4. Waarskynlikheid : Boomdiagramme Voorbeelde: - AdMaths

4. Waarskynlikheid : Boomdiagramme
4.1 Boomdiagramme word veral by die volgende tipe saamgestelde gebeurtenisse
gebruik, soos om meer as een dobbelsteen te gooi, om ‘n dobbelsteen meer as een
keer te gooi, meer as een muntstuk op te skiet, meer as een kaart te trek of om
balle uit ‘n sak te haal.
4.2 In sekere gevalle kan die kaart of die bal weer teruggesit word voordat die
volgende een getrek word, en in ander gevalle word die kaart of bal nie teruggesit
voordat die volgende een getrek word nie.
4.3 Die waarskynlikheid van elke tak word gewoonlik op die tak geskryf. Die
waarskynlikheid van elke stel takke moet altyd ‘n som van 1 maak (dit is
komplementêre gebeurtenisse).
4.4 Om die waarskynlikheid te bereken dat ‘n bepaalde uitkoms gaan plaasvind, word
die waarskynlikhede al langs die takke op pad na daardie uitkoms met mekaar
vermenigvuldig.
4.5 Boomdiagramme word dus gebruik om die onderskeie maniere waarop uitkomste
kan gebeur, voor te stel, al die moontlike uitkomste te tel en om die
waarskynlikheid dat ‘n bepaalde uitkoms gaan voorkom, te bereken.
Voorbeelde:
1. ‘n R2 munt en ‘n R5 munt word opgeskiet. Al die moontlike uitkomste kan soos
volg met ‘n boomdiagram voorgestel word:
Begin
R2 munt R5 munt Uitkoms
K
1
2
1
2 1
2
1
2 1
2
M
1
2
K KK
M KM
K MK
M MM
1

1.1 Wat is die waarskynlikheid dat munt op die R2 en dan kruis op die R5
gekry word?
1.2 Wat is die waarskynlikheid dat kruis en munt in enige volgorde gekry
word?
Oplossing:
1.1 P(M en K) = P(MK) = 1
2
1.2 P(MK of KM) = 1
4
+ 1
4
× 1
2
= 1
2
= 1
4
[vermenigvuldig die
waarskynlikhede op die takke
wat na die uitkoms lei, met
mekaar]
[tel die waarskynlikhede van
die afsonderlike uitkomste
bymekaar]
2. In ‘n sekere kansspel word balle uit ‘n sak met vyf blou en drie rooi balle gehaal.
Een bal word ewekansig uit die sak gehaal en dan weer teruggesit. Daarna word
‘n tweede een uitgehaal. Dit kan met die volgende boomdiagram voorgestel word:
Begin
1ste uithaalslag 2de uithaalslag Uitkoms
Blou
5
8
5
8 3
8
3
8 5
8
Rooi
3
8
Blou Blou Blou
Rooi Blou Rooi
Blou Rooi Blou
Rooi Rooi Rooi
Bereken die waarskynlikheid dat jy met die tweede uithaalslag die volgende uit die sak
gehaal het:
2.1 twee rooi balle
2.2 twee blou balle
2.3 twee balle van dieselfde kleur
2.4 twee balle van verskillende kleure
2

Oplossing
2.1 P( Rooi en Rooi) = P( Rooi Rooi) = 3
8
2.2 P( Blou en Blou) = P( Blou Blou) = 5
8
2.3 P( Rooi Rooi of Blou Blou) = 9
64
2.4 P( Blou en Rooi) = P( Blou Rooi) = 5
8
P( Rooi en Blou) = P( Rooi Blou) = 3
8
P( BR of RB) = 15
64
+ 15
64
= 30
64
+ 25
64
= 15
32
× 3
8
× 5
8
× 3
8
× 5
8
= 9
64
= 25
64
34
=
64
15
=
64
= 15
64
= 17
32
[2.3 en 2.4 is komplementere gebeurtenisse en die som van hulle waarskynlikhede
is 1]
3. Daar is agt balle in ‘n sak, waarvan 5 blou en drie rooi is. Een bal word ewekansig
uit die sak gehaal, maar word nie teruggesit nie. Dan word ‘n tweede bal
uitgehaal.
Begin
1ste uithaalslag 2de uithaalslag Uitkoms
Blou
4
7
5
8 3
7
3
8 5
7
Rooi
2
7
Blou Blou Blou
Rooi Blou Rooi
Blou Rooi Blou
Rooi Rooi Rooi
3

