Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

2.4 Legame elastico lineare per materiali isotropiNei materiali solidi isotropi le deformazioni, finchè non si raggiunge un livello disforzo vicino alla condizione di snervamento del materiale, sono funzioni linearidegli sforzi attraverso le relazioni:⎧ɛ x = 1/E [ σ x − ν(σ y + σ z ) ]ɛ y = 1/E [ σ y − ν(σ x + σ z ) ]ɛ z = 1/E [ σ z − ν(σ x + σ y ) ]⎪⎨2(1 + ν)γ xy = τ xy(2.26)E2(1 + ν)γ yz = τ yzE⎪⎩2(1 + ν)γ xz = τ xzEdove E è il modulo di Young, ν è il modulo di Poisson e G =E2(1+ν)è il modulodi elasticità tangenziale. Nella sezione 2.5 (che verrà aggiunta per gli studenti2010/11) si esaminerà il legame di Hooke generalizzato. Nel seguito di questasezione si esaminano alcune applicazioni e conseguenze delle (2.26).Esempio 2.3 Dato un recipiente sottile in acciaio chiuso ai fondi (ai fini di questoproblema non è rilevante la forma dei fondi) di diametro D=400 mm e spessore s=5mm soggetto alla pressione interna p=10 [MPa], ricavare lo spostamento radiale delfasciame cilindrico del recipiente.Lo stato di sforzo nel recipiente è dato da:σ θ = p · D2sLa deformazione circonferenziale risulta:= 400 MPa σ z = p · D4sɛ θ = σ θ1 − ν/2E= 0.0017= 200 MPaLo spostamento radiale risulta quindi (dalla (2.7)): u = 0.34 mm.Esempio 2.4 Si consideri un materiale sollecitato lungo l’asse z, che è confinato inmodo che la deformazione lungo l’asse y sia impedita ma che possa invece deformarsilungo l’asse x (come se il materiale fosse all’interno di uno stampo rigido). Ricavarelo sforzo σ y e la rigidezza E ′ = σ z/ɛ z.Imponendo ɛ y = 0 nella seconda delle (2.26) si ricava:La deformazione lungo z risulta:σ y = νσ zɛ z = 1 E (σz − ν2 σ z) = 1 − ν2Eσz31