Time Evolution - ภาควิชาฟิสิกส์

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 4 Time Evolution 4-2
ในทํานองเดียวกันกับการศึกษา rotation operator ในบทที่ 2 ซึ่งเริ่มดวยศึกษาการหมุนที่เปนมุม
เล็กๆรอบแกน z หรือที่เราใชสัญลักษณ ˆ( Rdϕ k ) time evolution operator ก็เชนเดียวกัน เรา
สามารถเริ่มดวยการพิจารณา
Udt ˆ ( ) Ψ ( t= 0) = Ψ ( dt)
______________ สมการ (4.2)
สมการ (4.2) แสดงถึงมุมมองวา operator U ˆ เปน operator ที่ทําการเปลี่ยนสถานะ ket เริ่มตน ให
เปนสถานะผลลัพธภายหลังจากเวลาผานไปเพียง dt เทานั้น และในลักษณะเดียวกันกับ
infinitesimal rotation operator ดังสมการ (2.122) ที่วา ˆ i
R dϕ
k = − J ˆ dϕ
เราสามารถเขียน
( ) 1 z
Udt ˆ( ) = 1− i Hdt ˆ ______________ สมการ (4.3)
โดยที่ operator Ĥ ซึ่งมีหนวยเปนพลังงานนั้น โดยลักษณะความสัมพันธทางคณิตศาสตรใน
สมการ (4.3) แลวจะเห็นวา Ĥ ก็คือ generator of time evolution หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง Ĥ เปน
operator ที่เปนตัวกําหนดวา สถานะของระบบจะมีการเปลี่ยนไปตามเวลาในลักษณะอยางไร
ดวยอาศัยสมบัติทางคณิตศาสตรดังในแบบฝกหัด 2.23 เราเขียน time evolution operator ใหอยูใน
รูปของ Ĥ ไดวา
Ut ˆ ()
iHˆ
t
e −
= ______________ สมการ (4.4)
ดังในสมการ (4.4) ขางตน เราไดเห็นถึงรูปแบบทางคณิตศาสตรของ time evolution operator Ut ˆ ()
อยางคราวๆ แตทวา สมการ (4.4) นั้นไมไดมีประโยชนมากมายนัก เพราะวาเราก็ยังไมทราบอยูดีวา
operator Ĥ แทที่จริงแลวคืออะไร มีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไรบาง ดังนั้น การเขียน Ut ˆ ()
ใหอยูในรูปของ Ĥ จึงเปนเพียงการ "ผัดวันประกันพรุง" ตราบใดที่เรายังไมทราบวา Ĥ คืออะไร
และมีรูปแบบในทางคณิตศาสตรเปนเชนใด
แบบฝกหัด 4.1 จงพิสูจนวา time evolution operator Ut ˆ () มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือ
†
() ()
Uˆ t Uˆ t = 1
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009