Polinomu algebra 5.lekcija

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE
Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte
Matemātikas katedra
Bakalaura studiju programma “Matemātika”
Studiju kurss
Polinomu algebra
5.lekcija
Docētājs: Dr. P. Daugulis
2007./2008.studiju gads
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
1

Saturs
1. Faktorizācija virs C un R 4
1.1. C algebriskās īpaˇsības . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Polinomu faktorizācija virs R . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Faktorizācija virs Z un Q 9
2.1. Faktorizācijas virs Z un Q ir ekvivalentas . . . . . . . 9
2.2. Factorizācija mod p un tās pielietojumi . . . . . . . . 12
3. Faktorizācijas algoritmi 15
3.1. Precīzās formulas polinomu saknēm, kuru pakāpe nepārsniedz
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. deg(f) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2. deg(f) = 3 (del Ferro-Tartaglia-Cardano formulas)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3. deg(f) = 4 (Ferrari-Euler formulas) . . . . . . . 21
4. 5.mājasdarbs 26
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
2

4.1. Obligātie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 27
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
3

Lekcijas mērk¸is - apgūt pamatfaktus par polinomu faktorizāciju
virs R un C.
1. Faktorizācija virs C un R
1.1. C algebriskās īpaˇsības
Lauku k sauksim par algebriski slēgtu, ja katrs polinoms f ∈ k[X]
sadalās lineāros reizinātājos. Citiem vārdiem sakot, tikai lineārie polinomi
ir nedalāmi gredzenā k[X].
1.1. piemērs. R nav algebriski slēgts, jo polinoms x 2 +1 ir nedalāms.
Katram pirmskaitlim p lauks Fp nav algebriski slēgts.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
4

1.1. teorēma. (algebras pamatteorēma) C ir algebriski slēgts lauks.
PIERĀDĪJUMS Aprakstīsim tikai pierādījuma galvenos sol¸us un
palīgrezultātus.
Palīgrezultāti no matemātiskās analīzes.
A Ja f : C → C ir polinomiāla funkcija, tad f ir nepārtraukta.
B Ja g : C → R ir nepārtraukta funkcija, tad tā pieņem savu
minimālo vērtību katrā ierobeˇzotā slēgtā C apakˇskopā.
C Ja f : C → C ir polinomiāla funkcija, tad eksistē r ∈ R tāds, ka
visiem z : |z| > r.
|f(z)| > |f(0)|
D Ja f : C → C ir polinomiāla funkcija, tad eksistē z0 ∈ C, kurā
|f(z)| pieņem savu minimālo vērtību.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
5

E Ja f : C → C ir nekonstanta polinomiāla funkcija un |f(u)| = 0,
tad eksistē t ∈ C tāds, ka
|f(t)| < |f(u)|.
Pierādījuma kopsavilkums.
Pieņemsim, ka f ∈ C[X]. Saskaņā ar palīgrezultātu D eksistē
z0 ∈ C, kurā |f(z)| pieņem minimālo vērtību:
|f(z0)| ≤ |f(z)| visiem z ∈ C.
Ja |f(z0)| = 0, tad saskaņā ar palīgrezultātu E eksistē w0 ∈ C tāds,
ka
|f(w0)| < |f(z0)|,
kas ir pretruna.
1.2. piemērs. Sadalīt reizinātājos polinomu X 3 − 1.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
6

1.2. Polinomu faktorizācija virs R
1.2. teorēma. Polinomu gredzena R[X] nedalāma elementa pakāpe
nepārsniedz 2.
PIERĀDĪJUMS Tā kā R ⊂ C, tad polinomu f ∈ R[X] var uzskatīt
par elementu gredzenā C[X].
Pieņemsim, ka polinoms f ir sadalīts lineāros reizinātājos virs C:
f(X) = u(X − z1)...(X − zn).
Ja z ∈ V(f), tad f(z) = 0 un f(z) = 0. Tā kā f koeficienti ir reāli
skaitl¸i, tad
f = f
un
f(z) = f(z) = f(z) = 0.
Redzam, ka z ∈ V(f). Tādējādi, ja V(f) satur kompleksu sakni z, tad
tā satur arī pāri {z, z}.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
7

