Time Evolution - ภาควิชาฟิสิกส์

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 4 Time Evolution 4-1 

4Time Evolution 

เนื้อหา 

4.1 Time Evolution Operator 

4.2 Precession ของ Spin 1 Particle ในสนามแมเหล็ก 

2 

4.3 การหมุน 360 องศาของ Neutron 

4.4 Magnetic Resonance 

4.5 Ammonia Maser 

4.6 บทสรุป 

4.7 ปญหาทายบท 

วัตถุประสงคหลักอันหนึ่งของการศึกษาฟสิกส ก็คือความสามารถในการที่จะทํานายสิ่งที่จะเกิดขึ้น 

ในอนาคต หรือการศึกษาปริมาณทางฟสิกสที่เปลี่ยนแปลงไปกับเวลา เพราะฉะนั้นในบทที่ 4 นี้ เรา 

จะกลาวถึงระเบียบวิธีในทาง quantum mechanics ที่จะเปนกลไกในการศึกษาวาสถานะตางๆนั้น จะมี 

การเปลี่ยนแปลงไปกับเวลาอยางไร 

4.1 Time Evolution Operator 

สมมุติวาเราทราบขอมูลเกี่ยวกับสถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 ซึ่งอาจจะเขียนใหเปนสัญลักษณ 

โดยใช ket ไดวา Ψ( t = 0) 

จากนั้น ดวยระเบียบวิธีของ quantum mechanics ที่ไดกลาวถึงในบท 

ที่ 2 เราสามารถจินตนาการไดวา มี operator ซึ่งอาจจะแทนดวยสัญลักษณ Ut ˆ () โดยที่ operator 

ดังกลาวนี้ สามารถที่เปลี่ยนสถานะ ket ณ เวลา t=0 ใหเปนสถานะ ket ณ เวลา t หรือเขียนในรูป 

ของสมการไดวา 

Ut ˆ () Ψ ( t= 0) = Ψ () t ______________ สมการ (4.1) 

ถึงแมวาในขณะนี้ เรายังไมทราบวา operator Ut ˆ () ดังกลาวนี้ มีรูปแบบหรือเอกลักษณในทาง 

คณิตศาสตรเปนอยางไร แตดวยคํานิยามในสมการ (4.1) นั้น เราเรียก Ut ˆ () วาเปน time evolution 

operator หรือ operator ที่ทําใหสถานะของระบบเปลี่ยนไปกับเวลานั่นเอง 

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


ในทํานองเดียวกันกับการศึกษา rotation operator ในบทที่ 2 ซึ่งเริ่มดวยศึกษาการหมุนที่เปนมุม 

เล็กๆรอบแกน z หรือที่เราใชสัญลักษณ ˆ( Rdϕ k ) time evolution operator ก็เชนเดียวกัน เรา 

สามารถเริ่มดวยการพิจารณา 

Udt ˆ ( ) Ψ ( t= 0) = Ψ ( dt) 

______________ สมการ (4.2) 

สมการ (4.2) แสดงถึงมุมมองวา operator U ˆ เปน operator ที่ทําการเปลี่ยนสถานะ ket เริ่มตน ให 

เปนสถานะผลลัพธภายหลังจากเวลาผานไปเพียง dt เทานั้น และในลักษณะเดียวกันกับ 

infinitesimal rotation operator ดังสมการ (2.122) ที่วา ˆ i 

R dϕ 

k = − J ˆ dϕ 

เราสามารถเขียน 

( ) 1 z 

 

Udt ˆ( ) = 1− i Hdt ˆ ______________ สมการ (4.3) 

 

โดยที่ operator Ĥ ซึ่งมีหนวยเปนพลังงานนั้น โดยลักษณะความสัมพันธทางคณิตศาสตรใน 

สมการ (4.3) แลวจะเห็นวา Ĥ ก็คือ generator of time evolution หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง Ĥ เปน 

operator ที่เปนตัวกําหนดวา สถานะของระบบจะมีการเปลี่ยนไปตามเวลาในลักษณะอยางไร 

ดวยอาศัยสมบัติทางคณิตศาสตรดังในแบบฝกหัด 2.23 เราเขียน time evolution operator ใหอยูใน 

รูปของ Ĥ ไดวา 

Ut ˆ () 

iHˆ 

t 

e − 

= ______________ สมการ (4.4) 

ดังในสมการ (4.4) ขางตน เราไดเห็นถึงรูปแบบทางคณิตศาสตรของ time evolution operator Ut ˆ () 

อยางคราวๆ แตทวา สมการ (4.4) นั้นไมไดมีประโยชนมากมายนัก เพราะวาเราก็ยังไมทราบอยูดีวา 

operator Ĥ แทที่จริงแลวคืออะไร มีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไรบาง ดังนั้น การเขียน Ut ˆ () 

ใหอยูในรูปของ Ĥ จึงเปนเพียงการ "ผัดวันประกันพรุง" ตราบใดที่เรายังไมทราบวา Ĥ คืออะไร 

และมีรูปแบบในทางคณิตศาสตรเปนเชนใด 

แบบฝกหัด 4.1 จงพิสูจนวา time evolution operator Ut ˆ () มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือ 

† 

() () 

Uˆ t Uˆ t = 1 



แบบฝกหัด 4.2 จงใชความเปน unitary ของ time evolution operator เพื่อบอกวา Ĥ ดังที่นิยามใน 

สมการ (4.3) นั้น ตองเปน Hermitian operator [หมายเหตุ: เมื่อ Ĥ เปน Hermitian แสดงวามันเปน 

operator ที่สามารถแทนกระบวนการวัดทางฟสิกสได เพราะมี eigenvalue เปนจํานวนจริง] 

Ĥ คือ Hamiltonian Operator 

นอกจากเราจะสามารถตีความไดวา operator Ĥ ก็คือ generator of time evolution ซึ่งเปน operator ที่ 

กําหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของ state ใดๆ operator Ĥ ก็ยังมีความหมายอีกแง 

หนึ่งที่เราคุนเคยเปนอยางดี และใน Section 4.1.1 นี้ เราจะมาวิเคราะหถึงตรรกะทางคณิตศาสตร 

เพียง 2 ขอ และจะเปนตนตอของบทสรุปที่สําคัญอันหนึ่งที่เกี่ยวของกับความหมายของ Ĥ ซึ่ง 

นอกจากจะเปน generator of time evolution Ĥ ยังมีสมบัติเปน Hamiltonian operator หรือเปน 

operator ที่เกี่ยวของกับพลังงานรวมของระบบอีกดวย 

จากความสัมพันธระหวาง Ut ˆ () และ Ĥ ดังสมการ (4.4) เราสามารถบอกไดวา [ Ut ˆ( ), H ˆ] = 0 

และเมื่อ Ut ˆ () commute กับ Ĥ จาก Section 3.4 ในบทที่ 3 เราสรุปไดวา eigenstate ของ Ĥ ก็คือ 

eigenstate ของ Ut ˆ () โดยอัตโนมัตินั่นเอง 

สมมุติวาเราพิจารณา eigenstate ของ Ĥ ซึ่งเขียนอยูในรูปของ 

Ĥ 

ε = E ε ______________ สมการ (4.5) 

เมื่อเห็นสมการดังในลักษณะสมการ (4.5) ขางตน นักศึกษาจะตองไมลืมวา สถานะ ε นั้น 

ไมใชจะเปนสถานะใดๆก็ได หากแตมันมีสมบัติเฉพาะตัว ซึ่งเปน eigenstate ของ operator Ĥ โดย 

ที่มี eigenvalue เปน E 

เนื่องจาก Ĥ commute กับ Ut ˆ () ดังนั้น ε จะตองเปน eigenstate ของ Ut ˆ () ดวยโดยปริยาย 

เพราะฉะนั้น 

ˆ () 

−iEt 

Ut ε = e 

 

ε ______________ สมการ (4.6) 



สมการ 4.6 แสดงใหเห็นวา time evolution operator ไมสามารถทําใหสถานะ ε นั้นเปลี่ยนแปลง 

ตามเวลาได ดวยเหตุวา หลังจากที่ Ut ˆ () มากระทํากับสถานะ ε แลว สถานะผลลัพธยังคงเปน 

iEt 

ε เหมือนเดิม (คูณดวยคาคงที่ e − เทานั้น) 

มาถึงจุดนี้ เราสามารถสรุปคุณสมบัติ 2 ประการที่เกี่ยวของกับ operator Ĥ ไดวา 

1) operator Ĥ มีหนวยเปนพลังงาน หรือ Joule 

2) eigenstate ของ Ĥ (และรวมไปถึง eigenvalue) นั้น ไมเปลี่ยนไปกับเวลา 

จากคุณสมบัติทั้งสองขอดังที่ไดกลาวมานี้ จะเห็นไดวา operator Ĥ นั้นเกี่ยวของกับปริมาณทาง 

ฟสิกสที่ไมเปลี่ยนไปกับเวลา และมีหนวยเปน Joule ดังนั้น Ĥ ก็คือ พลังงานรวมของระบบ หรือ 

Hamiltonian นั่นเอง 

สมการ Schrödinger 

หลังจากที่ทราบความหมายในอีกแงหนึ่งของ operator Ĥ วาเปน Hamiltonian เราก็พรอมที่จะ 

derive สมการ Schrödinger ที่ไดเริ่มคนพบเมื่อป ค.ศ. 1926 

สมมุติวาเรามีสถานะ Ψ( t = 0) 

ณ เวลา t = 0 และตองการที่จะหาวา สถานะดังกลาว ณ เวลา 

t+ dt นั้น มีลักษณะเปนเชนใด สามารถทําไดโดยใช time evolution operator 

U ˆ ( t + dt) Ψ ( t = 0) = Ψ ( t + dt) 

______________ สมการ (4.7) 

อยางไรก็ตาม แทนที่จะใหเวลาผานไปในคราวเดียวเทากับ t+ dt ดังสมการ (4.7) ในขางตน เรา 

สามารถเลือกที่จะทําใหเวลาผานไปเปน 2 จังหวะ กลาวคือ 1) ใช operator Ut ˆ () กระทํากับสถานะ 

