Dispense del corso (aggiornate al 10 giugno 2012) - Costruzione di ...

1.4.2 Cerchi di MohrConsideriamo un piano avente la giacitura parallela alla direzione 3 (ovvero lanormale al piano è perpendicolare all’asse 3 ed m = 0).32σ τ 2 n σ nσ 1τ nσ nσ 1θn1(a)2(b)σ 2Figura 1.8: Costruzione del cerchio di Mohr per piani paralleli alla direzione 3: a)identificazione dello stato di sforzo agente; b) convenzioni di segno.Detto θ l’angolo che la normale forma con l’asse 1 e fissando come positiva ladirezione oraria dello sforzo di scorrimento sulla faccia di normale n, possiamoscrivere dalle (1.10) 5 :⎧⎪⎨ σ n = 1 2 (σ 1 + σ 2 ) + 1 2 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ⎪⎩ τ n = 1 (1.27)2 (σ 1 − σ 2 ) sin 2θda cui è facile verificare che:[σ n − 1 2 [ ] 2 12 (σ 1 + σ 2 )]+ τn 2 =2 (σ 1 − σ 2 )(1.28)Questa equazione rappresenta, in un piano σ − τ detto piano di Mohr, unacirconferenza di centro C e raggio R con:( )(σ1 + σ 2 )C, 0 , R = (σ 1 − σ 2 )22ovvero i punti P (σ n , τ n ), per i piani con m = 0, descrivono al variare di θ unacirconferenza di centro C e raggio R, che passa per gli sforzi principali σ 1 e σ 2 .La costruzione grafica del cerchio di Mohr permette di visualizzare in modosemplice lo stato di sforzo e di calcolare graficamente gli sforzi principali (nonsi usa più ovviamente per questo motivo, ma aiuta a visualizzare la soluzione).Ripetendo la costruzione per i piani paralleli agli assi 1 e 3 si ottengonoaltre due circonferenze: in totale i 3 cerchi di Mohr permettono di visualizzarein modo semplice i valori massimi e minimi dello stato di sforzo nel punto. Sipuò dimostare che lo stato di sforzo su una giacitura generica (non parallela adun asse principale) appartiene alla regione compresa tra il cerchio fondamentale(quello passante per σ 1 e σ 3 ) e gli altri due.5 rispetto alle (1.10) dobbiamo considerare σ x ′ e τ x ′ y ′ cambiando di segno a quest’ultima15