Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

Y'YX'θXFigura 1.3: Cambio del sistema di riferimento in un piano.1.3 Sforzi principaliCon direzioni principali si intendono le direzioni normali a quei piani in cuila componente di sforzo è rappresentata solo da uno sforzo normale σ p (dettosforzo principale). Se esiste un tale piano allora le componenti del vettore −→ Srisultano:⎡ ⎤ ⎡ ⎤S−→ x σ p · iS = ⎣S y⎦ = ⎣ σ p · l ⎦S z σ p · mDovendo valere la Eq.(1.4), risulta che gli sforzi principali sono quei valori di σ pche soddisfano:(σ xx − σ p ) σ xy σ xzσ xy (σ yy − σ p ) σ yz∣ σ xz σ yz (σ zz − σ p ) ∣ = 0 (1.11)Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono glisforzi principali σ p :σ 3 p − I 1 σ 2 p + I 2 σ p − I 3 = 0 (1.12)dove le quantità:⎧I ⎪⎨ 1 = σ x + σ y + σ zI 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z − σxy 2 − σxz 2 − σyz2 ⎪⎩I 3 = σ x σ y σ z + 2σ xy σ xz σ yz − σ x σyz 2 − σ y σxz 2 − σ z σxy2(1.13)Tale equazione risolta ammette 3 radici σ 1 , σ 2 e σ 3 che vengono detti gli sforziprincipali. Gli sforzi principali sono gli autovalori della matrice [σ ij ].Introducendo le soluzioni σ 1 , σ 2 e σ 2 nel sistema (considerando inoltre larelazione i 2 + l 2 + m 2 = 1) si ricavano tre terne di coseni direttori (i, l, m) chedefiniscono le direzioni principali (o con altra terminologia gli autovettori dellamatrice).Rifacendosi alle proprietà degli autovalori ed autovettori si possono enunciarele seguenti regole:9