Ψ( t = 0) กอน และ 2) นํา operator Udt ˆ ( ) เขาไปกระทําซ้ําในรอบที่สอง ซึ่งจะไดผลลัพธ 

เปนการเปลี่ยนไปของเวลาเทากับ t+ dt เชนเดียวกัน หรือ ในรูปของสมการจะไดวา 

UdtUt ˆ( ) ˆ( ) ( t 0) ( t dt) 

Ψ = = Ψ + ______________ สมการ (4.8) 

เมื่อพิจารณา สมการ (4.8) รวมกับสมการ (4.7) ทําใหเราสรุปไดวา 



Ut ˆ( dt) UdtUt ˆ( ) ˆ( ) 

+ = ______________ สมการ (4.9) 

เมื่อเราแทน Udt ˆ = − Hdt ˆ จากสมการ (4.3) เขาไปในสมการ (4.9) จะทําให 

 

( ) 1 i 

ˆ i 

Ut ( dt) ⎛ 1 ˆ ⎞ 

+ = HdtUt ˆ 

⎜ − ⎟ ( ) 

⎝ ⎠ 

______________ สมการ (4.10) 

ความสัมพันธดังในสมการ (4.10) นั้น สามารถจัดรูปกระชับมากขึ้นคือ 

i 

Ut ˆ ( + dt ) −Ut 

ˆ ( ) = HU ˆˆ() t 

dt 

______________ สมการ (4.11) 

จะสังเกตเห็นวา ขางซายของสมการ (4.11) นั้น เราสามารถนิยามให 

∂ ˆ( ) ˆ 

ˆ Ut+ dt−Ut 

( ) 

Ut () ≡ 

∂t 

dt 

ดังนั้น สมการ (4.11) สามารถเขียนใหอยูในรูปที่คลายคลึงกับสมการ Schrödinger ได ซึ่งก็คือ 

∂ 

i Uˆ() t = HU ˆ ˆ() 

t 

∂t 

______________ สมการ (4.12) 

∂ 

i Ψ () t = Hˆ 

Ψ () t 

∂t 

______________ สมการ (4.13) 

ซึ่งสมการ Schrödinger ดังที่เขียนในสมการ (4.13) นั้น ในอนาคต เราจะวกกลับมาวิเคราะหสมการ 

ดังกลาวเพื่อประยุกตใชอธิบายระบบในเชิง quantum mechanics ในบทที่ 6 แตขณะนี้ เราจะมา 

ศึกษาตัวอยาง 4 ตัวอยางดวยกัน ซึ่งเปนปรากฏการณในทางฟสิกสที่สามารถใชความรูเกี่ยวกับ time 

evolution operator มาเปนเครื่องมือในการอธิบาย dynamics ของระบบดังกลาว 

แบบฝกหัด 4.3 ในระบบที่ซับซอนขึ้นนั้น Hamiltonian เปนฟงชันกของเวลา ในกรณีเชนนี้ จง 

พิสูจนวา time evolution operator สามารถเขียนอยูในรูปของ 

() 

Uˆ 

t 

⎡ t 

i ⎤ 

= exp ⎢− 

dtH ′ ˆ( t′ 

) ⎥ 

⎢ ∫ 

⎣ 0 ⎥ 

⎦ 

บอกใบ - ซอย time evolution operator ใหเปนจังหวะยอยๆจาก t 0, t dt′ , t 2 dt′ 

, 

= = = … 



หมายเหตุ: ถาจะวิเคราะหในรายละเอียดใหลึกซึ้ง สมการขางตนมีเงื่อนไขในทางคณิตศาสตรเพิ่มเติม 

ที่วา ⎡Ht 

ˆ( ˆ 

1), Ht ( 2) ⎤ = 0 

⎣ ⎦ 

4.2 Precession ของ Spin 1 2 

Particle ในสนามแมเหล็ก 

สมมุติวาเราพิจารณาอนุภาคที่มี spin angular momentum เปน 12 ซึ่งไมจําเปนจะตองเปน 

อิเล็กตรอนแตเพียงอยางเดียว เมื่ออนุภาคดังกลาวนี้ ตกอยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็ก 

 

B = B0k 

ที่เรียงตัวอยูในแนวแกน z เราจะมาวิเคราะหวา สนามแมเหล็กดังกลาว มีผลอยางไรกับ 

spin ของอนุภาคที่วานี้ 

z 

สนามแมเหล็ก 

B 

μ H B 

x 

y 

Magnetic moment มี interaction กับ 

สนามแมเหล็ก โดยที่มีพลังงาน 

 

= − μ 

⋅ 

อนุภาคที่มี spin ก็จะเปรียบไดกับแมเหล็กขนาดเล็กๆแทงหนึ่ง ซึ่งมี magnetic moment เปนฟงชันกที่ 

ขึ้นอยูกับมวล และ spin ของอนุภาคนั้นๆ ดังตอไปนี้ 

ˆ μ = gq S ˆ _____________________ สมการ (4.14) 

2m 

เมื่อ g คือคาคงที่เฉพาะตัวของอนุภาคที่กําลังกลาวถึง เรียกโดยทั่วไปวา g-factor ซึ่งจะสามารถวัด 

ไดจากการทดลอง ยกตัวอยางเชน อิเล็กตรอนมี g = 2.00 และ proton มี g = 5.58 เปนตน และ 

q ก็คือประจุของอนุภาคดังกลาว 

โดยธรรมชาติแลว เมื่อแมเหล็กที่มี magnetic moment ˆμ ตกอยูภายในอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B 

เราสามารถเขียนไดวา พลังงานของระบบนั้นๆ ก็คือ 



Hˆ 

 

=−ˆ 

μ ⋅B 

gq 

=− S ˆ ⋅ ( B 0k 

) 

2m 

_____________________ สมการ (4.15) 

ยกตัวอยางเชนถาเรากําลังพิจารณาอิเล็กตรอนที่มีประจุ q= − e และ spin s = 12 นั้น จะไดวา 

ˆ ge 

H = ( Sˆ ˆ ˆ 

x + Sy + Sz) ⋅( B0k) 

2mc 

⎛ geB0 

⎞ 

= S ˆ ⎜ z 

2m 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Hˆ 

= ω ˆ 

0Sz 

_________________ สมการ (4.16) 

ซึ่งที่มาของสมการ (4.16) นั้น เราเขียน spin operator ในรูปขององคประกอบตามแนวแกน x, y, และ 

z ดังที่ไดกลาวมาแลวในสมการ (2.83) และ สมการ (3.4) นอกจากนี้ สมการ (4.16) ยังบอกอีกวา 

พลังงานของระบบที่เรากําลังพิจารณาอยูนี้นั้น โดยความเปนจริงแลว ขึ้นอยูกับ 1) spin angular 

momentum ตามแนวแกน z ของอนุภาค และ 2) ขึ้นอยูกับคาคงที่ ซึ่งเราเขียนรวมกันดวยสัญลักษณ 

ω = 

0 

geB0 

2m 

จากสมการ (4.16) จะเห็นวา operator Ĥ commute กับ operator S ˆz เพราะฉะนั้นแลว eigenstate 

ของ S ˆz ซึ่งก็คือ + Z และ − Z นั้น เปน eigenstate ของ Hamiltonian Ĥ ดวยโดยปริยาย 

หรืออีกนัยหนึ่ง 

Hˆ 

± Z = ω Sˆ 

± Z 

0 

z 

ω 

= ± 

0 

± Z 

2 

= E ± Z 

± 

_________________ สมการ (4.17) 

ดังนั้น ดวยความที่สถานะ ± Z เปน eigenstate ของ Hamiltonian Ĥ เราบอกไดวา สถานะ 

± Z ดังกลาวนี้ จะเสถียรและไมเปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่สถานะ + Z และ − Z จะมี 

พลังงานเปน 

+ 

ω 

= + 0 

2 

E และ 

ω 

= − 0 

2 

E ตามลําดับ 

− 

Dynamics ของระบบ 



เพื่อที่จะศึกษาการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของระบบ หรือที่เรียกวา dynamics ของระบบนั้น เรา 

จะตองมาพิจารณา time evolution operator Ut ˆ () ซึ่งก็เปนสาเหตุที่เราใชเวลาสวนหนึ่งในตอนตน 

ของเนื้อหาในบทนี้ เริ่มดวยการวิเคราะห Hamiltonian Ĥ เพราะวา Ut ˆ () นั้นมีความสัมพันธกับ 

Ĥ ดังในสมการ (4.4) นั่นเอง 

เมื่อเรามาวิเคราะหรูปแบบของ time evolution operator Ut ˆ () ตามสมการ (4.4) และ สมการ (4.16) 

จะไดวา 

Ut ˆ () 

iω 

S t 

− 

e 

0 ˆ z 

= _________________ สมการ (4.18) 

ซึ่งถาเรานิยามตัวแปร ϕ ≡ ω 0 t จะทําให ˆ 

iϕ 

S 

− z 

Ut ˆ() = e = Rˆ( ϕ k) 

_________________ สมการ (4.19) 

โดยที่นักศึกษาเองอาจจะจํารูปแบบของ rotation operator R ˆ( ϕ k) 

ที่ไดศึกษาในบทที่ 2 ซึ่งสมการ 

(4.19) นั้นกลาววา time evolution operator ของระบบที่เรากําลังใหความสนใจอยูนี้ ไปสอดคลอง 

กันพอดีกับ rotation operator ที่หมุน spin ของระบบเปนมุม ϕ = ω 0 t องศา 

เพราะฉะนั้น เราสรุปไดวา ผลของสนามแมเหล็กที่มีตอ spin ของอนุภาคนั้น จะทําให spin ของ 

อนุภาค precess รอบๆแกน z (หรือแกนที่ทิศทางขนานกับสนามแมเหล็ก B ) โดยที่ความเร็วรอบ 

geB 

ของการ precess นั้น ก็คือ ω = 0 

ซึ่งแปรผันตรงกับความเขมของสนามแมเหล็กที่มีอยู 

นั่นเอง 

0 

2m 

ความเร็วเชิงมุมของการ precess หรือ ω 

0 

ดังกลาว เปนปรากฏการณที่สําคัญ และมีชื่อเฉพาะในทาง 

ฟสิกสที่เรียกวา Larmor frequency ยกตัวอยางเชน ในกรณีของ proton มี Larmor frequency เทากับ 

