n Toekomstige waarde a - AdMaths

1 / 17
GR. 11 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE
MODULE: MODELLERING
AFDELING: FINANSIES
LES 3 : P v , Fv en PAAIEMENT
‘n Toekomstige waarde annuïteit kan gebruik word as ‘n
spaarplan. Oor ‘n tydperk sal die gereelde gelyke deposito’s
(betalings) akkumuleer as ‘n belegging vir die toekoms.
In ‘n huidige waarde annuïteit word gereelde vaste deposito’s
(betalings) gemaak oor ‘n tydperk om ‘n lening terug te betaal.
In graad 10 het jy geleer hoe om die toekomstige waarde (Fv) en
huidige waarde (Pv) van annuïteite uit te werk m.b.v. eerste orde
verskil vergelykings. (10MOD7)
BELEGGING :
n n 1
(m)
v n n 1
v n 0
(m)
v n n 1
v 0
U k U c , k 1 ( rekursiewe formule)
F : U (1 i ) U paaiement
waar F U (U 1ste paaiement) (Begin dadelik spaar.)
LENING :
P : U (1 i ) U paaiement
waar P U (Eerste paaiement na 1 maand.)
Kom ons lei nou ook 'n algemene eksplisiete formule af vir elkeen.
11 MOD 3

2 / 17
In die graad 10 handboek op bls 90 is die volgende ondersoek
gedoen.
Voltooi
(1 x) (...) 1 x
(1 x) (1 x x ) ...
2
2
2
2 3
(1 x) (1 x x x ) ...
(1 x) (...........................) 1 x
(1 x) (.............................) 1 x
en 1 x x
Antwoord
7
n
2 3 n 1
1 x x x ... x
(1 x) ( 1 x ) 1 x
2
3 n 1 n
x ... x x ...
2
11 MOD 3
1 x
...
2 2 2 3 3
(1 x) (1 x x ) 1 x x x x x 1 x
2 3 4
(1 x) (1 x x x ) 1 x
2 3 4 5 6 7
(1 x) ( 1 x x x x x x ) 1 x
2 n 1 n
(1 x) ( 1 x x ................ x ) 1 x
1 x x ... x
Afleiding:
S
1
n
x
n 1 x
n
n 1
1 xn
1 x
Verskil met 1
waar S Som van n terme
n

3 / 17
Hoe verander die formule indien jy x n bytel?
n
2 3 n 1 n 1 x n
1 x x x ... x x x
1 x
11 MOD 3
n n
1 x x (1 x)
1 x 1 x
n n n 1
1 x x x
1 x
n 1
1 x
1 x
2 3 n 1 n 1 x
1 x x x ... x x
1 x
Afleiding
S
1
n
x
1
n 1 1 x
waar S Som van ( n + 1)
terme
n 1
Verskil met 1
n 1

Verryking:
4 / 17
Formele bewys van som-formule vir 'n meetkundige ry.
(Deel van Gr 12 Wiskunde Vraestel 1.)
Beskou die meetkundige ry:
2 n 1
a ar ar ... ar
waar T a eerste term,
1
r konstante verhouding
n
n
n 1
en T ar algemene term
n
n
n n
n
n
n
n
2 n 1
2 n 1
Stel S a ar ar ... ar ..........
2 n 1 n
( r) r S ar ar ... ar ar .......
: r S S ar a
S (r 1) a(r 1)
S
a ar ar ... ar
OPSOMMING:
n
a(r 1)
r 1
n
a(r 1)
r 1
n
11 MOD 3
as r 1
a(1 r )
of as r 1
1 r
2 n 1
S 1 x x ............ x
xn1 x 1
n 1
2 3 n 1 n x 1
EN Sn 1 1 x x x ... x x as x 1
x 1

