In the previous lesson we dealt with the theorem that says ... - AdMaths

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
Bls. 1 van 5
Ons het in die vorige les die stelling behandel wat sê dat die middelpuntshoek in ‘n
sirkel altyd twee maal die grootte van die omtrekshoek is wat deur dieselfde koord
onderspan word.
Wat dink jy gaan gebeur as die middelpuntshoek ‘n gestrekte hoek is, soos BAC in
die bygaande skets?
Wat dink jy sal die grootte van A wees?
Kom ons kyk of jy reg is …
3.1 STELLING 6
A
C
M
1
A
B O C
Die omtrekshoek wat deur die middellyn van ‘n sirkel onderspan word, is ‘n regte hoek.
[ Die omtrekshoek in ‘n semi-sirkel is ‘n regte hoek. ]
In die skets is AB die middellyn van die sirkel.
Dus is ACB = 90° ( midpts. M 1 = 2 omtreks op AB )
Die omgekeerde is ook waar :
As ACB = 90° , dan sal die koord AB die middellyn van die sirkel wees.
B

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
3.2 VOORBEELDE
A
Bls. 2 van 5
1. Bereken die onbekende hoeke. O is die middelpunt van die sirkel. Gee redes.
Oplossing
D
20°
z = 180° – 60° ( reguitlyn )
z = 120°
60°
z
O
C
x
y
x = 60° ( midpts. = 2 omtreks op koord DA )
Sien jy dat z die middelpuntshoek op DA en dat x die omtrekshoek op DA is?
ABC = 90° ( omtreks in ‘n semi-sirkel )
Dus is y = 180° – 20° – 90° ( som of e van Δ = 180° )
y = 70°
B

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
Bls. 3 van 5
2. In die figuur is RS die middellyn. ROQ = ROP eb SQ = QT .
O is die middelpunt van die sirkel.
Bewys dat 2.1 S = T
Oplossing
2.2 PU || QS
2.1 In Δ e RSQ en RTQ
1. SQ = QT ( gegee )
S
U P
1
O 2
2. SQR = TQR = 90° ( omtreks in semi-sirkel ; SQT reguitlyn )
3. RQ is gemeen
ΔRSQ ΔRTQ ( S S )
S = T
2.2 T = S ( bewys )
T = ½ ROQ ( midpts. = 2 omtreks op koord RQ )
T = ½ ROP ( ROQ = ROP ; gegee )
T = U ( midpts. = 2 omtreks op boog PR )
Sien jy dat ROP die middelpuntshoek op PR en dat U die
omtrekshoek op PR is?
Dus is PU || QS ( T = U ; verwisselende e )
R
Q
T

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
3.3 OEFENING 3
1. In die figuur is O die middelpunt
van die sirkel. BOC = 112°.
AD = CD.
Bereken DCE.
2. In die figuur is O die middelpunt
van die sirkel en BOA = 100°.
BC = CD.
Bereken AFB.
3. O is die middelpunt van die sirkel
en SQ halveer PQR .
Bewys dat OS die middelloodlyn
van PR is.
( M.a.w. bewys dat RT = TP en
dat OT RP . )
Bls. 4 van 5
B
A O C
A
B
Q
100°
O
O
D
112°
F
T
P
C
E
R
S
E
D

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
4. O is die middelpunt van die sirkel.
Bewys dat C2 + A = 90° .
Bls. 5 van 5
5. In sirkel S is MBA = y en BAC = x .
5.1 Druk BSC in terme van x uit.
5.2 Druk P in terme van x en y uit.
5.3 Bepaal DMA in terme van x en y .
5.4 Bewys dat BSC = DMA + P
6. In ∆ABC is AB = AC .
AB is die middellyn van die sirkel.
Bewys dat BD = CD .
Kopiereg Mr. V
B
B
1
2
C
B
A
A
O
1
y
S
1
2
D
M
C
x
A
D
C
P