Parte I: Il metodo Strut-and-Tie - Dipartimento di Ingegneria Civile e ...

Corso di Progetto di Strutture II
Meccanismi Puntone-Tirante
Puntone Tirante
per Strutture in Calcestruzzo Armato
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
Università di Firenze
Parte I: Il metodo Strut‐and‐Tie
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Metodo “puntone‐tirante” (o “Strut & Tie”)
Origini del metodo: W. Ritter (1899), E. Mörsch (1912)
Sviluppi recenti: J. Schlaich, Università di Stoccarda
Convegno IABSE Structural Concrete (1991)
Obbiettivo: Progetto delle “zone di discontinuità” delle strutture
in calcestruzzo armato.
Strumento: Individuazione di un modello puntoni‐tiranti (“Strut
& Tie Model” o “S&T Model”) con puntoni in
calcestruzzo e tiranti in acciaio.
Sella Gerber
Esempi di modelli tirante‐puntone
Forze trasversali in unioni che
trasmettono forze di compressione
Modello S&T
mensole
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Angoli di portali soggetti a
momento flettente negativo
Dettagli costruttivi
mensole tozze
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Zone di continuità e discontinuità
Individuazione delle regioni di continuità (“B”) e di discontinuità (“D”)
Le regioni “D” si estendono
fino ad una distanza h dalla
discontinuità (h = altezza
della sezione
dell’elemento)
D
h
h
D h
l < h
D D
h
h h
B
l > 2 h
D
h 2 h
h
B B
l > 4 h
Esempio di identificazione della geometria
D h
1° Passo: individuazione delle regioni di continuità (“B”) e di discontinuità (“D”)
B
D
D
D
D
B D B D B D
B
D
D
D
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2° Passo: identificazione del modello tirante‐puntone all’interno di ogni regione “D”, dopo
aver determinato le forze agenti sul suo contorno
B
D
D
D
D
B D B D B D
B
D
D
D
Una volta identificata la geometria, si passa al calcolo degli sforzi normali in tutte le aste
(puntoni e tiranti) del traliccio S&T.
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Il comportamento a rottura del cemento armato
Il metodo S&T dovrebbe in sostanza individuare il comportamento
a rottura della struttura, allorquando, formatesi importanti fessure,
si individuano puntoni di calcestruzzo e tiranti di armatura armatura.
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Simulazione del comportamento a rottura
Esistono codici di
calcolo sofisticati
(ANSYS, DIANA,
ecc.) che sono in
grado di prevedere
il comportamento a
rottura di strutture
in CA.
Quadro fessurativo sperimentale e simulato
Sperimentale Simulato
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Esempi di armatura di una mensola tozza
Il funzionamento è però non univoco ma dipende dalla diposizione
dell’armatura tesa.
a) b)
Qual è la scelta progettuale più corretta, il progetto “migliore”?
Criteri di progetto
Un criterio di progetto può essere quello di scegliere fra tutti i
tralicci possibili quello che, a parità di acciaio, ha la rigidezza
maggiore.
P �u
� �
N
2
i l i
i E i Ai
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(1)
Esempio di ricerca della
massima rigidezza attraverso
un processo di ottimizzazione
Il concetto può essere chiarito con un esempio: dato un traliccio di N aste,
determinare la struttura di massima rigidezza tra tutte quelle possibili che si
ottengono eliminando M aste (M