5 / 17
TOEKOMSTIGE WAARDE ANNUÏTEITE
GEVAL Ι:
11 MOD 3
(Fv - annuïteite)
Betalings begin aan die einde van die eerste interval (maand /jaar ens.)
en hou aan tot die einde van die n de interval.
Dus T1 Tn
x x x x x
T0 T1 T2 T3 Tn 1 Tn
Einde van maand 1. Einde van maand n.
Beskou elke deposito / betaling se waarde by Tn:
NB: Ons werk al die paaiemente VORENTOE na Fv!!
Geakkumuleerde waarde van deposito 1 x (1 i)
Geakkumuleerde waarde van deposito 2 x (1 i)
Geakkumuleerde waarde van deposito (n 1) x (1 i) (1 maand se rente)
2 n 2 n 1
Totale toekomstige waarde x x(1 i) x(1 i) ... x(1 i) x(1 i)
n 1
n 2
Geakkumuleerde waarde van deposito n x (laaste betaling
2 n 2 n 1
x [1 (1 i) (1 i) ... (1 i) (1 i) ]
1
verdien geen rente)
Al die deposito's is dieselfde (ewe groot) gemeenskaplike faktor
Fv

v
n
n n
n n
n
n 1
6 / 17
x [(1 i) 1]
n
Fv x (1 i) (Deposito 0 en sy opgelope waarde.)
i
F
x
x
x
n
a(r 1)
Fv S n
..... r 1
r 1
F v =
x
L.W. : Daar is n
GEVAL ΙΙ:
[(1 i) 1]
i
i(1 i)
(1 i) i(1
i
i) 1
(1 i) (1
i
i) 1
x [(1 i)
i
1]
L.W. : Daar is ( n + 1)
paaiemente.
n
(1 i) 1
(1 i) 1
n
x [(1 i) 1]
i
paaiemente.
waar r 1 i 1 (toename/ groei)
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die
n-de interval.
Dus T0 T n
x
x x x x
T0 T1 T2 T3 Tn
11 MOD 3

GEVAL ΙΙΙ:
7 / 17
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die
(n - 1)-de periode.
Dus T0T n 1
x
Die situasie is dieselfde as in GEVAL ΙΙ behalwe dat die
paaiemente een maand voor die einde ophou.
n
n 1
x [(1 i) 1]
Fv x (Geen laaste betaling by T n.)
i
n 1
x [(1 i) 1] ix
i i
n 1
x [(1 i) 1 i]
i
n 1
x [(1 i) (1 i)]
i
1 n
x [(1 i) [(1
i
i) 1]]
n
x [(1 i) 1] (1 i)
i
x [(1 i) 1]
F v
(1 i)
i
L.W.:
x x x
T0 T1 T2 Tn
1
Daar is n paaiemente, maar hele bedrag groei vir nog 'n tyd-interval:
vermenigvuldig met (1 i)
Dit het net 1 maand vroeëer begin as in geval Ι.
11 MOD 3
Tn

AFLEIDING
v
8 / 17
Dit maak dus nie saak wanneer jy begin spaar nie.
Die tydperke is dieselfde in Geval Ι en ΙΙΙ.
Die enigste verskil is dat die bedrag vir 1 meer interval groei in geval
ΙΙΙ.
Netso kan die ooreenkomstige formules vir die huidige waarde
annuïteite afgelei word van die resultate in hierdie 3 gevalle.
HUIDIGE WAARDE ANNUÏTEITE (Pv - annuïteite)
GEVAL Ι
Betalings begin aan die einde van die eerste interval (maand / jaar ens.)
en hou aan tot die einde van die n de interval.
Paaiemente van T1 Tn (n paaiemente) is die mees algemene
geval.
n
x[(1 i) 1]
Fv reeds bewys
i
P ?
v
T0 T1 T2 Tn
1
P
v
x x x x
Ons werk al die paaiemente TERUG na Pv.
n (n 1) 2 1
P x(1 i) x(1 i) ... x(1 i) x(1 i)
n (n 1) 2 1
x[(1 i) (1 i) ... (1 i) (1 i) ]
x 1 1 ... 1 1
(1 i) (1 i)
n (1 i) n 1 2 1 i
11 MOD 3
Tn