42.5 MHz ตอสนามแมเหล็ก 1 Tesla เปนตน 

สถานะ Ψ (t ของระบบ 



นอกจากเราจะสามารถสรุปไดวา ระบบมีการ precess ดวยการอางความคลายคลึงของ time evolution 

operator Ut ˆ () กับ rotation operator R ˆ( ϕ k ) ดังสมการ (4.19) แลวนั้น เราสามารถศึกษาใหชัดเจน 

ลงไปอีกวา Ut ˆ () แทจริงแลว มีผลตอสถานะ Ψ( t = 0) 

ของระบบอยางไร 

เนื่องจากเราสามารถใช + Z และ − Z เปน basis state ดังนั้น สถานะใดๆของระบบ สามารถ 

เขียนในรูป superposition ของ basis state ไดเสมอ 

Ψ = = + + − _________________ สมการ (4.20) 

( t 0) c+ Z c− 

Z 

โดยที่ c 

± 

เปน probability amplitude ที่ระบบจะอยูในสถานะ ± Z เพราะฉะนั้นแลว การที่เรา 

ตองการทราบวาสถานะของระบบ Ψ (t) 

ณ เวลา t ใดๆ จะมีลักษณะเปนอยางไรนั้น ก็สามารถทํา 

ไดโดย การนํา time evolution operator 

Ut ˆ () 

iHt ˆ 

e − 

= เขาไปกระทํากับ Ψ( t = 0) 


Ψ () t = Uˆ 

() t Ψ ( t = 0) 

iHt ˆ 

− 

 

( ) 

= e c + Z + c −Z 

+ − 

_________________ สมการ (4.21) 

ω 

H ± Z =± ± Z 

2 

เนื่องจากสมการ (4.17) บอกวา ˆ 

0 

ดังนั้น 

− iω0t/2 + iω0t/2 

+ − 

Ψ () t = c e + Z + c e − Z _________________ สมการ (4.22) 

สมการ (4.22) ในขางตนนั้น แสดงใหเห็นวา ระบบที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ มีความเปลี่ยนแปลง 

สัมพันธกับเวลาอยางไร ซึ่งการเปลี่ยนแปลงดังกลาวนี้ ขึ้นอยูกับ 1) สถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 หรือ 

c และ 2) ขึ้นอยูกับ Larmor frequency ω = 0 


± 

0 

geB 

2m 



Ψ ( t 

= 0) 

= 

z 

X 


B 

y 

ณ เวลา 

t = 0 

เตรียม state ของระบบ 

ใหวางตัวตามแนวแกน x 

ภาพ 4.1 สมมุติวาเราเตรียม 

สถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 

ใหเปน spin ในแนวแกน +x และ 

เราตองการทราบวา ในเวลาใดๆ 

state ของระบบจะเปลี่ยนแปลงไป 

อยางไร? 

x 

เพื่อใหเห็นตัวอยางที่ชัดเจน เราลองมาสมมุติวาสถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 คือ spin ในแนวแกน 

+x ดังภาพ 4.1 

Ψ ( t = 0) = + X 

1 1 

= + Z + −Z 

2 2 

_________________ สมการ (4.23) 

เมื่อเปรียบเทียบสถานะของระบบที่ spin อยูในแนวแกน x ตามสมการ (4.23) กับสถานะที่เขียนใหอยู 

ในรูปทั่วไป ดังสมการ (4.20) จะไดวา สัมประสิทธิ์ 

c 

1 1 

= c = 

2 2 

+ − 

และเมื่อแทนคาสัมประสิทธิ์ดังกลาว เขาไปในสมการ (4.22) จะไดวา สถานะของระบบมีการ 

เปลี่ยนแปลงตามเวลาดังตอไปนี้ 

− iω0t/2 + iω0t/2 

e 

e 

() t Z Z 

2 2 

Ψ = + + − _________________ สมการ (4.24) 

state ดังที่เขียนในสมการ (4.24) ทําใหเราสามารถคํานวณหา probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ 

+ Z และ − Z ซึ่งก็คือ 

−iω 

/2 

2 

2 0t 

e 1 

+ Z Ψ () t = = __________________________ (4.25) 

2 2 



+ iω 

/2 

2 

2 0t 

e 1 

−Z 

Ψ () t = = __________________________ (4.26) 

2 2 

แบบฝกหัด 4.4 จงคํานวณหา expectation value ของ S ˆz ของ state ในสมการ (4.24) แลววิจารณ 

วา คาดังกลาว เปลี่ยนแปลงกับเวลาหรือไม อยางไร 

จากสมการ (4.25) และ สมการ (4.26) จะเห็นวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูในสถานะที่มี spin เปน 

+ X ตั้งแตแรก จะมี probability ที่เราจะพบวา spin ของมันอยูตามแนวแกน +z หรือ -z เทากัน 

เสมอ และไมเปลี่ยนแปลงตามเวลา 

ในทางตรงกันขาม ถาเราตั้งคําถามวา ความนาจะเปนที่จะพบ spin ของระบบอยูในสถานะ + X 

ณ เวลาตางๆ มีคาเปนเทาใด ? เราสามารถตอบคําถามไดดวยการเริ่มคํานวณ probability amplitude 

+ X Ψ () t 

− iω0t/2 + iω0t/2 

⎡ 1 1 ⎤ e 

e 

= Z Z Z Z 

⎢ + + − ⎥ + + − 

⎣ 2 2 ⎦⎢ ⎢ 2 2 

⎣ 

⎥⎦ 

− iω0t/2 + iω0t/2 

e e 

= + 

2 2 

⎛ω0t 

⎞ 

= cos⎜ 2 

⎟ 

⎝ ⎠ 

________ (4.27) 

และเราจะไดวา probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ + X ก็คือ 

2 2 ⎛ω 

() cos 

0t 

⎞ 

+ X Ψ t = ⎜ 

2 

⎟ 

⎝ ⎠ 

______________________ (4.28) 

จากสมการ (4.28) จะเห็นวา ณ เวลา t = 0 ความนาจะเปนมีคาเปน 1 ซึ่งก็สอดคลองกับ 

ขอกําหนดเริ่มตนที่เราเตรียมระบบใหอยูในสถานะ + X ตั้งแตเริ่มตน แตเมื่อเวลาผานไป จะ 

สังเกตวา probability ดังกลาว มีการ oscillate กลับไปกลับมา ระหวางคา 1 และ 0 

เราสามารถตีความ และ ทําความเขาใจกับการ oscillate ของ probability ดังกลาว ถาเรามองวา spin 

ของระบบที่แตเดิม เตรียมใหอยูในสถานะ X + ตั้งแตเริ่มตน มีการหมุนรอบแกน z ดังภาพ 4.2 



z 


B 

ภาพ 4.2 สนามแมเหล็กทําใหเกิดการ precess 

ของ spin รอบแกน z 

y 

x 

สนามแมเหล็กทําใหเกิดการหมุนของ spin 

แบบฝกหัด 4.5 จงพิสูจนวา เมื่อเราทําการวัด spin ตามแนวแกน x คาที่วัดไดโดยเฉลี่ย ก็คือ 

 

cos 

2 

บอกใบ - คํานวณ expectation value ของ operator S ˆx 

( ω t) 

แบบฝกหัด 4.6 จงคํานวณความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ − X ณ เวลาใดๆ 

ใน Section 4.2 ที่เราไดกลาวถึง precession ของ spin ที่อยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B เรา 

เริ่มดวยการวิเคราะหถึง Hamiltonian ของระบบ และโยงความสัมพันธไปยัง time evolution operator 

เพื่อเขียนสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆไดวา 

0 

− iω0t/2 + iω0t/2 

Ψ () t = c+ e + Z + c−e − Z 

เมื่อ สัมประสิทธิ์ c+ , c− ขึ้นอยูกับคุณสมบัติเฉพาะของระบบที่เรากําลังศึกษา เราพบวา ผลของ 

สนามแมเหล็กก็คือการทําให spin มีการ precess รอบแกนที่ขนานกับ B โดยที่ความถี่เชิงมุมของ 

geB 

การหมุน มีคาเทากับ ω = 0 

ซึ่งเรียกวา Larmor frequency นั่นเอง 

0 

2m 

4.3 การหมุน 360 องศาของ Neutron 

1 

Neutron เปนอนุภาคมูลฐานอีกชนิดหนึ่งที่มี spin s = จากที่ไดกลาวไปแลวในบทที่ 2 ในหัวขอ 

2 

1 

ที่เกี่ยวของกับ rotational operator เมื่อเราทําการหมุน spin ของอนุภาคที่มี spin s = เปนมุม 360 

2 

องศา จะทําให state กลายเปนลบของตัวมันเอง 



R ˆ(2 π k ) Ψ =− Ψ ______________________ (4.29) 

สมบัติขอนี้นี่เอง เปนหนึ่งในพฤติกรรมในเชิง quantum mechanics ที่แตกตางอยางสิ้นเชิงจาก 

classical mechanics ดวยเหตุที่วา วัตถุตางๆที่เราพบไดทั่วไปในชีวิตประจําวัน เมื่อเราทําการหมุน 

ดวยมุม 2π ยอมจะกลับมาอยูในรูปแบบเดิม กอนที่จะมีการหมุน ในป 1975 S.A. Werner, R. 

