Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

con derivazioni successive è possibile scrivere le relazioni:∂ 2 ɛ x∂y 2 = ∂3 u∂y 2 ∂x∂ 2 ɛ y∂x 2 = ∂3 v∂x 2 ∂y∂ 2 γ xy∂x∂y =∂3 u∂y 2 ∂x +∂3 v∂x 2 ∂yda cui otteniamo l’equazione di congruenza (nei testi inglesi viene detta compatibilità):∂ 2 ɛ x∂y 2 + ∂2 ɛ y∂x 2 = ∂2 γ xy(2.20)∂x∂yTale equazione differenziale deve essere soddisfatta dalle componenti di deformazioneper assicurare che esistano funzioni u e v continue che possano esprimerele deformazioni attraverso la Eq. 3.3.2.3.2 Problemi tridimensionaliNei problemi tridimensionali si possono scrivere altre due equazioni simili allaEq. 2.20 permutando gli indici x − y − z e si ottiene:⎧⎪⎨⎪⎩∂ 2 ɛ x∂y 2∂ 2 ɛ y∂z 2∂ 2 ɛ x∂z 2+ ∂2 ɛ y∂x 2+∂2 ɛ z∂y 2+∂2 ɛ z∂x 2= ∂2 γ xy∂x∂y=∂2 γ yz∂y∂z=∂2 γ xz∂x∂zAltre tre equazioni possono essere ottenute con uguale procedimento:⎧∂ 2 ɛ x∂y∂z = ∂ (− ∂ɛ yz∂x ∂x + ∂ɛ xz∂y+ ∂ɛ )xy∂z⎪⎨∂ 2 ɛ y∂x∂z = ∂ (− ∂ɛ xz∂y ∂y+ ∂ɛ xy∂z+ ∂ɛ )yz∂x∂ ⎪⎩2 ɛ z∂x∂y = ∂ (− ∂ɛ xy∂z ∂z+ ∂ɛ yz∂x + ∂ɛ )xz∂y(2.21)(2.22)Si può dimostrare che le 6 equazioni differenziali del secondo ordine 2.21 e 2.22sono equivalenti a tre equazioni differenziali del quarto ordine [3].2.3.3 Compatibilità per il FEM*Avendo introdotto la compatibilità attraverso la semplice spiegazione di Fig.2.5, vale la pena approfondire come la compatibilità sia verificata in una analisiad Elementi Finiti.Quando un solido viene discretizzato in elementi finiti, ad essi viene associatoun campo di spostamenti (u(x, y) e v(x, y) per problemi 2D, u(x, y, z), v(x, y, z)e w(x, y, z) per problemi 3D) che permetta di interpolare gli spostamenti nodali,29