[Beskou die reeks tussen hakies.]
1 1
a en r
1 i 1 i
v n
n
1
1 i
n
1 n
[1 (1 i) ]
1 i 1
1 i
n
n
9 / 17
a(1 r ) 1
Sn r 0
1 r 1 i
1 1
[1 ]
1 i 1 i
1 i
1
[1 (1 i) ]
P x (S )
i
x [1 (1 i) ]
P v
( n betalings)
i
GEVAL ΙΙ
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die
n-de interval.
Betalings vanaf T T [( n + 1)
betalings]
F
v
v
n 1
0 n
x [(1 i)
i
1]
Netso kan dit bewys word dat
P
(n 1)
x [1 (1 i) ]
i
11 MOD 3

Deel van
1ste
paaiement
GEVAL ΙΙΙ
10 / 17
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die
(n - 1)-de periode.
Paaiemente van T T (geen laaste paaiement) ( n paaiemente)
n
n
n
0 n 1
x [(1 i) 1]
F v
(1 i)
i
Laat ons ondersoek :
1 1 1
x 1 ...
(1 i) (1 i) (1 i)
2 n 1
1 (1 i) 1
x r 1
1 1
1 i
(1 i)
x
x
1 (1 i)
1 1 i
1 i
1 (1
i
i)
1 i
n
n
x [1 (1
i
i) ]
(1 i)
x [1 (1 i) ]
P v
(1 i)
i
n
11 MOD 3

OPSOMMING:
I
11 / 17
GEVAL Fv Pv
: T T
1 n
n betalings
: T T
II
0 n
n 1 betalings
: T T
III
n betalings
Voorbeeld 1
0 n 1
x [(1
n
i) 1]
i
x [(1
n
i)
i
1
1]
x [(1
n
i)
i
1]
(1 i)
11 MOD 3
x [1 (1
i
n
i) ]
x [1 (1
(n
i)
1)
]
i
x [1 (1
i
n
i) ]
(1 i)
Indien jou vader R100 per maand begin spaar het vir jou sedert die
dag dat jy gebore is teen 'n spaar rentekoers van 9,5% p.j.
maandeliks saamgestel, hoeveel sou jy op jou 21ste verjaarsdag
ontvang?
[Hy spaar niks die laaste maand wat die geld uitkeer of uitbetaal word
nie.]
Antwoord
Spaar F formule
v
n
F v
x [(1 i)
i
1]
(1 i) T0 T n 1 (Geval III ;npaaiemente)
x R100 p.m.
(12)
i 9,5% p.j. 0,095 p.j.
0,095
p.m.
12
n 21 12 maande 252 maande
0,095
12
v 0,095
12
252
100 [(1 ) 1] 0,095
F (1 )
12
R80 141,15
Lekker verjaarsdaggeskenk!

Voorbeeld 2
12 / 17
Angelique wil aftree in 17 jaar se tyd met R1 500 000 in haar
bankrekening. Hoeveel moet sy elke maand spaar om haar doel te
bereik indien rente maandeliks saamgestel is teen 10% p.j.? Sy begin
spaar na een maand en sal aanhou met haar betaling tot die laaste
maand.
Antwoord
Spaar F formule T T (GEVAL ; n paaiemente)
Fv
x [(1 i)
i
1]
F R1 500 000
v
v 1 n
n
(12)
i 10% p.j.
0,1
per maand
12
n 17 jare 17 12 maande
x ?
204 maande
Stel waardes in : 1 500 000
en maak dan x die onderwerp
11 MOD 3
0,1 204
12
0,1
12
x [(1 ) 1]
x
1 500 000
0,1 204
[(1 )
12
0,1
12
1]
(Voer hierdie
in die sakrekenaar!)
R2 818,16 per maand
I