1) Metodo del percorso di carico (J. Schlaich)
(“load path method”)
Si individuano in fase elastica i flussi di tensione e si sostituiscono con le forze
risultanti.
Puntone in c.a. compresso
Tirante in acciaio di armatura teso
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2) Metodo delle linee di displuvio (Università di Firenze)
Si rappresenta in 3D lo stato tensionale individuando le linee di massimi locali
delle tensioni principali (linee di displuvio)
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3) Metodo dell’abbattimento del modulo elastico
(Università di Firenze)
In un processo iterativo, si effettuano analisi agli elementi finiti in campo elastico
lineare e si “sottraggono” progressivamente gli elementi meno sollecitati
(abbattendo il modulo elastico) .
4) Metodo di ottimizzazione topologica
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Consiste nel ricercare la massima rigidezza utilizzando solo una frazione di del
volume di materiale. In pratica si ricerca una distribuzione di densità di materiale
tale da minimizzare l’energia di deformazione fissati alcuni vincoli.
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a b
Modello MTOTP del setto Andamento dei flussi di compressione
Parte II: Normativa
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Verifiche secondo N.T.C. 2008
Bozza della Circolare relativa alle N.T.C. 2008
(esempio di verifica di mensola tozza)
Si possono utilizzare due meccanismi resistenti in parallelo fra loro
1) Con armatura superiore 2) Con armatura inclinata
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Vedi EC
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Meccanismo con tirante orizzontale
0.4 b d f cd c sin 2 ψ
del tirante in acciaio per soddisfare la gerarchia delle resistenze.
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Equivale a verificare un puntone di calcestruzzo di altezza
0.4 c d sinψ, nel caso di puntone inclinato a 45° l’altezza
varia da 0.28 d a 0.42 d, in funzione del valore di c (1 o 1.5).
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Meccanismo con tirante inclinato
P c
Equivale a verificare un puntone di
calcestruzzo di altezza 0.2 d.
Vedi EC2, appendice J
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Esempio
Verifiche secondo EC2
1. Verifiche dei puntoni
2. Verifiche dei tiranti
3. Verifiche dei nodi
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Verifica dei puntoni compressi
in assenza di azioni trasversali di trazione
in presenza di azioni trasversali di trazione
Le armature metalliche sono utilizzate come:
1. tiranti del modello tirante‐puntone
Verifica dei tiranti
2. elementi resistenti alle forze di trazione
ortogonali ai puntoni
C
C
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Tiranti che assorbono gli sforzi di trazione
ortogonali ai puntoni
In funzione del rapporto di snellezza H/b (H e b sono rispettivamente l’altezza e la larghezza
del puntone) in un puntone possono aversi sia regioni tipo “B” sia regioni tipo “D” o soltanto
queste q ultime.
b
F
F
Equilibrio alla
rotazione attorno a
H ��� b
b
b
a
F
D
B
D
Discontinuità parziale
F
b
a/4
H ���
b
a
b
Discontinuità totale
b
a/4 a/4
F/2 F/2
a
F
Puntone con discontinuità parziale
b
b
T
2
b
�
b/2
F/2
b/4
b
F � b a �
� � �
2 � 4 4 �
F/2
b/4
F
b
F/A
b
b/2
b/4
F/2
F/2
F � a �
T � �1� �
4 � b�
�
a/4
T
C=T
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Andamento della forza trasversale e dell’inclinazione � dei
puntoni inclinati al variare di a/b.
T/F / �
0,4 90°
b
0,3
0,2
01 0,1
Equilibrio
80°
70°
60°
b
F
F
h= =H/2
Ipotesi sulla diffusione
delle tensioni
approx
T = 0,25 F (1 − a/b)
T/F
teoria elastica lin.
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 a/b
Puntone con discontinuità totale
h=H/22
h/2 h a/4
Tz
b ef
F/2
bef/4
a
a/4 a/4
F/2 F/2
bef
b
ef � �
F/2
F �ba� � �
2 � 4 4�
bef/4
� 0,5 H � 0,65 a
z � h/2 �
H/4
�
h=H/22
h/2 h a/4
F/2
F/2
a/4
bef/4
31/65
C=T
T
F � a �
T � �1�0,7 �
4 � H�
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Esempio
σ � k �'
f
1Rd, max
(k 1 =1,0)
σ � k �'
f
2Rd, max
Nodo compresso senza tiranti
2
1
cd
cd
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Nodo compresso‐teso con armatura disposta in una direzione
Esempio
(k 2 =0,85)
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Nodo compresso‐teso con armatura disposta in due direzioni
Esempio
σ � k �'
f
3Rd, max
3
(k 3 =0,75)
cd
Mensola tozza
a c < h c/2 a c > h c/2
Armatura
secondaria
orizzontale
a c
F F
Ed
Ed
h c
a c
Armatura
secondaria
verticale
h c
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36/65
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400
400
150
125
250
50 150
400 250
Armatura principale
F Ed
Mensola tozza con a c

