difetti di saldatura e calcolo della vita a faticaI difetti di saldatura sono principalmente imperfezioni geometriche generatedurante il processo di fabbricazione, come cricche, strappi lamellari, inclusionisolide, penetrazioni incomplete, mancate fusioni e altre (figure 8.37, 8.38, 8.39).La presenza di questi difetti suggerisce l’applicazione di analisi basate suiprincipi della meccanica della frattura. Secondo questo approccio la durataa fatica degli elementi saldati consistere esclusivamente nella propagazione dicricche descritta attraverso la variazione del fattore d’intensità degli sforzi ∆K Ied una opportuna legge di propagazione in cui da/dN = f(∆K).Pur se tutte le saldature sono caratterizzate da imperfezioni e difetti (??)diventa difficile modellare precisamente il SIF di piccole fratture al piede o allaradice della saldatura, oltre che tenere adeguatamente in conto il cosiddettoeffetto ’short-cracks’ (legato alle approssimazioni del campo singolare quandole cricche sono piccole).Per questo motivo si applica la Meccanica della Frattura per la valutazionedella resistenza statica o della vita residua di saldature contenenti difetti soloquando questi abbiano dimensioni rilevabili con i controlli non distruttivi o permodellare l’effetto della preparazione in giunti a non completa penetrazione.Il calcolo della durata di un elemento contenente una cricca di profonditànota si può calcolare integrando la curva di Paris (figura ??):dovenel modo seguenteN =∫ afa idadN = C∆Km∆K = F ∆S √ πadaC(∆S) m√ π(F (a)a) m (8.16)Come è noto, la durata calcolata attraverso questo metodo è fortemente influenzatadal valore della dimensione iniziale della cricca impiegata (i questo caso idifetti rilevati o la mancanza di penetrazione). Il valore finale della lunghezzadella cricca a f può essere determinato, nel caso di lamiere e giunti saldati, comelo spessore delle membrature attraversate dalla frattura (o nel caso di giunti agrosso spessore come il valore in corrispondenza del quale si supera il valore ditenacità alla frattura K Ic sotto l’azione dei carichi massimi di esercizio).Per il fattore di forma F l’assunzione che spesso si fa nelle saldature, ancheper effetto delle concentrazioni di sforzo al piede ed alla radice della saldatura,è considerare cricche 2D. I fattori di intensità degli sforzi (SIF) sono ricavatida formule approssimate basate su analisi agli elementi finiti o con medianteBEM, e coprono la maggior parte dei casi di interesse pratico, figura 8.41. Perquanto riguarda la curva di propagazione un’ampia serie di risultati sperimentaliha mostrato come la velocità di propagazione sia la stessa per diversi materialisaldati (vedasi Fig. 8.40 per saldature in acciaio).158

Figura 8.37: Difetti di saldatura: criccatura a freddo e a caldo [14].Figura 8.38: Difetti di saldatura: cavità e porosità [14].Figura 8.39: Difetti di saldatura: mancanza di fusione e di sufficiente penetrazione[14].159

Figura 8.40: Velocità di propagazione ricavata da prove di laboratorio su proviniprecriccati. Si noti che la velocità di propagazione non viene influenzata dal tipo dimicrostruttura.160

Figura 8.41: Fattori di intensità degli sforzi per giunti saldati di differenti geometrie.Figura 8.42: Curve di propagazione a frattura per materiali diversi.Questo risultato è inquadrabile nel comportamento a frattura dei materialimetallici in cui le diverse classi di materiali (leghe Al, leghe Ti, acciai ferriticoperliticie martensitici) mostrano, all’interno della stessa classe, curve di propagazionemolto simili (vedasi Figura 8.42). I valori dei coefficienti della curva diParis pe questi materiali sono riporati in Tabella 8.1.Legame tra curve S-N e frattureE’ interessante notare che dalla 8.16 possiamo ricavare:N f =costC · ∆S m (8.17)ovvero la pendenza del diagramma S-N è la stessa della curva di Paris. Daquesto punto di vista si capisce come i diagrammi S − N previsti normativeabbiano una pendenza m 1 = 3 molto diversa dagli usuali diagrammi S − N161

Materiale C m(mm/cicloMP a √ m) macc. ferritici perlitici 6, 9 · 10 −9 3,0acc. austenitici 5, 6 · 10 −9 2,37075 T6 2, 7 · 10 −8 3,7Ti6Al4V 1, 0 · 10 −8 3,2Tabella 8.1: Valori dei coefficienti della legge di Paris per alcuni materiali (R=0)[21]dei componenti (costruiti a partire dal diagramma S − N del materiale), checorrisponde invece al m = 3 nella propagazione a frattura degli acciai.Una ulteriore conferma del fatto che il comportamento delle saldature corrispondea quello di componenti che contengono fratture si ha dalla minoreefficienza saldature in leghe Al. Infatti la minore efficienza non è descrivibilein termini di intaglio (le leghe Al hanno una minore sensibilità all’intaglio).La differenza fondamentale sta nelle minori proprietà a frattura delle leghe Al:usualmente hanno valori di ∆K th che sono pari al 30 − 50% dei valori tipici pergli acciai e, a pari ∆K, hanno velocità di propagazione maggiori.8.5 Accorgimenti di fabbricazione per aumentarela resistenza a faticaNella maggior parte dei casi il migliore accorgimento per aumentare la resistenzaa fatica dei giunti saldati consiste in regole di buon progetto. D’altro cantoperò la maggior parte delle misure adottate per incrementare la resistenza statica,essenzialmente irrigidimenti e aumento delle sezioni che reggono i carichi,sono del tutto inefficaci se non deleterie, dal punto di vista della resistenza afatica. Infatti un aumento dello spessore dei cordoni e di lembi costituisce unaumento del fattore di concentrazione degli sforzi, che aumentano bruscamentein corrispondenza dei “rinforzi”.In generale, gli accorgimenti di processo per migliorare la resistenza di uncordone si possono classificare come segue:• miglioramento della forma del cordone volta a diminuire le concentrazionidi sforzo• miglioramento delle condizioni del materiale del cordone attraverso larimozione di micropori, microinclusioni e microcriccature• introduzione di sforzi residui di compressione, favorevoli per l’aumentodella resistenza a fatica, nella zona della saldatura• protezione dalla corrosione162

