Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

Per il tensore [ɛ ij ] valgono le stesse proprietà del tensore degli sforzi, in particolareesiste una terna di direzioni che identificano le direzioni dei piani suiquali agiscono le deformazioni principali, ovvero i valori massimi e minimi cheassumono le deformazioni ɛ ii .La ricerca delle deformazioni principali ɛ 1 − ɛ 2 − ɛ 3 può essere effettuataricercando, con gli opportuni algoritmi, gli autovalori della matrice ɛ ij oppurericercando i valori ɛ p che soddisfano la relazione:(ɛ xx − ɛ p ) ɛ xy ɛ xzɛ xy (ɛ yy − ɛ p ) ɛ yz∣ ɛ xz ɛ yz (ɛ zz − ɛ p ) ∣ = 0 (2.10)Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono ledeformazioni principali ɛ p :ɛ 3 p − E 1 ɛ 2 p + E 2 ɛ p − E 3 = 0 (2.11)dove le quantità:⎧E ⎪⎨ 1 = ɛ x + ɛ y + ɛ zE 2 = ɛ x ɛ y + ɛ x ɛ z + ɛ y ɛ z − ɛ 2 xy − ɛ 2 xz − ɛ 2 yz⎪⎩E 3 = ɛ x ɛ y ɛ z + 2ɛ xy ɛ xz ɛ yz − ɛ x ɛ 2 yz − ɛ y ɛ 2 xz − ɛ z ɛ 2 xy(2.12)dove E 1 − E 2 − E 3 sono chiamati invarianti delle deformazioni (come già vistoper gli sforzi, gli invarianti assumono espressioni molto semplici se espressi intermini delle deformazioni principali).Nel riferimento principale il tensore [ɛ ij ] assume la forma diagonale:⎡ ⎤ɛ 1 0 0[ɛ ij ] = ⎣ 0 ɛ 2 0 ⎦0 0 ɛ 3ovvero non vi è nessuna deformazione al taglio: un parallelepipedo orientatosecondo tale riferimento si deformerebbe quindi mantenendo la propria formaortogonale pur cambiando le lunghezze dei tre lati.2.2.1 Deformazione in una direzione nei problemi pianiIn un problema bi-dimensionale, noto lo stato di deformazione in un riferimentoX − Y , lo stato di deformazione in un riferimento X ′ − Y ′ ruotato di un angoloθ si calcola attraverso la matrice T espressa dalla (1.8). In particolare ladeformazione nella direzione X ′ , formante un anglo θ con l’asse X (l’angolo simisura positivo in senso antiorario), risulta:ɛ X ′ = ɛ x cos 2 θ + ɛ y sin 2 θ + γ xy sin θ cos θ (2.13)Tale espressione viene utilizzata per analizzare le misure estensimetriche neiproblemi piani. In particolare, nel caso in cui in cui non si conosca a priori la25