F t
F c
Armatura principale
come esempio precedente
Mensola tozza con a c>h c/2
a
a ac a /2 a /2
F
Ed
z
h c
traliccio iperstatico
Armatura secondaria
ipotesi di variazione lineare di Fwd nel tirante
verticale al variare di a tra il valore Fwd =0pera=
z/2 e F F per a 2 z
F
wd
2 FEd
F
� a �
3 z 3
2a/z �1
� FEd
3
z/2 e F wd = F Ed per a = 2�z 3
F’t
a a
F’
Ed
F’’
Ed
z z
F’c
TRALICCIO 1
F’’t
F’’c
a/2 a/2
Ed
39/65
�
TRALICCIO 2
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Pressioni localizzate (EC2 §6.7)
41/65
42/65
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43/65
44/65
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Parte III: Altri esempi
Esempio: Sella Gerber
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L’EC2 consiglia di utilizzare uno dei due tralicci in figura:
schema b) bordo inferiore completamente privo di armature
schema a) occorre un’armatura longitudinale superiore per ancoraggio staffe ed
armatura di confinamento del puntone inclinato C1
675
C1
1
500
425
�
3
T1
725
�
45°
C2
C3
2
725 580
T2
700
C1
1
4 3
2
500
T1
2025
a) b)
Materiali:
calcestruzzo C35/45 f ck = 35 N/mm 2
acciaio B450C f yk = 450 N/mm 2
45°
1305
C2
45°
C3
T2
4
46/65
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Traliccio a) R=R Sdu /2 = 500 kN
il corrente compresso ha una larghezza pari alla profondità x dell’asse neutro della sezione e
pertanto dista x/2 dal lembo superiore; dall’equilibrio alla traslazione della sezione si ottiene
x=99 mm
C 1
�
R
senα
T2 1
� 620 kN
� C � cosα � 366 kN
T2
C 2 �
� 260 kN
senβ � cosβ
senβ
� � C � 230 kN
sen45� 45�
C3 2
T1 1
2
� C �senα
� C �senβ
� 663 kN
Traliccio b) R=R Sdu /2 = 500 kN
C'1 � 500 kN
� C' � 500 kN
C'2 1
366000
A s1 � � 935 mm
391,3
663000
A s1 � � 1694 mm
391,3
T' T'1 � 2 � C' C'1
� 707 kN sii adottano d tt llestesse t armature t di T’ 2
C'3 1
� T' � 707 kN
�T' �C'
��cos45� � 1000 kN
T'2 � 1 3
700
1000000
A �
391,3
2
2
675
C1
1
500
425
�
4
3
T1
725
�
45°
C2
C3
2
725 580
T2
47/65
2
s1 � 2556 mm si adottano 6�24 = 2712 mm2 2 4
1
500
C1’
T1’
2025
45°
1305
C2’
3
45°
C3’
T2’
48/65
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3500
750
Trave ad altezza variabile
3000 3000
2000
F F
A A
1500
6250 8500
22500
F = 1200 kN
(si trascura il peso proprio della trave)
6250 750
Materiali: calcestruzzo C30/37 f ck = 30 N/mm 2 , acciaio B450C f yk = 450 N/mm 2
Regioni B e D
0,85f
1,5
0,85 � 30
1,5
ck
f cd � � �
17
N/mm
f yk 450
f yd � � � 391,3 N/mm
1,15 1,15
D 1
ck yk
F F
D 2
D 3
B
A A
Caratteristiche di sollecitazione
1200 kN
A
3000
F
Taglio
2
Momento flettente
2
F
D 2
15000 3000
A
3600 kNm
D 1
300
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50/65
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35000
Forze risultanti sulla regione D
30001200 kN
3500
1690 210
750
Percorso di carico
3500
750
1200 kN
6250 2000
2130 kN
2130 kN
3000 1200 kN 210
3000
1200 kN
Modello puntoni‐tiranti
A
6250 2000
F loop
2130 kN
2130 kN
1200 kN 1200 kN
C 2
B
C3 E
C4 D
T 2
C1 T 1
T 3
C5 C
45°
1200 kN 1500
750
1200 kN
1500
210
1690
100
1690
100
100
C 4
C 5
51/65
C1 vedi calcolo forze nella regione B 2130 kN
T1 C 2
T3 T2 C3 Floop C4 C5 T1=C1 (equil. (q verticale nodo A) )
(equil. orizzontale nodo A)
T2 = T3, perché C5 è inclinato di 45° (equil. nodo C)
(equil. orizzontale nodo B)
Floop = C1 –C3 (equil. verticale nodo C)
2130 kN
1647 kN
1128 kN
1128 kN
1128 kN
1002 kN
1509 kN
1595 kN
52/65
210
31990
100
05/05/2010
26

