MODULE 14 : RASIONALE ONGELYKHEDE - AdMaths

1 / 6
GR. 10 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE
A F D E L I N G : A L G E B R A
MODULE 14 : RASIONALE ONGELYKHEDE
LES 14 : RASIONALE ONGELYKHEDE
Wat is die verskil tussen die volgende twee vrae?
VRAAG 1: Los op vir x: ( x + 2)(
x − 5)
< 0
x + 2
VRAAG 2: Los op vir x: < 0
x − 5
Vraag 2. Terug by tabel-metode!!!!! Maar net oombliklik om die punt huis toe te
bring!
x -2 5
( x + 2)
- 0 + + +
( x − 5)
- - - 0 +
x
x
+
−
2
5
Dus: − 2 < x < 5
+ 0 - ? +
En dit is presies dieselfde antwoord as op VRAAG 1.
Daar is dus geen verskil tussen VRAAG 1 en VRAAG 2 se antwoorde nie.
Dit is omdat die reëls vir die produk en kwosiënt van heelgetalle presies
dieselfde is:
+ × + = +
+ ÷ + = +
+ × − = −
+ ÷ − = −
− × + = −
− ÷ + = −
− × − = +
−
÷ − = +
A14

VOORBEELD 1
x + 3
Los op vir x: > 0
x − 1
2 / 6
Trek jou getallelyn met nulpunte. By x = 1 word daar gedeel deur nul en dit
maak die uitdrukking betekenisloos / sinloos / ongedefinieerd. Gebruik ‘n “?” om
dit aan te dui. Die nulpunt by ‘n “?” sal nooit ingesluit wees in enige oplossing nie.
Substitueer “groot positief”. Dit gee ‘n + regs van 1. Alterneer die tekens na links.
Ons benodig +e!
Antwoord: x < − 3 of x > 1
VOORBEELD 2
2x
+ 1
Los op vir x: ≤ 0
x − 4
Trek jou getallelyn met nulpunte. By x = 4 word daar gedeel deur nul en dit
maak die uitdrukking ongedefinieerd. Gebruik die “?”. Sluit 4 uit die finale
oplossing!
Substitueer “groot positief” en alterneer die tekens na links.
Ons benodig - en 0.
1
Antwoord: −
≤ x < 4
2
A14

3 / 6
Bestudeer nou “Unit 2 : Rational inequalities” p.10 Examples 1-4.
VOORBEELD 3
x + 5
Los op vir x: ≤ x
2 − x
Jy mag nie dwardeur maal met die KGV van ( 2 − x)
nie, want dit bevat x’e
wat ons nie weet of dit positief of negatief is nie; so ons weet nie of die
ongelykheidsteken gaan omkeer of nie.
Vat alle terme na links sodat jy ‘n nul regs skep:
x
2
+
−
5
x
Tel breuke op links: (“sit op ‘n KGV”)
x
x
x 2
+
+
−
x
≤
5 − ( 2 −
2 − x
5 − 2x
2 − x
− x + 5
2 − x
+
≤
0
x)
x
x
2
0
Kyk of x x 5
2
− + kan faktoriseer deur sy ∆ (delta) uit te werk.
∆
=
( −1)
2
−
4(
1)(
5)
=
−19
Dus: nie-reële nulpunte : kan net in komplekse getalle faktoriseer.
≤
≤
Gebruik kwadraatsvoltooiing van ‘n uitdrukking om te bewys die uitdrukking is
altyd positief:
A14
0
0

=
=
x
2
x
2
⎛
⎜x
⎝
−
−
−
x
x
+
1⎞
⎟
2 ⎠
+
2
5
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
+
2
3
4
4
Terug by ongelykheid:
x 2
−
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
>
− x + 5
2 − x
0
2
≤
+
0
5
4 / 6
Deel nou beide kante deur x x 5
2
− + , want dit is altyd positief en die
ongelykheidsteken bly in dieselfde rigting, nl. ≤.
Dus: x > 2
VOORBEELD 4
2
1
−
x + 1
Los op vir x: ≤ 0
2
x − 4
( x
+
x
+
x
2)(
x
1
−
≤
0
2)
Onthou dat komplekse getalle nie op ‘n getallelyn voorgestel word nie.
≤
0
Jy moet dus seker maak dat die uitdrukking onder die nie negatief is nie.
Dus: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1
Die getallelyn lyk nou so:
A14

Dus: − 1 ≤ x < 2
VOORBEELD 5
5 / 6
Vir watter waardes van x is die volgende uitdrukking reëel:
x 2
−
x
2x
−
A14
−
2
Hierdie is nie ‘n vergelyking of ongelykheid nie!!!!
Jy moet die vraag interpreteer en dan ‘n ongelykheid opstel.
Die uitdrukking
x 2
−
x
2x
−
−
2
inhoud van die vierkantswortel, nl.
x 2x
15
Dus: 0
x 2
2
− −
≥
−
( x
−
5)(
x +
x − 2
3)
≥
0
15
x 2
15
sal reële waardes aanneem as die
−
x
2x
−
−
2
15
positief of nul is.

Dus: − 3 ≤ x < 2 of x ≥ 5
Doen Exercise 2.1 p.12. (memo)
Mr D
6 / 6
A14