Colella, A.W. Overhauser, และ C.F. Eagen ไดทําการทดลองเพื่อพิสูจนพฤติกรรมที่แปลก 

ประหลาดของ quantum mechanics ดังแสดงในสมการ (4.29) อันนี้ 

ภาพ 4.3 แสดง diagram การทดลองของ 

Werner et. al. ที่ประกอบดวย neutron 

beam พุงเขากระทบกับแผน silicon (A) 

ปรากฏการณ diffraction ทําให neutron 

beam แยกออกเปนสองเสนทาง [Credit: 

ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 

35, 1053 (1975)] 

ดังแสดงในภาพ 4.3 การทดลองของ Werner et. al. ประกอบดวย neutron beam พุงเขากระทบกับ 

แผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทําให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง AB 

และ AC 

ในเสนทาง AC มีสนามแมเหล็กขนาดความเขม B อยูภายในชวงระยะทาง ซึ่งจาก Section 4.2 

เราทราบวามีผลทําให spin ของ neutron เกิดการหมุน โดยที่มุมของการหมุนสามารถควบคุมไดจาก 

ความเขมของสนามแมเหล็ก และ ระยะทาง ที่ neutron เคลื่อนที่อยูภายใตอิทธิพลของ 


Werner และผูรวมงานพบวาถาเขาทําการปรับความเขมของสนามแมเหล็กใหสอดคลองกับการหมุน 

360 องศา neutron beam AB และ AC จะหักลางกันพอดี และทําใหเกิดเปนจุดต่ําสุดของกราฟใน 

1 

ภาพ 4.4 ซึ่งก็หมายความวา rotational operator ที่หมุน spin s = มีผลทําใหสถานะของอนุภาค 

2 

neutron ที่ผานเสนทาง AC มีเฟสตรงกันขามกับสถานะของอนุภาค neutron ที่ผานเสนทาง AB 

และเกิดการหักลางกันดังกลาว 



4.4 Magnetic Resonance 

ภาพ 4.4 ผลการทดลองของ Werner at. 

el. แสดงปริมาณของ neutron ที่ detector 

นับได ภายหลังจากมีการแทรกสอด 

เกิดขึ้น 

จะเห็นวาที่ความเขมของสนามประมาณ 

62 Gauss มีการหักลางกันของ neutron 

beam [Credit: ภาพจาก Werner et. al. 

Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)] 

1 

2 

B zˆ 

ใน Section 4.2 เราไดศึกษาผลของสนามแมเหล็ก B ตอการ precess ของ spin s = particle ใน 

 

กรณีดังกลาว ถาเรากําหนดใหทิศทางของสนามแมเหล็กใหขนานกับแกน z หรือ แลว ความ 

นาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูในสภานะ + Z หรือ − Z จะไมเปลี่ยนแปลงกับเวลา 

หรืออีกนัยหนึ่ง เราอาจจะมองภาพโดยอนุโลมไดวา สนามแมเหล็ก B ทําหนาที่เหมือนหมุดที่ 

พยายามตรึง spin ของอนุภาคใหเรียงตัวตามแนวแกน z เพราะฉะนั้นถาเราเตรียม spin ของอนุภาค 

ใหอยูตามแนวแกน z เมื่อเวลา t = 0 หรือ Ψ ( t = 0) = + Z สนามแมเหล็ก B จะตรึงให 

ระบบอยูในสถานะ Ψ () t = + Z ไปโดยตลอด หรือ ถา Ψ ( t = 0) = − Z สนามแมเหล็ก 

ก็จะตรึงใหระบบอยูในสถานะ Ψ () t = − Z ไปโดยตลอดเชนกัน 

ในกรณีที่ spin ของอนุภาคไมใชทั้ง + Z หรือ − Z เสียเลยทีเดียว หากแตเปนผลบวก หรือ 

1 1 

superposition ของทั้งสอง state ยกตัวอยางเชน + X = + Z + − Z ในกรณีเชนนี้ spin 

จะเกิดการ precess ดวยความถี่ ω = 0 

0 

geB 

2m 

2 2 

เราอาจจะออกแบบการวางสนามแมเหล็กใหซับซอนมากยิ่งขึ้น เพื่อที่จะให spin ของระบบสามารถที่ 

จะเปลี่ยนแปลงจาก + Z ไปยัง −Z 

ไดเมื่อเวลาผานไป ดังภาพ 4.5 



x 

ภาพ 4.5 แสดงสนามแมเหล็กที่อยูใน 

สนามแมเหล็ก หลัก 

ระบบซึ่งประกอบดวยสวนหลัก และ 

z 

 

S B 

0 = B 

0 

k สวนรอง 

y 

สนามแมเหล็กรอง ที่ oscillate ตามแนวแกน x 

B 

1 = B 1 cos( ω 

t 

) 

i 

สนามแมเหล็กรองมีลักษณะเปน 

oscillation ที่สามารถปรับความถี่ ω ได 

ตามตองการ 

สนามแมเหล็กสุทธิมีคาเทากับ 

 

ω 

B = B1cos( t) 

i+ 

B0k 

สนามแมเหล็กที่อยูในระบบประกอบดวยสวนหลัก และ สวนรอง สนามแมเหล็กหลักชี้ในทิศแกน 

z แตสนามแมเหล็กรองอยูในแนวแกน x นอกจากนี้ สนามแมเหล็กรองยังมีลักษณะเปน oscillation 

ที่สามารถปรับความถี่ ω ไดตามตองการ สงผลใหสนามแมเหล็กสุทธิมีคาเทากับ 

 

B = B1cos(ω t) 

i+ 

B0k 

______________________ (4.30) 

ในทําเดียวกันกับสมการ (4.16) จะไดวา พลังงานของระบบคือ 

ˆ ge 

H = ( Sˆ ˆ ˆ 

x + Sy + Sz) ⋅ ( B1cos(ωt) i+ 

B0k) 

2m 

geB1 

cos(ωt) ˆ geB 

= S 0 ˆ 

x + Sz 

2m 

2m 

Hˆ 

= ω ˆ ˆ 

1cos(ωt) 

Sx 

+ ω0Sz 

______________________ (4.31) 

เมื่อเรานิยาม 

0 

geB0 

2m 

ω ≡ และ ω ≡ 1 ______________________ (4.32) 

1 

geB 

2m 

ขั้นตอนตอไปในการวิเคราะหเพื่อตองการทราบการเปลี่ยนแปลงของ state กับเวลา ก็คือการใช 

สมการ Schrödinger ดังในสมการ (4.13) เราเริ่มดวยการเขียน state ของระบบใหอยูในรูป 

superposition ของ + Z และ − Z 



Ψ () t = a() t + Z + b() 

t − Z ______________________ (4.33) 

ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ at () และ bt () เปนคาที่เปลี่ยนแปลงกับเวลา เพราะวา states Ψ นั้น 

เปลี่ยนแปลงกับเวลาดวยเชนกัน สมการ (4.33) ที่เขียนใหอยูในรูปของ ket สามารถเขียนใหอยูใน 

รูปของ vector ดังที่ไดกลาวใน Section 2.3 ไดวา 

⎡at 

() ⎤ 

Ψ() 

t ⎯⎯⎯⎯⎯→ 

± Z basis ⎢ 

bt () ⎥ 

⎣ ⎦ 

______________________ (4.34) 

เพื่อใหงายตอการวิเคราะหทางคณิตศาสตรในลําดับตอไป เราจะสมมุติวา ระบบ ณ เวลา t = 0 เปน 

สถานะที่ spin เปน + Z หรือ ในรูปของ vector จะไดวา 

Ψ(0) 

⎡1⎤ 

⎯⎯⎯⎯⎯→ 

± Z basis ⎢ 

0 ⎥ 

⎣ ⎦ 

______________________ (4.35) 

นอกจากนี้ โดยใช basis ของ ± Z เราสามารถเขียน Hamiltonian operator ในสมการ (4.31) ใหอยู 

ในรูปของ matrix ไดวา 

⎡ + Z ω1Sˆ cos( ) ˆ ˆ ˆ 

0 1 cos( ) 

ˆ 

x ωt + ω Sz + Z + Z ω Sx ωt + ω0Sz 

−Z 

H ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 

± Z basis ⎢ Z ˆ ˆ ˆ ˆ 

⎣ − ω1Sxcos( ωt) + ω0Sz + Z − Z ω1Sxcos( ωt) 

+ ω0Sz 

−Z 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

ดังนั้น 

⎡ ω0 ω1cos( ωt) 

⎤ 

H = ⎢ 

2 ω1cos( ωt) 

−ω 

⎥ 

⎣ 

0 ⎦ 

______________________ (4.36) 

จาก Hamiltonian ในรูปของ matrix ดังในสมการ (4.36) และ จาก state ในรูปของ vector ดังสมการ 

(4.34) เราสามารถเขียน Schrödinger equation จากสมการ (4.13) ไดวา 

 

2 ⎣ 

⎡ d ⎤ at () 

ω ω cos( ωt) at () ⎢ dt ⎥ 

t − ⎦⎣bt⎦ ⎢ d bt () ⎥ 

⎢⎣ 

dt ⎥⎦ 

⎡ 0 1 ⎤⎡ ⎤ 

⎢ i 

ω1cos( ω ) ω 

⎥⎢ = ⎢ ⎥ 

0 () 

⎥ 

______________________ (4.37) 



สมการขางตนเปน differential equation ซึ่งมี initial condition ดังในสมการ (4.35) เพื่อใหงายตอ 

การหาผลเฉลยทางคณิตศาสตร เราจะวิเคราะหเฉพาะในกรณีของ resonance กลาวคือ กรณีที่ 

= ซึ่งมีผลเฉลยคือ 

ω ω 0 

⎡ ω1t 0 2 

cos( ) e 

−iω 

t ⎤ 

+ 

⎡at 

() ⎤ ⎢ 4 ⎥ 

⎢ 

bt () 

⎥ = ⎢ ⎥ 

⎣ ⎦ ⎢ ω1t 

+ iω0t 

2 

−isin( ) e ⎥ 

⎢⎣ 

4 ⎥⎦ 

______________________ (4.38) 

แบบฝกหัด 4.7 จงพิสูจนวา at () และ bt () ในสมการ (4.38) ทําใหสมการ (4.37) เปนจริง 

(โดยประมาณ) 

บอกใบ: cos( ω ) 

+ 2iω 

0 t 

+ iω0t 1+ 

e 1 

0t e 

2 2 

ω ω 

= ≅ ถา 0 1 

ในที่สุดเราก็ได state ของระบบ ณ เวลาใดๆ ซึ่งอาจจะเปลี่ยนการเขียนในรูปแบบของ vector ใน 