Esam ieguvuˇsi ˇsādu f sakņu kopas aprakstu:
V(f) = { a1, ..., ak , z1, z1, ..., zl, zl }
reālās saknes kompleksās saknes
Mēˇgināsim apvienot kompleksos lineāros reizinātājus tā, lai iegūtu
polinomus ar reāliem koeficientiem. Ievērosim, ka
(X − z)(X − z) = X 2 − (z + z)X + zz ∈ R[X]
ir nedalāms elements polinomu gredzenā R[X], jo tam nav reālu sakņu.
Apvienojot visus kompleksi saistītos pārus, iegūsim f ∈ R[X]
sadalījumu nedalāmos reizinātājos, kas ir noteikts viennozīmīgi:
f(X) = (X −a1) α1 ...(X −ak) αk (X 2 +p1X +q1) β1 ...(X 2 +plX +ql) βl .
Tā kā f bija patval¸īgs, tad secinām, ka nedalāmi polinomi gredzenā
R[X] var ar pakāpi 0, 1 vai 2.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
8

2. Faktorizācija virs Z un Q
Tika minēts fakts bez pierādījuma - Z[X] ir VFG.
Tika definēts polinoma saturs - koeficientu LKD. Tika minēts fakts
- satura multiplikatīvā īpaˇsība.
2.1. Faktorizācijas virs Z un Q ir ekvivalentas
2.1. teorēma. Polinoms f ∈ Z[X] ir nedalāms virs Z tad un tikai
tad, ja tas ir nedalāms virs Q.
PIERĀDĪJUMS Ja f ir dalāms virs Z, tad tas ir dalāms virs Q.
Ja f ir nedalāms virs Z, tad pieņemsim, ka tas ir dalāms virs Q:
f = gh,
kur g, h ∈ Q[X]. Tā kā f ir nedalāms, tad cont(f) = 1.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
9

Reizināsim katru no polinomiem g un h ar atbilstoˇsiem veseliem
skaitl¸iem (kopsaucējiem) tā, lai tie pārvērstos par primitīviem polinomiem
virs Z:
• Polinomu g reizinām ar tādu veselu skaitli n, lai g1 = ng ∈ Z[X],
• g1 izdalām ar cont(g1), iegūstam primitīvu polinomu
g2 =
1
cont(g1) g1 ∈ Z[X],
• to paˇsu varam izdarīt ar h - h reizinām ar tādu veselu skaitli m,
lai h1 = mh ∈ Z[X],
• h1 izdalām ar cont(h1), iegūstam primitīvu polinomu h2 ∈ Z[X].
Redzam, ka
g2h2 = α α
gh =
β β f,
kur α, β ∈ Z. Citiem vārdiem sakot,
αf = βg2h2.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
10

Izmantojot satura multiplikativitāti, redzam, ka
cont(αf) = cont(α) · 1 = cont(α) =
Esam ieguvuˇsi, ka α = ±β. Seko, ka
cont(βg2h2) = cont(β) · 1 · 1 = cont(β).
f = ±g2h2,
kas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka f ir nedalāms.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
11

2.2. Factorizācija mod p un tās pielietojumi
Ja ir dots polinoms
f(X) =
n
aiX i ∈ Z[X],
i=0
tad ir lietderīgi pētīt tā redukciju f mod p kur p ir pirmskaitlis:
n
f(X) = (ai mod p)X i ∈ Z[X],
i=0
2.2. teorēma. Ja f ∈ Z ir dalāms polinoms un f = gh, tad katram
pirmskaitlim p polinoms f ∈ Fp[X] ir izsakāms veidā f = gh.
PIERĀDĪJUMS Seko no tā, ka redukcija mod p ir gredzenu homomorfizms
Z → Fp. Jāpārbauda labās un kreisās puses koeficientu
vienādība.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
12

2.1. piezīme. No teorēmas seko, ka ja f ir dalāms normalizēts polinoms
(vecākais koeficients ir vienāds ar 1), tad tas ir dalāms katram
p.
2.3. teorēma. (Eizenˇsteina kritērijs) Pieņemsim, ka
n
f = aiX i ∈ Z[X],
i=0
kuram eksistē pirmskaitlis p ar ˇsādām īpaˇsībām:
• p ∤ an.
• ja k = n, tad p|ak,
• p 2 ∤ a0.
Tad f ir nedalāms virs Z.
PIERĀDĪJUMS Reducējot mod p, iegūsim, ka
f(X) ≡ X n (mod p).
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
13

