Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

Le direzioni principali risultano espresse dalle colonne della matrice V, che si calcolain modo semplice con tecniche di calcolo numerico:⎡ √ ⎤0.5 20.52⎢[V ] = ⎣0.5 − √ 2 ⎥0.5√ 2⎦20 − √ 22 2Esempio 1.2 Calcolare gli sforzi principali e le direzioni principali se allo stato disforzo dell’esempio precedente viene sovrapposto idrostatico pari a 100 MPa.In tal caso il tensore degli sforzi assume la forma:⎡100 0⎤100[σ ij] = ⎣ 0 100 100⎦100 100 100Si verifica immediatamente come I 1 = 300, ovvero l’invariante primo è la somma degliinvarianti I 1 dei due stati di sforzo sovrapposti. Risolvendo completamente si ottiene:σ I = 100( √ 2 + 1) σ II = 100 σ III = 100(1 − √ 2)Si può anche verificare come gli autovettori risultino ancora:⎡ √ ⎤0.5 20.52⎢[V ] = ⎣0.5 − √ 2 ⎥0.5√ 2⎦20 − √ 22 2ovvero la sovrapposizione di uno sforzo idrostatico su uno stato di sforzo generico [σ ij]non altera le direzioni principali.1.3.1 Sforzi principali nello stato di sforzo pianoSi consideri uno stato di sforzo piano in cui σ z = 0 (rilasseremo questa ipotesinell’esempio): calcoliamo dalla 1.9 i valori massimi e minimi di σ x ′. Cercandoquei valori di θ per cui:si ottiene:∂σ x ′∂θ = −(σ x − σ y ) sin 2θ + 2τ xy cos 2θ = 0 (1.15)tan 2θ p =2τ xyσ x − σ y(1.16)Essendo tan 2θ = tan(π + 2θ) la (1.16) identifica due angoli θ p tra loro perpendicolariche sono le direzioni principali nel piano. Va annotato come la(1.15) corrisponda anche alla condizione τ x′ y ′ = 0, ovvero le direzioni principalicorrispondono a piani su cui lo sforzo di scorrimento è nullo.11