Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

Questo tipo di stato di deformazione corrisponde a quello di un solido in cuile dimensioni del corpo lungo z fanno sì che le sezioni (perpendicolari all’assez) si mantengano piane. Se come in Fig.3.1(b) il corpo è vincolato lungo z, ladeformazione è impedita e ɛ z = 0 2 . Dalle Eq.2.5 si ricava che in tale condizione:Il legame sforzi-deformazioni risulta quindi:(σ x −ɛ x = 1 − ν2Eɛ y = 1 − ν2Eγ xy =σ z = ν(σ x + σ y ) (3.4)(σ y −ν )1 − ν σ yν )1 − ν σ x2(1 + ν)σ xy , γ xz = γ yz = 0E(3.5)Lo stato di deformazione piana è quindi corrispondente allo sforzo piano con leposizioni (come già visto anche nell’esempio 2.4):3.1.3 SoluzioneĒ =E1 − ν 2 , ¯ν = ν1 − νSe ricordiamo la Eq. (2.20) di congruenza:∂ 2 ɛ x∂y 2+ ∂2 ɛ y∂x 2= ∂2 γ xy∂x∂yesprimendo le deformazioni in termini degli sforzi si ottiene:∂ 2∂y 2 (σ x − νσ y ) + ∂2∂x 2 (σ y − νσ x ) = 2(1 + ν) ∂2 σ xy∂x∂y(3.6)Derivando rispetto a x e y le equazioni di equilibrio e facendo la somma di taliderivate si ottiene:∂ 2 σ x∂x 2+ ∂2 σ y∂y 2= −2∂2 σ xy∂x∂y(3.7)Introducendo tale equazione in quella precedente finalmente è possibile riscriverela Eq.(2.20) come:( )∂2∂x 2 + ∂2∂y 2 (σ x + σ y ) = 0 (3.8)Questa equazione, insieme con le equazioni al contorno, permette di risolvere informa chiusa dei problemi elastici 2D. L’ulteriore importante osservazione è cheσ x +σ y deve essere una funzione armonica indipendente dalle caratteristiche delmateriale.2 Se non vi fossero vincoli la condizione ɛ z = c si può ottenere facilmente sovrapponendoallo stato di sforzo corrispondente a ɛ z = 0 uno sforzo uniforme che annulli la risultante deglisforzi in z.49