Time Evolution - ภาควิชาฟิสิกส์

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 4 Time Evolution 4-24
⎧
2 3
ˆ ˆ ˆ ⎫
ˆ ⎪ ⎛iH t ⎞ ⎛iH t ⎞ ⎛iH t ⎞ ⎪
Ut () ε = ⎨ 1 − ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎬
ε
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎩
⎠ ⎪⎭
⎧
2 3
⎪ ⎛it⎞ ˆ ⎛it⎞ ˆ 2 ⎛it⎞
⎫
ˆ3
⎪
= ⎨1
− ⎜ ⎟H + ⎜ ⎟ H − ⎜ ⎟ H + ⎬
ε
⎪ ⎝
⎩
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭
____________ สมการ (4.55)
จากนั้นใชสมบัติการกระจายของ operator เพื่อกระจาย polynomial แตละเทอม ใหตางก็เขาไป
กระทํากับ state ε
2 3
ˆ ⎛it⎞ ˆ ⎛it⎞ ˆ 2 ⎛it⎞
ˆ3
Ut () ε = 1ε − ⎜ ⎟Hε + ⎜ ⎟ H ε − ⎜ ⎟ H ε +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
_____ สมการ (4.56)
อาศัยสมบัติความเปน eigenstate ของ Ĥ ดังในสมการ (4.53) ทําใหสมการขางตนเปลี่ยนรูปเปน
2 3
ˆ ⎛it⎞ ⎛it⎞ () 1
2 ⎛it⎞
3
Ut ε = ε − ⎜ ⎟Eε + ⎜ ⎟ E ε − ⎜ ⎟ E ε +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
_____ สมการ (4.57)
จะสังเกตไดวา ทุกๆเทอมทางขวามือของสมการ (4.57) นั้น ลวนแลวแตอยูในรูปของ state ε คูณ
อยูกับตัวเลขธรรมดา เพราะฉะนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบเอาตัวเลขเหลานี้เขามารวมกันเปน
ผลบวก ซึ่งจะไดวา
⎧
2 3
ˆ ⎪ ⎛it⎞ ⎛it⎞ () 1
2 ⎛it⎞
⎫
3 ⎪
Ut ε = ⎨ − ⎜ ⎟E+ ⎜ ⎟ E − ⎜ ⎟ E + ⎬
ε
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎩
⎠ ⎪⎭
⎧
2 3
⎪ ⎛iEt ⎞ ⎛iEt ⎞ ⎛iEt
⎞
⎫⎪
= ⎨1
− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎬
ε
⎪ ⎝
⎩
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭
_____ สมการ (4.58)
เทอมในวงเล็บของสมการขางตน สามารถลดรูปใหอยูในรูปของ exponential ฟงชันกไดวา
iEt
−
e
Ut ˆ () ε = ε _________________ สมการ (4.59)
สมการ (4.59) แสดงใหเห็นชัดเจนวา เมื่อ time evolution operator ˆ () Ut กระทํากับสถานะ ε
ผลลัพธที่ไดก็ยังเปนสถานะ เชนเดิม ε (คูณดวยคาคงที่ ซึ่งไมมีนัยยะอะไรเปนสําคัญ) หรือกลาว
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009