สมการ (4.38) ใหเปนรูปของ ket ไดวา 

ω t 

ω t 

4 4 

1 − iω0t 2 1 + iω0t 

2 

Ψ () t = cos( ) e + Z −isin( ) e − Z ________________ (4.39) 

ทั้งนี้เราจะตองไมลืมวา สถานะของระบบในสมการ (4.39) เปนผลเฉลยเฉพาะกรณีที่เกิด resonance 

( ω ω0 

= ) และ สถานะเริ่มตนของระบบอยูที่ ( t 0) 

Ψ = = + Z 

มาถึงขั้นนี้ เราสามารถวิเคราะหหาความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ + Z ซึ่งสามารถ 

คํานวณไดจาก 

2 2 ω 

() cos ( 

1t 

+ Z Ψ t = ) ________________ (4.40) 

4 

และในทํานองเดียวกัน probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ − Z 

2 2 ω 

() sin ( 

1t 

−Z 

Ψ t = ) ________________ (4.41) 

4 



การเปลี่ยนแปลงของสถานะดังกลาว สามารถทําความเขาใจไดงายๆจากภาพ 4.6 

ความนาจะเปน 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

เวลา 

+ 

Z 

Ψ 

( 

t 

) 

− 

Z 

Ψ 

( 

t 

) 

= 

cos 

ω 

1 

( 

4 

2 2 

t 

= 

sin 

ω 

1 

( 

4 

2 2 

t 

ภาพ 4.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงของระบบ ที่มีการสั่นไปมาขึ้นกับเวลาของ spin จาก 

+ Z ⇔ − Z 

) 

) 

จากภาพ 4.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงของ spin ที่มีการสั่นไปมาเมื่อเวลาผานไป จากกราฟจะสังเกต 

วาเมื่อเวลา t = 0 probability ที่จะพบอนุภาคในสถานะ + Z มีคาเปน 1 หรือ 100% ที่เปนเชนนี้ก็ 

สอดคลองกับเงื่อนไปเริ่มตนที่เรากําหนดให อนุภาคอยูในสถานะ + Z เมื่อเวลา t = 0 

เมื่อเวลาผานไปเพียงเล็กนอย สนามแมเหล็กในทิศ B 1 cos( ωt) 

i มีผลทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงของ 

ระบบ จาก + Z ⇒ − Z ซึ่งจะสังเกตไดจาก probability ที่อนุภาคจะคงอยู ณ สถานะ + Z มีคา 

2π 

ลดลง และเปนศูนยในที่สุดเมื่อเวลา t = ซึ่ง ณ เวลาดังกลาวนี้เอง ระบบเปลี่ยนมาเปนสถานะ 

− Z โดยสิ้นเชิง 

 

ω 

1 

ในทางปฏิบัติ สนามแมเหล็ก B 1 = B 1 cos( ωt) 

i สามารถสรางไดโดยการสงคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ 

สามารถปรับความถี่ได เขาไปในระบบ ถาตองการใหเกิดการ resonance จําเปนจะตองให 

geB 

ω = ω ≡ 

0 

ซึ่งในกรณีของอนุภาค proton จะมีความถี่อยูประมาณ 42.5 MHz ตอความเขมของ 

0 

2m 

สนามแมเหล็กหลัก 1 Tesla 

ในกรณีที่ความถี่ของสนามแมเหล็กรองมีคาตางออกไปจากความถี่ resonance กลาวคือ ω ≠ ω0 

ความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ − Z ณ เวลาใดๆ ดังในสมการ (4.41) มีความซับซอน 

มากขึ้น probability ในกรณีดังกลาวคนพบเปนครั้งแรกโดย I.I. Rabi Phys. Rev. 1939. 



2 

2 2 

Z 2 1 /4 2 ( 0 ) 1 /4 

() t ω 

ω − ω + ω 

− Ψ = 

sin ( ) 

2 2 

( ω 2 

0 − ω) + ω1 

/4 

t 

___________ (4.42) 

จะสังเกตเห็นวา probability ดังในสมการ (4.42) มีการ oscillate ดังในสมการ (4.41) แตทวา 

amplitude ของการสั่นเปนฟงชันกของ ω ดังแสดงในภาพ 4.7 

2 

ω 

/ 

4 

1 

2 

( ω 

− ω 

) 

0 

2 

+ ω 

/ 

4 

1 

Rabi Formula (I.I. Rabi 1939) 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

ω 0 

ภาพ 4.7 แสดงความนาจะเปนที่ระบบจะมีการเปลี่ยนสถานะจาก + Z ⇒− Z ภายหลังจากเวลา 

ผานไปครบหนึ่งรอบ จะสังเกตเห็นวา probability ดังกลาวจะมีคามากที่สุดเมื่อ ω = ω0 

และจะ 

ลดลงตามลําดับเมื่อความถี่มีการเบี่ยงเบนออกจาก resonance frequency 

ω 

เนื้อหาของ Magnetic Resonance ดังที่ไดกลาวใน Section 4.4 นี้ มี application ที่สําคัญยิ่งในทาง 

การแพทย คือ MRI (Magnetic Resonance Imaging) หลักการทํางานและรายละเอียดของ MRI อยู 

นอกเหนือจากขอบเขตของหนังสือเลมนี้ อยางไรก็ตาม หลักการทํางานสังเขปก็คือการออกแบบ 

สนามแมเหล็กหลัก B 

0 ( xy , ) ใหเปนฟงชันกที่ขึ้นกับตําแหนง ดังนั้นเมื่อระบบมีการเปลี่ยน 

สถานะของ spin ก็จะปลอย (emit) คลื่นแมเหล็กไฟฟาออกมาที่ความถี่ตางกันเล็กนอย ขึ้นอยูกับ 

ตําแหนง ( x, y ) และเมื่อเราทําการสรางแผนที่แสดงความสัมพันธระหวางความเขมของคลื่น 

แมเหล็กไฟฟาที่ปลอยออกมา กับตําแหนงที่เปนแหลงกําเนิดของคลื่นนั้นๆ ก็จะเกิดเปนภาพขึ้น 

4.5 Ammonia Maser 

ที่ผานมาเราไดนําระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ที่เขียนโดยใชภาษาของ bra-ket และ matrix 

เขามาชวยในการแกปญหา ซึ่งแตกตางจากสิ่งที่นักศึกษาไดเรียนรูใน quantum mechanics เบื้องตน ที่ 

มุงเนนในเรื่องของ wave function เปนหลัก 



การวิเคราะห quantum mechanics โดยใช matrix มีขอดีคือทําใหเราสามารถวิเคราะหระบบที่มีความ 

ไมตอเนื่อง ยกตัวอยางเชนระบบที่มี basis state อยูสอง state ดังที่ไดแสดงในตัวอยางในเรื่อง spin 

ของอิเล็กตรอน ซึ่งมี basis state คือ + Z และ − Z 

อยางไรก็ตาม ระบบที่มี basis state อยูสองสถานะมิไดจํากัดอยูแตเพียง spin ของอนุภาคมูลฐานเพียง 

เทานั้น ดังจะไดยกตัวอยางในเรื่องของ ammonia maser ซึ่งเกี่ยวของกับโครงสรางของโมเลกุล 

NH หรือ ammonia 

3 

H 

N 

โมเลกุล Ammonia NH 

3 

H 

ภาพ 4.8 แสดงโครงสรางทางเคมี 

ของโมเลกุล ammonia อะตอม 

ของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูใน 

ระนาบเปนลักษณะสามเหลี่ยมดาน 

เทา 

H 

1 2 

ในขณะที่อะตอมของ nitrogen 

สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน 

หรือ ดานลางของฐาน 

โมเลกุลของ ammonia ประกอบดวย nitrogen อะตอม ซึ่งมีพันธะเคมีกับ hydrogen อะตอมอีก 3 

อะตอม โครงสรางของ NH 3 จะปรากฏวามีอะตอมของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูในระนาบเปน 

ลักษณะสามเหลี่ยมดานเทา ดังแสดงในภาพ 4.8 ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ 

ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห เราเรียกสถานะของระบบ 

ที่มีตําแหนงของ nitrogen อะตอมตางกันนี้วา 

1 = สถานะที่ nitrogen atom อยูดานบน 

2 =สถานะที่ nitrogen atom อยูดานลาง 

เพื่อที่จะวิเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบที่มีสถานะที่ไมตอเนื่องดังกลาว เราเริ่ม 

ดวยการเขียน Hamiltonian ใหอยูในรูปของ matrix 



⎡ 1 Hˆ 

1 1 Hˆ 

2 

Hˆ 

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 

1,2 basis ⎢ 2 Hˆ 

1 2 Hˆ 

⎣ 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

_________________________ (4.43) 

เราเริ่มดวยการหา matrix element 1 H ˆ 1 และ 2 H ˆ 2 ในสมการ (4.43) กอน ดวยการสังเกตวา 

เทอม 1 H ˆ 1 สามารถตีความไดวาเปน expectation value ของ พลังงานเมื่อกําหนดใหระบบอยูใน 

สถานะ 1 

เนื่องจากระบบมีความสมมาตร เราบอกไดวา state 1 และ state 2 ควรจะมีพลังงานเทากัน ซึ่ง 

กําหนดใหมีคาเทากับ E 0 เพราะฉะนั้น 

1 Hˆ 

1 2 Hˆ 

2 E 

= = _________________________ (4.44) 

0 

สําหรับ เทอม 1 H ˆ 2 และ 2 H ˆ 1 ในสมการ (4.43) นั้น เราสามารถตีความได โดยใช time 

evolution operator ในสมการ (4.3) เขาชวย กลาวคือ เราสามารถเขียน Hamiltonian ใหอยูในรูป 

infinitesimal time evolution operator ไดวา 

ˆ i 

i 

H =− + Uˆ( dt ) 

dt dt 

_________________________ (4.45) 

เพราะฉะนั้น 

ˆ i 

i 

1 H 2 = 1 − + Uˆ( dt) 2 

dt dt 

i 

i 

=− 12 + 1 Udt ˆ ( )2 

dt dt 

_________________________ (4.46) 

ถาเรากําหนดให basis state 1 และ 2 นั้น orthogonal กลาวคือ 12 = 0 จะไดวา 

1 Hˆ 

2 1 Uˆ( dt) 2 

∝ _________________________ (4.47) 

