Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ɛ 1 ɛ 11 ɛ 11ɛ 2ɛ 22ɛ 22[σ] =ɛ 3⎢ɛ 4=ɛ 33⎥ ⎢2ɛ 23=ɛ 33⎥ ⎢γ 23⎥⎣ɛ 5⎦ ⎣2ɛ 13⎦ ⎣γ 13⎦ɛ 6 2ɛ 12 γ 12(2.47)dove è stata introdotta anche la notazione ingegneristica dello scorrimento angolareγ ij .Con questa notazione il tensore del quarto ordine C ijkl , formato dai 36moduli di resistenza, diventa una matrice 6 × 6:σ ij = C ijkl ɛ kl =⇒ [σ] = [C] [ɛ] = σ i = C ij ɛ j =⇒⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤σ 1 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 ɛ 1σ 2C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26ɛ 2σ 3⎢σ 4=C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36ɛ 3⎥ ⎢C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46⎥ ⎢ɛ 4⎥⎣σ 5⎦ ⎣C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56⎦ ⎣ɛ 5⎦σ 6 C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ɛ 6(2.48)dove la matrice [C] prende il nome di matrice di rigidezza e presenta 36costanti.Si può dimostare che la matrice di rigidezza è simmetrica. Considerandoinfatti il lavoro elastico per un’unità di volume:e derivando, si ottiene:∂W∂ɛ iW = 1 2 σ kɛ k (2.49)= σ i e ∂W∂ɛ j= σ j (2.50)Derivando ulteriormente, introducendo il legame elastico lineare, e imponendola condizione di uguaglianza tra le derivate miste si ottiene la simmetria dellamatrice di rigidezza:∂ 2 W= C ji = ∂2 W= C ij =⇒ C ij = C ji (2.51)∂ɛ i ∂ɛ j ∂ɛ j ∂ɛ iche porta a concludere che la matrice di rigidezza è simmetrica, riducendoulteriormente il numero di costanti indipendenti a 21:⎡⎤C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26C ij =C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36⎢C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46(2.52)⎥⎣C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56⎦C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 6637