Ja
gredzenā Z[X], tad
gredzenā Fp[X]. Redzam, ka
Seko, ka
f(X) = g(X)h(X)
f(X) = g(X)h(X)
g(X) = X k ,
h(X) = X n−k .
g0 ≡ 0(mod p),
h0 ≡ 0(mod p),
tātad a0 = g0h0 ≡ 0(mod p 2 ) - pretruna.
2.1. piemērs. Polinoms X 4 − 3X 2 + 6X − 3 ∈ Z[X] ir nedalāms, jo
visi koeficienti, izņemot vecāko, dalās ar 3, bet brīvais loceklis nedalās
ar 3 2 = 9.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
14

3. Faktorizācijas algoritmi
3.1. Precīzās formulas polinomu saknēm, kuru pakāpe
nepārsniedz 4
3.1.1. deg(f) = 2
Dots polinoms f(X) = X 2 +aX+b ∈ C[X]. Risināsim vienādojumu
X 2 + aX + b = 0.
1.solis - lineārā substitūcija.
Veiksim substitūciju
un pārveidosim vienādojumu:
(Y − u) 2 + a(Y − u) + b =
X → Y = X + u
Y 2 + (−2u + a)Y + (u 2 − au + b) = 0
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
15

Redzam, ka ņemot u = a
2 , iegūsim vienādojumu formā
Y 2 + p = 0.
2.solis - kvadrātsaknes atraˇsana un pāreja uz sākotnējo
nezināmo.
Redzam, ka
Y = √ −p.
Ja tiek fiksēta kāda konkrēta √ −p vērtība, tad ir divas saknes: √ −p
un − √ −p.
Atrodam X pēc formulas X = Y − a
2 .
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
16

3.1.2. deg(f) = 3 (del Ferro-Tartaglia-Cardano formulas)
Dots polinoms f(X) = X 3 + aX 2 + bX + c ∈ C[X]. Risināsim
vienādojumu
X 3 + aX 2 + bX + c = 0.
1.solis - lineārā substitūcija.
Veiksim substitūciju
un pārveidosim vienādojumu:
X → Y = X + u
(Y − u) 3 + a(Y − u) 2 + b(Y − u) + c =
Y 3 + (−3u + a)Y 2 + (3u 2 − 2au + b)Y + (−u 3 + au 2 − bu + c) = 0
Redzam, ka ņemot u = a
3 , iegūsim vienādojumu formā
Y 3 + pY + q = 0.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
17

2.solis - brīva parametra ievieˇsana.
Meklēsim Y formā
Y = α + β,
ievietosim vienādojumā un iegūsim
(α + β) 3 + p(α + β) + q = (α + β)(3αβ + p) + (α 3 + β 3 + q) = 0.
3.solis - brīvības izmantoˇsana redukcijai uz kvadrātvienādojumu.
Izmantojot brīvību, kas radās ievieˇsot vienu brīvības pakāpi, varam
pieprasīt, ka izpildās vienādība
3αβ + p = 0.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
18

Attiecībā uz α un β iegūsim sistēmu
αβ = − p
3
α 3 + β 3 = −q.
vai sekojoˇsu sistēmu (ar, iespējams, lielāku atrisinājumu kopu)
α 3 β 3 = − p3
27
α 3 + β 3 = −q.
4.solis - sākotnējo nezināmo atraˇsana.
Atrisināsim sistēmu attiecībā uz α un β:
⎧
⎪⎨
q2 + 4p3
27
Redzam, ka
⎪⎩
α3 = −q+
2
β3 = −q+
q2− 4p3
27
2 .
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
19

−q 3 +
Y = α + β =
q 2 + 4p3
27
2
−q 3 −
+
Kuba saknes ir jāizvēlas tā, lai izpildītos nosacījums
q2 + 4p3
27
.
2
αβ = − p3
27 .
Kompleksajiem skaitl¸iem eksistē trīs kuba saknes, tā kā ˇsk¸iet, ka vajadzētu
rasties deviņām saknēm. Īstenībā ir trīs atrisinājumi.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
20