Gebruik die boomdiagram om die waarskynlikheid te bereken dat jy met die tweede
uithaalslag die volgende uit die sak gehaal het:
3.1 twee rooi balle
3.2 twee blou balle
3.3 twee balle van dieselfde kleur
3.4 twee balle van verskillende kleure
Oplossing
3.1 P( Rooi en Rooi) = P( Rooi Rooi) = 3
8
3.2 P( Blou en Blou) = P( Blou Blou) = 5
8
3.3 P( Rooi Rooi of Blou Blou) = 3 10
+
28 28
3.4 P( Blou en Rooi) = P( Blou Rooi) = 5
8
P( Rooi en Blou) = P( Rooi Blou) = 3
8
P( BR of RB) = 15
56
+ 15
56
30 15
= =
56 28
× 2
7
× 4
7
= 6
56
= 13
28
= 20
56
3 15
× =
7 56
5 15
× =
7 56
3
=
28
5
=
14
[3.3 en 3.4 is komplementere gebeurtenisse. Die som van hulle waarskynlikhede
is 1.]
4

Oefening 4
1. ‘n R1 stuk word drie keer opgeskiet.
1.1 Teken ‘n boomdiagram om al die moontlike uitkomste aan te toon.
1.2 Bepaal die waarskynlikheid om die volgende te kry ( H – Kruis; T – Munt)…
1.2.1 drie kruise
1.2.2 twee kruise en een munt in enige volgorde
1.2.3 minstens een kruis
1.2.4 of drie kruise of drie munte?
2. ‘n Sak bevat 6 rooi krale en 4 blou krale. Een kraal word getrek en dan ‘n
tweede sonder dat die eerste een teruggesit word. Bereken die
waarskynlikheid dat …
2.1 die eerste kraal wat getrek word, rooi sal wees
2.2 albei krale blou sal wees
2.3 een kraal rooi en een kraal blou sal wees (in enige volgorde)
3. ‘n Veerpyltjie word na ‘n bord soos in
die skets gegooi. Dit is vir die veerpyltjie
ewe moontlik om in enige van die sektore
te steek. As die veerpyltjie twee keer gegooi
word, bereken die waarskynlikheid om die
volgende te kry…
3.1 twee W’s
3.2 eers ‘n W en dan ‘n L
3.3 ‘n W en ‘n L in enige volgorde
4. ‘n Lotery ten bate van ‘n kinderfonds word gehou.
Al 1 000 kaartjies is verkoop en daar is 2 pryse.
Ryno koop 5 kaartjies.
4.1 Trek ‘n boomdiagram om Ryno se kanse om die pryse te wen aan te toon.
4.2 Gebruik nou die diagram om die waarskynlikheid te bepaal (korrek tot 5
desimale plekke) dat Ryno…
4.2.1 geen prys wen nie
4.2.2 een prys wen
4.2.3 twee pryse wen
W L
L L
L L
W L
4.3 Hoe kan jy jou antwoorde kontroleer? Waaraan behoort die som gelyk te
wees?
5

5. ‘n Sak bevat vier rooi lekkers, ses blou lekkers en drie groen lekkers. ‘n
Lekker word daaruit gehaal, nie teruggesit nie en dan word nog ‘n lekker
uitgehaal.
5.1 Skets ‘n boomdiagram om dit voor te stel.
5.2 Gebruik die boomdiagram om die waarskynlikheid te bepaal dat jy die
volgende sal uithaal…
5.2.1 ‘n blou lekker met die eerste uithaalslag
5.2.2 ‘n rooi lekker en dan ‘n groen lekker
5.2.3 twee lekkers van dieselfde kleur
5.2.4 twee lekkers van verskillende kleure
6. Beskou drie opeenvolgende rugby wedstryde waar ‘n muntstuk opgeskiet
word om die loting te bepaal. Wat is die waarskynlikheid dat die kaptein die
loot sal wen…
6.1 elke keer?
6.2 net een keer?
6.3 ten minste een keer?
Mr V 4/16/2011
6