Wenk:
Jy kan 0,1
12
CASIO
13 / 17
stoor in jou sakrekenaar in A/B ens.
Om i te stoor : SHIFT STO A
Om i te herroep : ALPHA A (in 'n sakrekenaar)
SHARP
Om i te stoor : STO A
Om i te herroep : RCL A
ALPHA A
0,1
(vir die antwoord van )
12
of RCL
0,1
A (vir die antwoord van )
12
of RCL ALPHA
0,1
A (vir die antwoord van )
12
11 MOD 3

Voorbeeld 3
14 / 17
Bepaal die maandelikse paaiemente benodig om 'n verband van
R600 000 te amortiseer oor 'n tydperk van 20 jaar teen 13,2% p.j.
maandeliks saamgestel.
amortiseer beteken afbetaal
Antwoord
Lening P formule
v
Pv
x [1 (1
i
n
i) ]
waar Pv R600 000
(12)
i 13,2% p.j. 0,132 p.j.
0,132
p.m.
12
n 20 jare 20 12 240 maande
600 000
x
x ?
0,132 240
12
0,132
12
0,132
12
0,132 240
12
x [1 (1 ) ]
600 000
[1 (1 ) ]
R7 115,12
11 MOD 3

Voorbeeld 4
15 / 17
Indien die R7 115,12 maandeliks belê word vir 20 jaar teen 13,5% p.j.
maandeliks saamgestel, sal dit 'n toekomstige waarde van R600 000
gee?
Antwoord
F
v
L.W.:
L.W.:
0,132
12
0,132
12
Totale rente verdien Toekomstige waarde Totaal van deposito's
Wow! Ongelooflik!
240
7 115,12 [(1 ) 1]
R8 287 601,63
R8,3 miljoen
Om lenings terug te betaal is baie duur, want die meeste van
jou maandelikse paaiemente aan die begin dek net die rente op
die lening!
Omgekeerd: Indien jy lank genoeg spaar kan jy baie rente
verdien. (Saamgestelde groei is eksponensieel)!!)
R8,5 miljoen 240 7 115,12
R6 792 371, 20
Om die aantal terugbetalings periods (n) te bepaal, moet jy meer van
LOGS weet. Jy sal in graad 12 leer hoe om dit te doen.
11 MOD 3

Voorbeeld 5
16 / 17
Indien jy nie maandeliks gereeld spaar soos in voorbeeld 4 nie, maar
eerder 'n sekere bedrag wil belê wat 'n geakkumuleerde waarde van
R8 287 601,63 oor 20 jaar gee, hoeveel moet jy dan nou belê?
Antwoord
v
v
n
Pv x [1 (1
i
i) ]
Hierdie formule moet nie gebruik word
nie, want daar is nie maandelikse paaiemente nie!!
F R8 287 601,63
(12)
i
0,132
p.m.
12
n 20 jare 240 maande
P ?
Gebruik F P (1 i)
v v
8 287 601,63 P 1
P
v
n
0,132
12
8 287 601,63
v 240
0,132
1
12
R600 000,38
R600 000
240
(Paar sente verskil, want ons het die R8 miljoen
antwoord in Voorbeeld 4 afgerond.)
11 MOD 3

AFLEIDINGS
17 / 17
(1 i) herhaaldelik..... tel rente by
Pv Fv
(1 i) herhaaldelik..... afslag / verdiskonteer /
11 MOD 3
wegneem van rente
Jy kan vorentoe of agtertoe werk om die waardes aan die begin
of einde te bepaal.
B
Pv Fv
Bedrag
uitstaande
Soortgelyk kan ons die balans (B) bepaal of die bedrag
uitstaande by enige punt op die tydlyn deur na daardie punt te
beweeg van beide kante.
Meer hieroor in les 5!
Vir Fv:
Of jy by U0 of U1 begin spaar het geen effek op Fv.
Die duur / tydperk van die belegging is belangrik.
(Aantal betalings.)
Vir Pv:
Of jy by U0 of U1 begin terugbetaal het 'n effek op die
terugbetalings, want Pv is die bedrag aan die begin uitbetaal en
hoe gouer die terugbetalings begin hoe beter.
Doen Oefening 2.1 bls 161
en Oefening 2.2 bls 162