ทางขวามือของสมการ (4.47) มีความหมายวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูใน state 2 และเมื่อเวลาผาน 

ไปเปนเวลา dt (นั่นคือความหมายของ time evolution operator) ถามวา probability amplitude ที่ 

ระบบจะเปลี่ยนสถานะมาอยูใน state 1 มีคาเปนเทาใด 



กลาวโดยสรุป เทอม 1 H ˆ 2 มีความสัมพันธกับความนาจะเปนที่ระบบจะเปลี่ยนสถานะจาก 

2 ⇒ 1 เมื่อเวลาผานไป แตเนื่องจากเรายังไมทราบรายละเอียดที่ชัดเจนในทางคณิตศาสตรที่ 

เกี่ยวของกับโมเลกุล ammonia ในขั้นนี้ จึงทําไดแตเพียงนิยามให 1 H ˆ 2 มีคาเปนคาคงที่ 

เฉพาะตัวอันหนึ่ง เรียกวา 1 Hˆ 

2 =− A 

เพราะฉะนั้น Hamiltonian matrix ดังในสมการ (4.43) มีคาเปน 

ˆ 

⎡ E0 

H ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 

1,2 basis ⎢ 

⎣−A 

−A⎤ 

E ⎥ 

0 ⎦ 

_________________________ (4.48) 

เพื่อที่จะหา eigen energy หรือ eigenvalue ของ Hamiltonian ดังกลาว เราเขียนสมการใหอยูในรูปของ 

eigen equation ดังตอไปนี้ 

Ĥ 

Ψ = E Ψ _________________________ (4.49) 

หรือ ในรูปของ matrix -vector 

⎡E0 

−A⎤ 

 

⎢ c = Ec 

−A 

E 

⎥ 

⎣ 0 ⎦ 

_________________________ (4.50) 

สมการ eigen ดังที่แสดงในสมการ (4.50) ซึ่งเปน matrix ขนาด 2x2 จะปรากฏวามีผลเฉลยที่เรียกวา 

eigenvector c และ eigenvalue E อยูทั้งสิ้น 2 ผลเฉลยดวยกัน ดังที่ไดทบทวนมาแลวใน Section 

2.3.1 ของบทที่ 2 

คําตอบซึ่งเปน eigenvector และ eigenvalue ของสมการ (4.50) ก็คือ 

⎡ 1 ⎤ 

+ 

 

⎢ 

2 

⎥ 

c1 = ⎢ ⎥ , EI 

= E0 

− A 

⎢ 1 ⎥ 

⎢ 

+ 

2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡ 1 ⎤ 

+ 

 

⎢ 

2 

⎥ 

c = , E = E + A 

⎢ 1 ⎥ 

⎢ 

− 

2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

และ 2 

⎢ ⎥ 

II 0 

___________ (4.51) 

เนื่องจาก matrix ที่เรากําลังหาผลเฉลยของสมการ eigen อยูในขณะนี้ เปน Hamiltonian matrix เรา 

เรียก E1, 

E 2 วาเปน eigen energy และเรียก c 1, 

c 

2 วาเปน eigenstate 



และนี่ก็เปนครั้งแรกที่เราไดมีโอกาสใช matrix mechanics ในการหาคา eigenvector และ eigenvalue 

ของ Hamiltonian operator ซึ่งเปนโอกาสที่ดีที่เราจะไดทําความเขาใจใหลึกซึ้งในลําดับตอไป 

Eigenstate และ Eigenvalue ของ Hamiltonian เชิงลึก 

ในตอนตนของเนื้อหา เราไดกลาวถึง time evolution operator U ˆ ซึ่งเปน operator ที่ทําหนาที่ในการ 

กระทํากับ state ใดๆ และทําให state นั้นๆเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ทั้งนี้ ถาพิจารณาในชวงเวลา t 

ที่ผานไป เราจะสามารถเขียน time evolution operator U ˆ ใหอยูในรูปแบบทางคณิตศาสตรที่สัมพันธ 

กับ Hamiltonian operator Ĥ ดังสมการ (4.4) ซึ่งก็คือ 

Ut ˆ () 

iHˆ 

t 

e − 

= ________________________ สมการ (4.52) 

เพราะฉะนั้น ถาเรากําหนดใหระบบที่อยูในสถานะ ε เปน eigenstate ของ Hamiltonian operator 

Ĥ ผลที่ตามมาก็คือ สถานะ ε จะเปนสถานะที่เสถียร ดวยเหตุที่ time evolution operator U ˆ ไม 

สามารถทําให สถานะ ε เปลี่ยนแปลงไปกับเวลาไดเลย 

เพื่อที่จะใหนักศึกษาเขาใจถึงคุณสมบัติในแงนี้ เราเริ่มดวยการนิยาม 

Ĥ 

ε = E ε ________________________ สมการ (4.53) 

และเมื่อนํา operator ในสมการ (4.52) เขามากระทํากับ state ε จะได 

iHˆ 

t 

− 

⎧ ⎫ 

Ut ˆ ⎪ ⎪ 

() ε = ⎨e 

⎬ ε 

⎪ ⎪ 

⎩ ⎭ 

________________________ สมการ (4.54) 

สังเกตวา operator ทางขวามือของสมการ (4.54) นั้น เขียนอยูในลักษณะของ exponential ฟงชันก ซึ่ง 

ยากตอการทําความเขาใจในการที่จะนําเอา exponential ฟงชันกดังกลาวเขาไปกระทํากับสถานะ ε 

เพราะฉะนั้น เราสามารถเขียน operator ทางขวามือเสียใหมใหอยูในรูปของ polynomial โดยใช 

Taylor expansion 



⎧ 

2 3 

ˆ ˆ ˆ ⎫ 

ˆ ⎪ ⎛iH t ⎞ ⎛iH t ⎞ ⎛iH t ⎞ ⎪ 

Ut () ε = ⎨ 1 − ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎬ 

ε 

⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 

⎩ 

⎠ ⎪⎭ 

⎧ 

2 3 

⎪ ⎛it⎞ ˆ ⎛it⎞ ˆ 2 ⎛it⎞ 

⎫ 

ˆ3 

⎪ 

= ⎨1 

− ⎜ ⎟H + ⎜ ⎟ H − ⎜ ⎟ H + ⎬ 

ε 

⎪ ⎝ 

⎩ 

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ 

____________ สมการ (4.55) 

จากนั้นใชสมบัติการกระจายของ operator เพื่อกระจาย polynomial แตละเทอม ใหตางก็เขาไป 

กระทํากับ state ε 

2 3 

ˆ ⎛it⎞ ˆ ⎛it⎞ ˆ 2 ⎛it⎞ 

ˆ3 

Ut () ε = 1ε − ⎜ ⎟Hε + ⎜ ⎟ H ε − ⎜ ⎟ H ε + 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

_____ สมการ (4.56) 

อาศัยสมบัติความเปน eigenstate ของ Ĥ ดังในสมการ (4.53) ทําใหสมการขางตนเปลี่ยนรูปเปน 

2 3 

ˆ ⎛it⎞ ⎛it⎞ () 1 

2 ⎛it⎞ 

3 

Ut ε = ε − ⎜ ⎟Eε + ⎜ ⎟ E ε − ⎜ ⎟ E ε + 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

_____ สมการ (4.57) 

จะสังเกตไดวา ทุกๆเทอมทางขวามือของสมการ (4.57) นั้น ลวนแลวแตอยูในรูปของ state ε คูณ 

อยูกับตัวเลขธรรมดา เพราะฉะนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบเอาตัวเลขเหลานี้เขามารวมกันเปน 

ผลบวก ซึ่งจะไดวา 

⎧ 

2 3 

ˆ ⎪ ⎛it⎞ ⎛it⎞ () 1 

2 ⎛it⎞ 

⎫ 

3 ⎪ 

Ut ε = ⎨ − ⎜ ⎟E+ ⎜ ⎟ E − ⎜ ⎟ E + ⎬ 

ε 

⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 

⎩ 

⎠ ⎪⎭ 

⎧ 

2 3 

⎪ ⎛iEt ⎞ ⎛iEt ⎞ ⎛iEt 

⎞ 

⎫⎪ 

= ⎨1 

− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎬ 

ε 

⎪ ⎝ 

⎩ 

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ 

_____ สมการ (4.58) 

เทอมในวงเล็บของสมการขางตน สามารถลดรูปใหอยูในรูปของ exponential ฟงชันกไดวา 

iEt 

− 

e 

Ut ˆ () ε = ε _________________ สมการ (4.59) 

สมการ (4.59) แสดงใหเห็นชัดเจนวา เมื่อ time evolution operator ˆ () Ut กระทํากับสถานะ ε 

ผลลัพธที่ไดก็ยังเปนสถานะ เชนเดิม ε (คูณดวยคาคงที่ ซึ่งไมมีนัยยะอะไรเปนสําคัญ) หรือกลาว 



อีกนัยหนึ่ง สถานะ ε ซึ่งเปน eigenstate ของ Hamiltonian นั้น เปนสถานะที่เสถียร และ ไม 

เปลี่ยนแปลงกับเวลานั่นเอง 

ในวิชา quantum mechanics เบื้องตน เราใชเวลาสวนใหญในการแกสมการ Schrödinger เพื่อหา 

eigenstate ของระบบ ยกตัวอยางเชน ระบบของ hydrogen อะตอม ซึ่งปรากฏวามี eigenstate ที่สื่อ 

ใหเห็นถึงการกระจายตัวของกลุมหมอกอิเล็กตรอนเปนรูป ทรงกลม (s-orbital) หรือ รูป dumbbell 

(px, py, px orbital) ที่เปนเชนนี้มิไดหมายความวา อิเล็กตรอนไมสามารถที่จะกระจายตัวเปนกลุม 

