Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

ottenendo:[σ ′ ] = [T ] [σ] [ T T ] =⇒⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13′ 1 0 0 σ 11 σ 12 σ 13 1 0 0⎣σ 12 ′ σ 22 ′ σ 23′ ⎦ = ⎣0 1 0 ⎦ ⎣σ 12 σ 22 σ 23⎦ ⎣0 1 0 ⎦ =⇒σ 13 ′ σ 23 ′ σ 33′ 0 0 −1 σ 13 σ 23 σ 33 0 0 −1⎡⎤ ⎡⎤σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13′ σ 11 σ 12 −σ 13⎣σ 12 ′ σ 22 ′ σ 23′ ⎦ = ⎣ σ 12 σ 22 −σ 23⎦σ 13 ′ σ 23 ′ σ 33′ −σ 13 −σ 23 σ 33e pasando alla notazione vettoriale, Eq.(2.45) e Eq.(2.46):⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ 1′ σ σ 2′ 11′ σ 11 σ 1σ ′ σ 3′ 22σ 22σ 2⎢σ 4′ =σ 33′ ⎥ ⎢σ ′ =σ 33⎣σ 5′ 23⎥⎢−σ 23=σ 3⎥ ⎢−σ 4⎥⎦ ⎣σ ′ ⎦ ⎣σ 6′ 13 −σ 13⎦ ⎣−σ 5⎦σ 12′ σ 12 σ 6Lo stesso procedimento può essere esteso alle deformazioni, ottenendo:⎡⎢⎣ɛ ′ 1ɛ ′ 2ɛ ′ 3ɛ ′ 4ɛ ′ 5ɛ ′ 6⎤ ⎡ ⎤ɛ 1ɛ 2=ɛ 3⎥ ⎢−ɛ 4⎥⎦ ⎣−ɛ 5⎦ɛ 6Introducendo la matrice di rigidezza si può scrivere:(2.56)(2.57)(2.58)σ i = C ij ɛ j =⇒ σ i = C i1 ɛ 1 + C i2 ɛ 2 + C i3 ɛ 3 + C i4 ɛ 4 + C i5 ɛ 5 + C i6 ɛ 6 (2.59)nel sistema di riferimento x i , e in maniera analoga:σ ′ i = C ′ ijɛ ′ j =⇒ σ ′ i = C ′ i1ɛ ′ 1 + C ′ i2ɛ ′ 2 + C ′ i3ɛ ′ 3 + C ′ i4ɛ ′ 4 + C ′ i5ɛ ′ 5 + C ′ i6ɛ ′ 6 (2.60)nel sistema di riferimento x ′ i .Considerando per esempio i = 1 si ottiene:σ 1 = C 11 ɛ 1 + C 12 ɛ 2 + C 13 ɛ 3 + C 14 ɛ 4 + C 15 ɛ 5 + C 16 ɛ 6 (2.61)e, considerando l’Eq.(2.58) e la simmetria che impone C ij = C ′ ij :σ ′ 1 = C ′ 11ɛ ′ 1 + C ′ 12ɛ ′ 2 + C ′ 13ɛ ′ 3 + C ′ 14ɛ ′ 4 + C ′ 15ɛ ′ 5 + C ′ 16ɛ ′ 6= C ′ 11ɛ 1 + C ′ 12ɛ 2 + C ′ 13ɛ 3 − C ′ 14ɛ 4 − C ′ 15ɛ 5 + C ′ 16ɛ 6= C 11 ɛ 1 + C 12 ɛ 2 + C 13 ɛ 3 − C 14 ɛ 4 − C 15 ɛ 5 + C 16 ɛ 6(2.62)39