Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

2.5.2 Legge di Hooke generalizzataUtilizzando la convenzione degli indici ripetuti è possibile esprimere la legge diHooke generalizzata che stabilisce il legame elastico tra le componenti di sforzoe quelle di deformazione:σ ij = C ijkl ɛ kl con i, j, k, l = 1, 2, 3 (2.36)dove σ ij e ɛ kl rappresentano rispettivamente il tensore del secondo ordine deglisforzi e quello delle deformazioni. Il legame lineare elastico e rappresentato daltensore C ijkl del quarto ordine.In riferimento all’Eq.(2.36) la prima componente del tensore degli sforzi puòessere scritta come:σ 11 = C 11kl ɛ kl =C 1111 ɛ 1111 + C 1112 ɛ 1112 + C 1113 ɛ 1113+ C 1121 ɛ 1121 + C 1122 ɛ 1122 + C 1123 ɛ 1123+ C 1131 ɛ 1131 + C 1132 ɛ 1132 + C 1113 ɛ 1133(2.37)e in maniera analoga è possibile scrivere tutte le altre componenti del tensoredegli sforzi. Il tensore C ijkl , considerando che ciascun indice può variare da 1 a 3,presenta quindi 3×3×3×3 = 81 costanti. Introducendo la simmetria del tensoredegli sforzi e di quello delle deformazioni il numero di costanti indipendenti siriduce. La simmetria del tensore dgli sforzi impone che:e quindi:σ ij = σ ji (2.38)che impone la seguente condizione:σ ij = C ijkl ɛ kl = σ ji = C jikl ɛ kl (2.39)C ijkl = C jikl (2.40)che riduce il numero di costanti indipendenti. Si consideri per esempio il casoi = 1, j = 2:σ 12 = C 12kl ɛ kl = σ 21 = C 21kl ɛ kl (2.41)che introduce le seguenti 9 relazioni tra le 81 costanti:⎧C 1211 = C 2111C 1212 = C 2112C 1213 = C 2113⎪⎨ C 1221 = C 2121C 12kl = C 21kl = C 1222 = C 2122(2.42)C 1223 = C 2123C 1231 = C 2131C 1232 = C 2132⎪⎩C 1233 = C 213335