หมอกรูปทรงอื่นๆเชน รูปหมวกกันน็อก หรือ รูปมะมวงได 

แทที่จริงแลวกลุมหมอกของอิเล็กตรอนภายในอะตอมของ hydrogen จะปรากฏอยูในรูปใดก็ได 

เพราะไมมีกฎขอใดของ quantum mechanics ที่จะจํากัดสถานะของระบบใหอยูในรูปแบบใดแบบ 

หนึ่ง 

แตที่เราใหความสําคัญเปนพิเศษกับสถานะของระบบที่เปน eigenstate ก็เพราะวา มันเปนสถานะที่ 

เสถียร ดังนั้นจึงเปนสถานะที่มีโอกาสที่จะพบบอยที่สุดในธรรมชาตินั่นเอง 

วกกลับมาที่ eigenstate ของโมเลกุล ammonia จากสมการ (4.51) เราพบวา ammonia มี eigenstate 

อยูสองสถานะดวยกันคือ 

และ 

1 1 

1 2 

2 2 

I = + ___________________ (4.60) 

1 1 

1 2 

2 2 

II = − ___________________ (4.61) 

เพื่อความสะดวก เราเรียก eigenstate ทั้งสองนี้วา I และ II ตามลําดับ eigenstate ทั้งสองดังใน 

สมการ (4.60) และ (4.61) แสดงใหเห็นวา สถานะที่อะตอมของ nitrogen อยูดานบน ( 1 ) นั้นไมได 

เปนสถานะที่เสถียร ที่ไมเสถียรก็เพราะดวยเหตุผลทางคณิตศาสตรที่วา 1 มิไดเปน eigenstate 

ของ Hamiltonian matrix และดวยเหตุผลทางฟสิกสที่วา 1 มีโอกาสที่จะเปลี่ยนไปเปน 2 

ยกตัวอยางเชน อะตอมของ nitrogen มีโอกาสที่จะเคลื่อนที่จะดานบนลงมาขางลางนั่นเอง 

สถานะ I และ II นั้น ตางก็เปน eigenstate ของ Ĥ ทําใหมันไมเปลี่ยนแปลงกับเวลา 

สถานะทั้งสองดังกลาว เปนสถานะที่เราไมอาจจะตัดสินใจไดวา nitrogen อะตอม อยูดานบนหรือ 



ดานลาง หรือเรียกอีกอยางหนึ่งวาเปนสถานะผสม ซึ่งในทางคณิตศาสตรเราใชคําวา superposition 

ของ state 

นอกจากนี้ สถานะ I และ II มีพลังงานเทากับ E0 

− A และ E0 

+ A ตามลําดับ สงผลใหเมื่อ 

ระบบมีการเปลี่ยนแปลงระหวางสถานะทั้งสอง จะมีการปลดปลอยคลื่นแมเหล็กไฟฟาซึ่งมี 

พลังงานเทากับผลตางของพลังงาน hv = E − E = 2A 

II 

แบบฝกหัด 4.8 จากการทดลองพบวา คลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ปลอยออกมาจากการเปลี่ยนแปลง 

สถานะมีความยาวคลื่นเทากับ จงใหความสัมพันธในสมการ (4.47) เพื่อคํานวณหาความ 

1 

1 cm 

4 

นาจะเปนตอหนึ่งหนวยเวลา ที่ระบบจะมีการเปลี่ยนสถานะจาก 2 ⇒ 1 (เรียกกันโดยทั่วไปวา 

transition rate) 

I 

Dynamics ของโมเลกุล Ammonia 

สมมุติวา ณ เวลา t = 0 เรากําหนดใหอะตอมของ nitrogen อยู ณ ตําแหนงดานบนของระนาบที่ 

ประกอบกันขึ้นจาก hydrogen อะตอมทั้งสาม หรืออีกนัยหนึ่ง 

Ψ (0) = 1 ___________________ (4.62) 

ในสภาวะเชนนี้ เราอาจตองการที่จะทราบวา state ของระบบดังกลาว เปลี่ยนแปลงไปเชนใดเมื่อเวลา 

ผานไป โดยใช time evolution operator เราสามารถคํานวณหา state ณ เวลาใดๆไดวา 

iHˆ 

t 

Ψ () t = Uˆ 

() t Ψ (0) = e − 

Ψ(0) 

___________________ (4.63) 

และจากสมการ (4.60) - (4.61) เราสามารถเขียน 1 ใหอยูในรูป superposition ของ I และ II 

ไดวา 

1 

1 1 

= I + II ___________________ (4.64) 

2 2 

เพราะฉะนั้น สมการ (4.63) กลายเปน 



iHˆ 

t 

− 

 

⎧ 1 1 ⎫ 

Ψ () t = e ⎨ I + II ⎬ 

⎩ 2 2 ⎭ 

iHˆ 

t 

− 

 

iHˆ 

t 

− 

 

1 1 

= e I + e II 

2 2 

___________________ (4.65) 

และโดยอาศัยสมบัติของสถานะ I และ II ที่ตางก็เปน eigenstate ของ Ĥ จะไดวา 

iEI 

t iEII 

t 

− 

− 

1 1 

Ψ () t = e I + e II 

2 2 

iE ( 0− At ) iE ( 0+ 

At ) 

1 − 

1 − 

= e I + e II 

2 2 

___________________ (4.66) 

เมื่อทราบสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ดังแสดงในสมการ (4.66) เราก็สามารถคํานวณความนาจะ 

เปนที่จะพบวาอะตอม nitrogen อยูดานบนของฐานสามเหลี่ยม ซึ่งก็คือ 

2 2 ⎛ A ⎞ 

1 Ψ ( t) = cos ⎜ t⎟ 

⎝ ⎠ 

___________________ (4.67) 

แบบฝกหัด 4.9 จงพิสูจนสมการ (4.67) 

N 

1 

โมเลกุล สามารถเปลี่ยนสถานะจาก 1 ⇔ 

2 

NH 3 

H 

H 

cos 

2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

A ⎞ t 

⎟ 

 

⎠ 

1 

0.8 

t 

π 

= 

2 

A 

H 

0.6 

0.4 

2 

timet 

ภาพ 4.9 แสดงการเปลี่ยนแปลงตําแหนงของอะตอมของ nitrogen เมื่อเวลาผานไป สมมุติใหเมื่อ 

เวลา t = 0 อะตอมของ nitrogen อยูที่ดานบนของฐาน จะไดวา probability ที่จะพบ nitrogen 

อะตอมอยู ณ ดานบนนั้น เปนฟงชันกของเวลา 

0.2 



จากการทดลองพบวา ในกรณีของโมเลกุล ammonia ความถี่ที่ nitrogen อะตอมมีการสั่นขึ้นลง 

ระหวางดานบนและลางมีคาเทากับ 24GHz 

Maser 

ในขั้นตนของการวิเคราะหโมเลกุลของ ammonia เราใชความสมมาตรของระบบในการอธิบายวา 

พลังงานของสถานะ 1 และ 2 นั้นมีคาเทากัน คือ E ˆ ˆ 

0 = 1 H 1 = 2 H 2 ใน Section 4.5.3 

นี้เราจะมาพิจารณาระบบที่มีความซับซอนมากขึ้น และจะสงผลใหระดับพลังงานของทั้งสองสถานะ 

ดังกลาวมีความแตกตางกัน 

โมเลกุล Ammonia 

NH 3 

ในสนามไฟฟา 

dipole moment 

 

μ 

e 

- 

+ 

E + 

- 

 

μ 

e 

dipole moment 

1 2 

ภาพ 4.10 เนื่องจากการกระจายตัวของอิเล็กตรอนภายใน ammonia โมเลกุล ทําใหเกิดความไม 

สม่ําเสมอของประจุไฟฟาขึ้น เกิดเปนประจุลบสุทธิไปกระจุกตัวอยูบริเวณ nitrogen อะตอม และ 

เกิดเปนประจุบวกสุทธิไปกระจุกตัวอยูบริเวณ hydrogen อะตอม 

ความไมสม่ําเสมอลักษณะดังกลาวนี้ทําใหเกิด electric dipole moment μe 

ภาพ 4.10 แสดงลักษณะของ electric dipole moment 

μe 

ที่เกิดขึ้นโดยธรรมชาติภายใน ammonia 

โมเลกุล ทิศทางของ 

μe 

ขึ้นอยูกับตําแหนงของ nitrogen อะตอม หรืออีกนัยหนึ่ง ขึ้นอยูกับวา 

ระบบอยูในสถานะ 1 หรือ 2 นั่นเอง 



เมื่อเราปอนสนามไฟฟา E ภายนอกเขาไปในระบบยอมจะทําใหเกิดอันตรกริยาระหวาง electric 

 

dipole moment และ สนามไฟฟา ซึ่งมี interaction energy คือ −μe 

⋅E 

เมื่อเปนเชนนี้ Hamiltonian matrix ดังในสมการ (4.48) ก็ยอมตองเปลี่ยนไป ดังตอไปนี้ 

⎡E 

Hˆ 

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 

1,2 basis ⎢ 

⎣ 

0 

 

+ μ E −A 

e 

−A 

E 

0 

−μ 

e 

⎤ 

⎥ 

E ⎥ 

⎦ 

__________________ (4.68) 

สมการ (4.68) เปน Hamiltonian matrix ของ ammonia โมเลกุลภายใตอิทธิพลของสนามไฟฟา จะ 

สังเกตเห็นวา พลังงานของสถานะ 2 มีคาลดลงจากเดิม μe 

E เนื่องจาก electric dipole moment มี 

ทิศทางเดียวกันกับสนามไฟฟาภายนอก ในขณะที่พลังงานของสถานะ 1 มีคาเพิ่มขึ้นจากเดิม 

μ E เนื่องจากมีทิศสวนทางกับสนามไฟฟาดังกลาว 

e 

เพื่อที่จะหาระดับพลังงานของระบบ เราสามารถหาผลเฉลยของ eigenvalue ของ matrix ขนาด 2x2 

ในสมการ (4.68) ซึ่งจะไดวา eigen energy ของระบบก็คือ 

2 2 2 

0 μe 

E = E E + A 

∓ _________________________ (4.69) 

อยางไรก็ตาม เราสามารถที่จะประมาณระดับพลังงานในสมการ (4.69) ใหมีรูปแบบทางคณิตศาสตร 

