Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

2.6 AppendiceE’ utile scrivere le relazioni tra spostamenti e deformazioni nei riferimenti, diversida quello cartesiano finora adottato, cilindrico e sferico. Tali relazioniverranno utilizzate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuni problemi relativiallo stato di sforzo.Riferimento cilindrico (r, θ, z)Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, z), le deformazioni si esprimonocome:ɛ r =⎧⎪ ∂u∂r , ɛ θ = 1 ( ) ∂vr ∂θ + u , ɛ z = ∂w∂z( 1 ∂u⎨ γ rθ =r ∂θ + ∂v∂r − v )r( ∂wγ rz =∂r + ∂u )(2.86)∂r(⎪ ∂v⎩ γ θz =∂z + 1 )∂wr ∂θRiferimento sferico (r, θ, φ)Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, φ) (dove φ misura l’angolotra il raggio considerato e la direzione positiva dell’asse z) , le deformazioni siesprimono come:⎧ɛ r = ∂u∂r , ɛ θ = 1 ( ) ∂vr ∂θ + u , ɛ z = 1r sin θ( 1 ∂u⎪⎨ γ rθ =r ∂θ + ∂v∂r − v )r( ∂wγ rφ =∂r − w r + 1 )∂ur sin θ ∂φ⎪⎩ γ θφ = 1 (sin θ ∂w)∂v− w cos θ +r sin θ ∂θ ∂φ( ∂w∂φ + u sin θ + v cos θ )(2.87)45