Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

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Con procedimento analogo al precedente si può dimostare che nel caso dimateriale che presenta una simmetria rispetto ad una asse di rotazione x 1 , vediFig.(2.9), il numero di costanti indipendenti della matrice di rigidezza si riducea 5:⎡⎤C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 22 C 12 0 0 0C ij =C 12 C 12 C 33 0 0 0C⎢ 0 0 0 22−C 3320 0(2.67)⎥⎣ 0 0 0 0 C 66 0 ⎦0 0 0 0 0 C 66Tre assi di simmetriaNel caso di 3 assi di simmetria il numero di costanti indipendenti si riduce a 2:⎡⎤C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 11 C 12 0 0 0C ij =C 12 C 12 C 11 0 0 0C⎢ 0 0 0 11−C 1220 0(2.68)⎥⎣C0 0 0 011−C 1220 ⎦0 0 0 0 02.5.5 Materiale anisotropoC 11−C 122Un materiale anisotropo non presenta nessun simmetria. La matrice di rigidezza,o cedevolezza, è formata da 21 costanti indipendenti, vedi Eq.(2.52) e Eq.(2.53).2.5.6 Materiale ortotropoUn materiale ortotropo presenta 3 piani di simmetria riducendo il numero dicostanti indipendenti a 9, vedi Eq.(2.66).Le 9 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto ai modulidi elasticità E i e ai coefficienti di Poisson ν ij valutati sperimentalmente nellediverse direzioni del materiale ortotropo.La matrice di cedevolezza può così essere scritta come:ɛ i = S ij σ j =⇒ [ɛ] = [C] [σ]⎡ ⎤ ⎡1ɛ 1 E ɛ 21− ν21E 2− ν31E 30 0 0− ν12 1E =⇒ɛ 31 E 2− ν32E 30 0 0− ν13E ⎢ɛ 4=1− ν23 1E 2 E 30 0 01⎥0 0 0⎣ɛ 5⎦ ⎢G 230 01⎣ 0 0 0 0G 130ɛ610 0 0 0 0dove per simmetria valgono le seguenti relazioni:⎤⎥⎦G 12⎡ ⎤σ 1σ 2σ 3⎢σ 4⎥⎣σ 5⎦σ 6(2.69)41
⎧ν 21= ν 12E ⎪⎨ 2 E 1ν 31= ν 13(2.70)E 3 E 1ν ⎪⎩ 23= ν 32E 2 E 3Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come:σ i = C ij ɛ j =⇒ [σ] = [C] [ɛ] =⇒⎡ ⎤ ⎡ 1−νσ23ν 32 ν 21+ν 23ν 31 ν 31+ν 21ν 32⎤ ⎡ ⎤1E 2E 3∆ E 2E 3∆ E 2E 3∆0 0 0 ɛ 1σ 2ν 21+ν 23ν 31 1−ν 13ν 31 ν 32+ν 12ν 31E 2E 3∆ E 1E 3∆ E 1E 3∆0 0 0ɛ 2σ 3ν 31+ν 21ν 32 ν 32+ν 12ν 31 1−ν 12ν 21⎢σ 4=E 2E 3∆ E 1E 3∆ E 1E 2∆0 0 0ɛ 3⎥ ⎢ 0 0 0 G 23 0 0⎥ ⎢ɛ 4⎥⎣σ 5⎦ ⎣ 0 0 0 0 G 13 0 ⎦ ⎣ɛ 5⎦σ 6 0 0 0 0 0 G 12ɛ 6(2.71)dove:∆ = (1 − ν 12ν 21 − ν 23 ν 32 − ν 13 ν 31 − 2ν 21 ν 32 ν 13 )E 1 E 2 E 3(2.72)2.5.7 Materiale isotropoUn materiale isotropo presenta 3 assi di simmetria riducendo il numero dicostanti indipendenti a 2, vedi Eq.(2.68).Le 2 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto al modulodi elasticità E e al coefficienti di Poisson ν.La matrice di cedevolezza può così essere scritta come:dove si può dimostare che:ɛ i = S ij σ j =⇒ [ɛ] = [S] [σ]⎡ ⎤ ⎡1ɛ 1 E− ν E ɛ 2− ν ⎤ ⎡ ⎤E0 0 0 σ 1− ν 1E E− ν E0 0 0=⇒ɛ 3⎢ɛ 4=− ν E− σ 2ν 1E E0 0 0σ 31⎥ ⎢ 0 0 0G0 0⎥ ⎢σ 4⎥⎣ɛ 5⎦ ⎣10 0 0 0G0 ⎦ ⎣σ 5⎦1ɛ 6 0 0 0 0 0 σG 6(2.73)G =E2 (1 + ν)(2.74)Tale legame può anche essere espresso in maniera semplice utilizzando lanotazione indiciale:42
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Si vede che nell’espressione di
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M θM θM rdθM r + dM r(a)(b)Figur
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Integrando ancora una volta ottenia
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abM 2M 1M 1M 2Figura 6.14: Lastra a
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pFigura 7.2: Equilibrio dell’elem
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M ϕ = −E(1 − ν 2 ) 12s 37.1.2
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pρFigura 7.5: Striscia di lastra s
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Per βx = π:x = π β =πs ≈ 1.7
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M x[T0] = T 0β e−βx sin (βx) (
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600! " m500400! x! " f300!2001000
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quindi in modo semplice con la (7.6
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350300! ",m250! ",i! ",e200! x,i!!
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Materiale C m(mm/cicloMP a √ m) m
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