ที่งายขึ้น โดยใชกลไกการประมาณคาที่เรียกวา Taylor expansion เพราะฉะนั้นจะไดวา 

E ≅ E A 

0 

μ 

2 

e 

E 

2A 

2 

∓ ∓ _________________________ (4.70) 



NH 3 

Maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission) 

แยกโมเลกุล ammonia เปนสองประเภท 

2 

μ 

∂ 

( ) e ∂ 

Fz 

=− E z =± 

( z) 

∂z A ∂z 

E 

I 

II 

wave cavity ที่ปรับความถี่ resonance ที่ 24GHz พอดี 

ภาพ 4.11 แสดงหลักการทํางานของ Maser ที่สามารถสรางคลื่นแมเหล็กไฟฟาความเขาสูง ได 

คลายๆกัน laser ที่เราคุนเคยกันดี เพียงแตคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ไดจาก Maser มีความถี่ 24GHz 

ดูผิวเผิน สมการ (4.70) เปนเพียงความสัมพันธระหวางพลังงานของระบบ และความเขมของ 

สนามไฟฟา E ที่ปอนเขาไปในระบบ อยางไรก็ตามความสัมพันธดังกลาว เปนหนึ่งในปจจัย 

สําคัญที่ทําให J.P. Gordon, H. J. Zeiger, และ C.H. Townes [Phys. Rev. 99, 1264-1274 (1955)] ได 

ประสบความสําเร็จในการสรางสิ่งที่เรียกวา Maser ซึ่งยอมาจาก (Microwave Amplification by 

Stimulated Emission) โดยที่ตอมาในป 1964 Townes ไดรับรางวัลโนเบลอันเนื่องมาจากงานของ 

เขาที่เกี่ยวของกับ Maser และ Laser 

ภาพ 4.11 แสดงหลักการทํางานของ Maser ซึ่งประกอบดวย beam ของ ammonia โมเลกุล ที่แตเดิมมี 

ทั้งที่อยูในสถานะ I และ II ดังแสดงดวยวงกลมสีแดงและสีน้ําเงินตามลําดับ จากนั้น beam 

ของ ammonia ผานเขาสูบริเวณที่ใชเปนตัวแยก state ทั้งสองออกจากกัน 

จากสมการ (4.70) ถาเราออกแบบใหความเขมของสนามไฟฟาเปนฟงชันกที่เปลี่ยนไปตามแกน z 

 

กลาวคือ E= 

E( z) 

จะไดวา พลังงานของ ammonia โมเลกุลก็ยอมตองขึ้นกับพิกัดในแกน z ที่ 

โมเลกุลนั้นๆปรากฏอยู 

Ez ( ) ≅ E A 

0 

2 

e 

μ E ( z) 

2A 

2 

∓ ∓ _________________________ (4.71) 

และเมื่อพลังงานเปนฟงชันกของตําแหนง เราสามารถคํานวณแรงที่กระทําตอโมเลกุลของ ammonia 

ไดวา 



2 

∂ μ 

( ) e ∂ 

Fz 

=− E z =± ( z) 

z A z 

∂ ∂ E _________________________ (4.72) 

จากเครื่องหมาย ± ในสมการ (4.72) จะเห็นวาแรงที่กระทําตอโมเลกุล ammonia ที่อยูในสถานะ I 

จะมีทิศตรงกันขามกับของสถานะ II เพราะฉะนั้น beam ของ ammonia โมเลกุลจะแยกออกเปน 

สองสายเนื่องจาก gradient ของสนามไฟฟาที่ปรากฏอยู 

ในภาพ 4.11 เมื่อโมเลกุลของ ammonia ผานออกมาจากสวนที่ทําหนาที่แยก beam เขามาสูบริเวณที่ 

ไมมีสนามไฟฟา Gordon, Zeiger, และ Townes ออกแบบใหโมเลกุล ammonia ในสถานะ II ซึ่ง 

มีพลังงานเทากับ EII 

= E0 

+ A มารวมตัวกันอยูในภาชนะที่เรียกวา "resonance wave cavity" ที่ 

ออกแบบรูปรางและขนาดของภาชนะใหเอื้อตอการปลดปลอยคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ 24 GHz 

ซึ่งความถี่นี้เองเปนความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่มีพลังงานเทากับ Δ E = EII − EI 

สงผลใหโมเลกุลของ ammonia ที่โดนแยกออกมาใหรวมตัวกันใน resonance wave cavity และ แต 

เดิมอยูในสถานะ II เกิดการเปลี่ยนสถานะโดยฉับพลันและโดยพรอมเพรียงกัน จาก 

II ⇒ I จึงเกิดเปนคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ 24 GHz ที่มีความเขมสูงปลดปลอยออกมา 

นักศึกษาจะสังเกตไดวา กลไกการทํางานของ Maser มีความคลายคลึงกับ Laser ที่นักศึกษาคุนเคยใน 

ชีวิตประจําวัน เพียงแตวา Maser เปลงคลื่นแมเหล็กไฟฟาในยานความถี่ของ microwave ในขณะที่ 

Laser อยูในยานของความถี่แสงนั่นเอง 

4.6 บทสรุป 

ในบทที่ 4 ที่วาดวย time evolution เราไดเริ่มรูจักกับ time evolution operator Ut ˆ () ที่เมื่อกระทํา 

กับสถานะใดๆของระบบ จะทําใหมันเปลี่ยนแปลงไปกับเวลา หรืออีกนัยหนึ่ง 

Ψ () t = Uˆ 

() t Ψ ( t = 0) 

เราสามารถที่จะเขียน operator Ut ˆ () ใหอยูในรูปที่สัมพันธกับ Hamiltonian ของระบบ ซึ่งก็คือ 

Ut ˆ () 

iHt ˆ 

e − 

= _________________________ (4.73) 



ความสัมพันธดังกลาวเปนเครื่องมือที่สําคัญยิ่งในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาเมื่อเราทราบ 

สถานะเริ่มตนของระบบ ซึ่งพอจะสรุปไดเปน 3 ขั้นตอนโดยสังเขปดังตอไปนี้ 

โจทย - สมมุติวาเราทราบ Hamiltonian ของระบบที่กําลังศึกษาวาเปน Ĥ และสมมุติตอไปอีกวาเรา 

ทราบสถานะของระบบเมื่อเวลาเริ่มตน Ψ ( t = 0) คําถามก็คือ ระบบจะมีการเปลี่ยนแปลงไป 

อยางไรในเวลาตอมา 

1. คํานวณหา eigenstate ε n และ eigen energy E n ทั้งหมดที่เปนไปไดของ Hamiltonian operator 

Ĥ หรืออีกนัยหนึ่ง ตองทําการหาผลเฉลยของสมการ Hˆ 

ε = E ε 

n n n 

2. กระจายสถานะเริ่มตน Ψ ( t = 0) ใหอยูในรูป superposition ของ eigenstate ในขอ 1 

Ψ ( t = 0) =∑ cn εn 

n 

โดยที่สัมประสิทธิ์ c n สามารถหาไดจาก cn 

≡ εn 

Ψ ( t = 0) 

3. โดยอาศัยรูปแบบของ time evolution operator ในสมการ (4.4) และอาศัยวา ε n เปน eigenstate 

ของ Ĥ จะไดวา 

หรือ 

iHt ˆ 

− 

 

Ψ () t = e Ψ ( t = 0) 

iHt ˆ 

− 

 

= e ∑cn 

εn 

iEnt 

− 

Ψ () t = e ∑cn 

εn 

n 

n 

_________________________ (4.74) 

โดยที่นักศึกษาจะสังเกตเห็นวา ตัวอยางที่ไดกลาวมาขางตน ไมวาจะเปน spin precession ของ 

อิเล็กตรอน หรือ ammonia maser ก็ดี ลวนแลวแตเปนการนําผลของสมการ (4.74) มาประยุกตใช 

ในการวิเคราะหทั้งสิ้น 



4.7 ปญหาทายบท 

แบบฝกหัด 4.10 พิจารณาอนุภาคที่มี spin = 1 โดยใช eigenstate ของ S ˆz เปน basis state 

( jm∈ , { 1, + 1,1,0 ,1, − 1} 

) จงเขียน eigenstate ทั้งสาม ของ S ˆy ใหอยูในรูปของ 

superposition ของ basis state ดังกลาว 

gq S 

2m 

แบบฝกหัด 4.11 spin-1 particle ซึ่งมี magnetic momentum เทากับ μ = ˆ วางอยูทามกลาง 

 

= k 

สนามแมเหล็ก B B0 

eigenvalue จงหาวา 

ณ เวลา t = 0 ระบบอยูในสถานะ ที่เปน eigenstate ของ ˆy 

S ˆx , S ˆy , และ S ˆz เปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไร 

S และมี 

แบบฝกหัด 4.12 จงแกสมการ (4.38) โดยตรงเพื่อหาผลเฉลยของ at () และ bt () 

i 2 

บอกใบ - (i) ใชวิธีเปลี่ยนตัวแปรโดยกําหนดให () () 0t 

at = cte − ω 

i 2 

และ () () 0t 

bt = dte + ω 

จากนั้น เขียนสมการใหอยูในรูปของ ct () และ dt () (ii) จากนั้นกําหนดให ω = ω0 

เพื่อก็จะได 

สมการอนุพันธอันดับหนึ่ง (iii) เปนใหเปนสมการอนุพันธอันดับสองแลวแกสมการ 

แบบฝกหัด 4.13 กําหนดให Hamiltonian matrix ของระบบที่มี basis state 3 state ดวยกันคือ 

1,2,3 มีคาเทากับ 

H 

⎡E0 

0 A ⎤ 

= 

⎢ 

0 E1 

0 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 

A 0 E0 

⎥⎦ 

a) จงหาความนาจะเปนที่ระบบจะเปลี่ยนจาก 1 ⇒ 2 และ 2 ⇒ 3 เมื่อเวลาผานไป 

b) ถา ณ เวลา t = 0 พบวา Ψ ( t = 0) = 2 จงหา Ψ () t 

c) ถา ณ เวลา t = 0 พบวา Ψ ( t = 0) = 3 จงหา Ψ () t 



This page is intentionally left blank

Time Evolution - ภาควิชาฟิสิกส์

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?