53/65
54/65
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27

55/65
56/65
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28

Parte IV: Analisi di parete forata
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Esempio di armatura di una trave forata
Traliccio isostatico Traliccio iperstatico
Quattro differenti esempi di armatura
1) Traliccio isostatico
2) Traliccio iperstatico
3) Traliccio isostatico con la stessa quantità di armatura del traliccio iperstatico
4) Armatura progettata come se si trattasse di una trave snella
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Tirante 1. Modello STM iperstatico 2. Modello STM isostatico
Fo
rza (kN)
T1 10
70
T2 53
5
T3 10
70
T4 53
5
T5 10
70
T6 53
5
T7 53
5
T8 53
5
T9 66
3
Peso armatura (kg)
Armatura
6 Ø 18 + 4 Ø 24
6 Ø 18
2 x 5 Ø 18
2 x 5 Ø 18
2 x 5 Ø 18
2 x 5 Ø 12
2 x 5 Ø 18
2 x 5 Ø 12
2 Ø 24 + 2 Ø 24
Dettagli delle armature
Lunghezza g
(cm)
250
450
460
460
460
260
460
260
540
For
za (kN)
107
0
/
/
/
/
/
/
/
132
6
Armatura
6 Ø 18 + 4 Ø
24
Lunghezza g
(cm)
250
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
4 Ø 24 + 4 Ø
24
540
3. Modello STM isostatico con
armatura equivalente
Armatura
Lunghezza g
(cm)
8 Ø 24 + 2 Ø
20 250
6 Ø 18
/
/
/
/
/
/
12 Ø 24 + 2 Ø
20
450
/
/
/
/
/
/
4. Dimension. errato
Armatura Lunghezza
(cm)
10 Ø 20
10 Ø 20
250
450
/ /
/ /
/ /
/ /
423 271 421 171
540
/
/
/
/
/
/
60/65
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30

Esempio di armatura di una trave forata
Curve carico‐spostamento
Carico (KN)
7.E+03
6.E+03
5.E+03
4.E+03
3.E+03
2.E+03
1.E+03
0.E+00
Traliccio Iperstatico
Traliccio isostatico
Progetto errato
Traliccio isostatico con
armatura equivalente
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Spostamento verticale (cm)
Esempio di simulazione
Calcestruzzo Acciaio Armature
Ec = 31200 N/mm2 Es = 210000 N/mm2 T1: 6Ø18 + 4Ø24
ν = 0.2 ν = 0.2 T9: 8Ø24
ft = 2.6 N/mm2 Gf = 100J/m
diffusa: 2x Ø8 20”
2
61/65
Modellazione: 496 elementi solidi (SDM)
6 elementi solidi elastici lineari (supporti in acciaio)
2270 elementi biella elastici lineari (armature discrete)
62/65
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63/65
Puntoni
e
Tiranti
64/65
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Distribuzione delle tensioni di armatura e quadro fessurativo nel caso di
traliccio isostatico (configurazione a rottura)
65/65
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