Time Evolution - ภาควิชาฟิสิกส์

More documents

Recommendations

Info

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 4 Time Evolution 4-20 การวิเคราะห quantum mechanics โดยใช matrix มีขอดีคือทําใหเราสามารถวิเคราะหระบบที่มีความ ไมตอเนื่อง ยกตัวอยางเชนระบบที่มี basis state อยูสอง state ดังที่ไดแสดงในตัวอยางในเรื่อง spin ของอิเล็กตรอน ซึ่งมี basis state คือ + Z และ − Z อยางไรก็ตาม ระบบที่มี basis state อยูสองสถานะมิไดจํากัดอยูแตเพียง spin ของอนุภาคมูลฐานเพียง เทานั้น ดังจะไดยกตัวอยางในเรื่องของ ammonia maser ซึ่งเกี่ยวของกับโครงสรางของโมเลกุล NH หรือ ammonia 3 H N โมเลกุล Ammonia NH 3 H ภาพ 4.8 แสดงโครงสรางทางเคมี ของโมเลกุล ammonia อะตอม ของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูใน ระนาบเปนลักษณะสามเหลี่ยมดาน เทา H 1 2 ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน โมเลกุลของ ammonia ประกอบดวย nitrogen อะตอม ซึ่งมีพันธะเคมีกับ hydrogen อะตอมอีก 3 อะตอม โครงสรางของ NH 3 จะปรากฏวามีอะตอมของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูในระนาบเปน ลักษณะสามเหลี่ยมดานเทา ดังแสดงในภาพ 4.8 ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห เราเรียกสถานะของระบบ ที่มีตําแหนงของ nitrogen อะตอมตางกันนี้วา 1 = สถานะที่ nitrogen atom อยูดานบน 2 =สถานะที่ nitrogen atom อยูดานลาง เพื่อที่จะวิเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบที่มีสถานะที่ไมตอเนื่องดังกลาว เราเริ่ม ดวยการเขียน Hamiltonian ใหอยูในรูปของ matrix Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 4 Time Evolution 4-21 ⎡ 1 Hˆ 1 1 Hˆ 2 Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 1,2 basis ⎢ 2 Hˆ 1 2 Hˆ ⎣ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ _________________________ (4.43) เราเริ่มดวยการหา matrix element 1 H ˆ 1 และ 2 H ˆ 2 ในสมการ (4.43) กอน ดวยการสังเกตวา เทอม 1 H ˆ 1 สามารถตีความไดวาเปน expectation value ของ พลังงานเมื่อกําหนดใหระบบอยูใน สถานะ 1 เนื่องจากระบบมีความสมมาตร เราบอกไดวา state 1 และ state 2 ควรจะมีพลังงานเทากัน ซึ่ง กําหนดใหมีคาเทากับ E 0 เพราะฉะนั้น 1 Hˆ 1 2 Hˆ 2 E = = _________________________ (4.44) 0 สําหรับ เทอม 1 H ˆ 2 และ 2 H ˆ 1 ในสมการ (4.43) นั้น เราสามารถตีความได โดยใช time evolution operator ในสมการ (4.3) เขาชวย กลาวคือ เราสามารถเขียน Hamiltonian ใหอยูในรูป infinitesimal time evolution operator ไดวา ˆ i i H =− + Uˆ( dt ) dt dt _________________________ (4.45) เพราะฉะนั้น ˆ i i 1 H 2 = 1 − + Uˆ( dt) 2 dt dt i i =− 12 + 1 Udt ˆ ( )2 dt dt _________________________ (4.46) ถาเรากําหนดให basis state 1 และ 2 นั้น orthogonal กลาวคือ 12 = 0 จะไดวา 1 Hˆ 2 1 Uˆ( dt) 2 ∝ _________________________ (4.47) ทางขวามือของสมการ (4.47) มีความหมายวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูใน state 2 และเมื่อเวลาผาน ไปเปนเวลา dt (นั่นคือความหมายของ time evolution operator) ถามวา probability amplitude ที่ ระบบจะเปลี่ยนสถานะมาอยูใน state 1 มีคาเปนเทาใด Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Page 1 and 2: Quantum Mechanics ระดับ
Page 19: Quantum Mechanics ระดับ

Time Evolution - ภาควิชาฟิสิกส์

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?