3.1.3. deg(f) = 4 (Ferrari-Euler formulas)
1.solis - lineārā substitūcija.
Dots polinoms f(X) = X 4 +aX 3 +bX 2 +cX+d ∈ C[X]. Risināsim
vienādojumu
X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d = 0.
Veiksim substitūciju
un pārveidosim vienādojumu:
X → Y = X + u
(Y − u) 3 4 + a(Y − u) 3 + b(Y − u) 2 + c(Y − u) + d =
Y 4 + (−4u + a)Y 3 + (−3au + b + 6u 2 )Y 2 +
(3au 2 − 2bu − 4u 3 + c)Y + (u 4 + d − cu − au 3 + bu 2 ) = 0
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
21

Redzam, ka ņemot u = a
4 , iegūsim vienādojumu formā
Y 4 + pY 2 + qY + r = 0.
2.solis - brīvo parametru ievieˇsana.
Meklēsim Y formā
Y = α + β + γ,
ievietosim vienādojumā un iegūsim
4(α 2 β 2 + α 2 γ 2 + β 2 γ 2 ) + (α 2 + β 2 + γ 2 ) 2 + p(α 2 + β 2 + γ 2 ) + r+
(αβ + αγ + βγ)(4(α 2 + β 2 + γ 2 ) + 2p) + (α + β + γ)(8αβγ + q) = 0.
3.solis - brīvības izmantoˇsana redukcijai uz kubisko vienādojumu.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
22

Izmantojot brīvību, kas radās ievieˇsot divas brīvības pakāpi, varam
pieprasīt, ka izpildās sistēma ar diviem nosacījumiem:
α 2 + β 2 + γ 2 = − p
2
αβγ = − q
8 .
Ja sistēma izpildās, tad vienādojums vienkārˇsojas:
.
16
Attiecībā uz α, β un γ esam ieguvuˇsi sistēmu
⎧
⎪⎨ α
⎪⎩
2 + β2 + γ2 = − p
2
αβγ = − q
8
α2β2 + α2γ2 + β2γ 2 = p2−4r 16
α 2 β 2 + α 2 γ 2 + β 2 γ 2 = p2 − 4r
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
23

vai sekojoˇsu sistēmu (ar, iespējams, lielāku atrisinājumu kopu)
⎧
⎪⎨ α2 + β2 + γ2 = − p
α 2 β 2 γ 2 = q
⎪⎩
64
α2β2 + α2γ2 + β2γ 2 = p2−4r 16 .
Palīgrezultāts - Vieta formulas kubiskajiem vienādojumiem.
f = X 3 + a2X 2 + a1X + a0 = (X − z1)(X − z2)(X − z3),
tad un tikai tad, ja
a2 = −(z1 + z2 + z3),
a1 = z1z2 + z1z3 + z2z3,
2
a0 = −z1z2z3
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
24

No iegūtās sistēmas attiecībā uz α 2 , β 2 , γ 2 seko, ka tie ir kubiskā
vienādojuma
saknes.
Z 3 + p
2 Z2 + p2 − 4r q
Z − = 0
16 64
4.solis - sākotnējo nezināmo atraˇsana.
Atrisināsim iegūto kubisko vienādojumu.
Atradīsim α, β, γ tā, lai izpildītos sākotnējais nosacījums
αβγ = − q
8 .
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
25

4. 5.mājasdarbs
4.1. Obligātie uzdevumi
5.1 Dots, ka polinoms f ∈ Q[X] ir nedalāms. Pierādīt, ka vienādojumam
f(z) = 0
nav vairākkārtīgu kompleksu sakņu.
5.2 Pierādiet, ka dotie polinomi ir nedalāmi virs Z:
(a) X 4 − 10X 3 + 6X 2 − 12X + 6,
(b) X 3 + 18X 2 − 12X − 6,
(c) X 15 − 9.
5.3 Atrodiet visus polinomus f ∈ C[X], kas apmierina funkcionālo
vienādojumu
f(X 2 ) + f(X)f(X + 1) = 0.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
26

4.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura
uzdevumi
5.4 Nosakiet, vai zemāk dotie polinomi ir dalāmi:
(a) X n ± X ± 1 ∈ Z[X],
(b) X n + tX ± 1 ∈ Z[X], ja |t| ≥ 3,
(c) X p−1 + X p−2 + ... + X + 1 ∈ Z[X], kur p ir pirmskaitlis.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
27