Figura 8.43: Molatura del cordone di saldatura. La soluzione b) ha efficacia,mentre la resistenza della geometria a) è poco differente da quella del cordoneoriginale.I principali processi per aumentare la resistenza sono:Molatura la molatura del cordone di saldatura ha lo scopo, oltre a ridurre ilK t complessivo, di eliminare le microcricche che si trovano nella zona ditransizione tra il materiale di riempimento e i lembi. Mediante la molaturasi ottiene anche un leggero indurimento superficiale. È comumque fondamentaleche si realizzi uno scavo profondo (figura 8.43), poiché altrimentinon si raggiunge l’effetto desiderato.TIG dressing l’uso della tecnica di saldatura TIG, con la fusione locale delcordone migliora la forma del cordone e rimuove i microintagli che potrebberopresentarsi nel cordone. I migliori risultati si ottengono per saldaturetrasversali e per gli acciai ad elevata resistenza.Sovraccarico sollecitando la zona del cordone sopra il limite elastico con uncarico monotono, durante la successiva fase di scarico, si riescono a lasciaresforzi residui di compressione nella zona del piede della saldatura.Sforzi residui un’altra possibilità per introdurre sforzi residui di compressioneconsiste nella pallinatura (oppure di analogo trattamento tipo needlepeeningdei cordoni e soprattutto della zona del piede della saldatura.L’aumento della resistenza a fatica a seguito degli accorgimenti di fabbricazionesono indicati nella figura 8.44. A parte alcuni casi specifici, indicazioni generalidi come si possa tenere conto di questi accorgimenti nel calcolo possono esseretrovate in IIW.163

Figura 8.44: Aumento della resistenza a fatica di acciai strutturali (R = 0)realizzato mediante l’applicazione di differenti accorgimenti di fabbricazione.164

Bibliografia[1] S.P. Timoshenko, J.N. Goodier. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, 1982.[2] A.C. Ugural, S.K. Fenster. Advanced Strength and Applied Elasticity.Prentice Hall, Upper Saddle River (NJ), 2003.[3] M. H. Sadd. Elasticity: Theory, Applications and Numerics. AcademicPress, Oxford, 2009.[4] P. Davoli, L. Vergani, S. Beretta, M. Guagliano, and S. Baragetti.Costruzione di Macchine 1. McGraw-Hill, Milano, 2007.[5] J.R. Barber. Elasticity. Kluwer Academic Publishers, 1992.[6] E. Bazzaro, C. Gorla, S. Miccoli. Lezioni di tecnica delle costruzionimeccaniche. Schonefeld - Ziegler, Milano, 2004.[7] W.D. Pilkey. Peterson’s Stress Concentration Factors. J. Wiley & Sons,New York, 1997.[8] Y. Murakami. Theory of Elasticity. Yokendo Ltd., Tokyo, 1997.[9] G. Belloni, A. Lo Conte. Costruzione di Macchine. Hoepli, Milano, 1990.[10] C. B. Biezeno, R. Grammel. Engineering Dynamics, volume 3. Blackie &Son, 1954.[11] O. Belluzzi. Scienza delle Costruzioni, volume 3. Zanichelli, 1988.[12] S.P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells.McGraw-Hill International Editions, 1970.[13] A. Finzi S. Beretta, A. Bernasconi. Analisi della resistenza a fatica hot spotdi giunzioni saldate in ruote per autocarro. In Atti del XXXI ConvegnoNazionale Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS)Parma 2002.[14] C.M. Sonsino D. Radaj, W. Fricke. Fatigue strength assessment of weldedjoints by local approaches, Second Edition. CRC Press, WoodheadPublishing, 2006.165

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AppendiceUna lista delle correzioni e delle aggiunte nelle edizioni per A.A. 2010-11:• nella revisione del 4 giugno 2011 corretta la simbologia per le iperstatichedi bordo nel recipiente in pressione (ora M e T );• nella revisione del 8 giugno 2011 rivisti gli esercizi del Cap. 5;• nella revisione del 7 maggio 2012 corretto errore formula τ ott ed introdottisforzi nei cilindri (Cap. 5);• nella revisione del 10 giugno 2012 corretto errore formula (7.60).167