MODULE 1 : GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS ... - AdMaths

GR. 9 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE
A F D E L I N G : A L G E B R A
MODULE 1 : GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS
LES 2 : SUBSTITUSIE VS ELIMINASIE
OPLOS VAN GELYKTYDIGE VERGELYKINGS MET SUBSTITUSIE
VOORBEELD 1
Los op vir x en y: y = x + 2
(1)
y = − x + 4 (2)
Beskou vergelyking (1) as ‘n “voorlopige antwoord” vir y (i.t.v. x).
Substitueer nou hierdie antwoord in die plek van y in vergelyking (2).
(2): x + 2 = − x + 4
2 x = 2
x = 1
Substitueer nou hierdie finale antwoord vir x in jou “voorlopige antwoord”.
Dus: x = 1 en y = 3
OEFENING 1.3
Los op vir x en y:
1. y = − x + 9
y = x − 1
2. y = 2x
− 2
y =
− x + 1
(1): y = 1 + 2 ⇒ y = 3
A1.2

3. y = 3x
− 5
y = x + 1
4. y = − x + 2
y = 2x
+ 5
5. y = x + 1
2x + y = − 3
6. 2 x + 3y
= 7
y = x +
VOORBEELD 2
2
2 / 9
Los op vir x en y: x + y = 9
(1)
x − y = 1
(2)
Gebruik een van die twee vergelykings om ‘n “voorlopige antwoord” te skep.
(1): x + y = 9
⇒ x = 9 − y (3)
Substitueer in vergelyking (2):
(2): x − y = 1
( 9 − y)
− y = 1
9 − 2y
= 1
− 2y = − 8
y = 4
Substitueer terug in (3):
(3): x = 9 − y
= 9 − 4
Dus: x =
5 en y = 4
=
5
A1.2

OEFENING 1.4
Los op vir x en y:
1. x + y = 11
x − y = 5
2. 2 x + y = 2
x + y = 7
3. x + 2y
= 8
x − y = 2
4. 4 x − 3y
= 10
4 x + y = 2
5. 2 x + y = 4
3 x − y = 12
6. x − y = 1
2 x +
3y
=
7
3 / 9
A1.2

4 / 9
SUBSTITUSIE-METODE BEGIN WANKEL
VOORBEELD 3
Los op vir x en y: 4 x − 3y
= 6 (1)
3 x + 2y
= 13 (2)
(2): 2 y = − 3x
+ 13
y =
− 3x
+
2
13
(3)
Substitueer nou hierdie ongemaklike “voorlopige antwoord” in (1):
Dus: x = 3 en y = 2
⎛ − 3x
+ 13 ⎞
(1): 4 x − 3⎜
⎟ = 6
⎝ 2 ⎠
3(
−3x
+ 13)
4 x −
=
2
× 2 : 8x
− 3(
−3x
+ 13)
= 12
8 x + 9x
− 39 = 12
17 x = 51
x = 3
− 3(
3)
+
2
(3): y =
= 2
Hierdie som is onaanvaarbaar lank! Is daar ‘n korter metode wat breuke vermy?
Wag en sien...
A1.2
13
6

5 / 9
OPLOS VAN GELYKTYDIGE VERGELYKINGS MET ELIMINASIE
2 + 3 = 5 is ‘n “vergelyking”
4 + 7 = 11 is nog een
Tel nou die “vergelykings” op in kolomvorm:
2
+
3
4 + 7
6 + 10
=
5
= 11
= 16
As jy gelyke hoeveelhede by gelyke hoeveelhede tel, kry jy gelyke hoeveelhede.
Dieselfde geld vir aftrekking.
VOORBEELD 4 (VOORBEELD 2 HERBESOEK)
Los op vir x en y: x + y = 9
(1)
x − y = 1
(2)
As ons die vergelykings in kolomvorm optel, sal die veranderlike, y , kanselleer:
(1) + (2):
(1):
⊕
x
x
2x
5
+
y
− y
.
+
x
y
y
A1.2
=
=
=
=
=
=
9
1
10
Dus: x = 5 en y = 4 . Beslis vinniger as laas!
5
9
4

VOORBEELD 5
6 / 9
Los op vir x en y: x + 3y
= − 7 (1)
x − y = 5 (2)
As ons die vergelykings in kolomvorm aftrek, sal die veranderlike, x , kanselleer:
(1) - (2)
−
x
x
.
+
3y
− y
4y
x – x = 0 ; 3y – (-y) = 4y ; -7 – 5 = -12
(2):
Dus: x = 2 en y = − 3.
VOORBEELD 6
x
−
( −3)
x
=
=
y
2
A1.2
5
= − 7
=
=
=
5
−12
− 3
Los op vir x en y: 5x + 2y
= −1
(1)
4x − 2y
= − 8 (2)
As ons die vergelykings in kolomvorm optel, sal die veranderlike, y , kanselleer:
(1) + (2)
(1):
⊕
5(
−1)
Dus: x = −1
en y = 2 .
5x
+
2y
4x
− 2y
= − 8
9x
. = − 9
+
2y
2y
y
=
=
=
x
4
2
= −1
=
−1
−1

REЁL
7 / 9
Kyk watter veranderlike-kolom (x of y) se koëffisiënte is numeries gelyk.
As die tekens van daardie koëffisiënte teenoorgesteld is, tel vergelykings op.
As die tekens dieselfde is, trek af.
OEFENING 1.5
Doen nou die volgende met die eliminasie-metode.
Los op vir x en y:
1. x + y = 11
x − y = 5
2. 2 x + y = 2
x + y = 7
3. x + 2y
= 8
x − y = 2
4. 4 x − 3y
= 10
4 x + y = 2
5. 2 x + y = 4
3 x − y = 12
6. x − y = 1
En nou?
2 x +
3y
= 7
A1.2

MOEILIKER ELIMINASIE
VOORBEELD 7
8 / 9
Los op vir x en y: x + y = − 3 (1)
4x + 3y
= − 8 (2)
Ons kan nie die reël gebruik nie; geeneen van die veranderlike-kolomme se
koëffisiënte is gelyk nie. Ons weet egter dat ons ‘n vergelyking dwarsdeur met
dieselfde getal kan maal. In vergelyking (1) sal ons òf ‘n 4 voor die x wou hê
òf ‘n 3 voor die y. Jy moet kies.
(1) x 4: 4x + 4y
= −12
(3)
(2): 4x + 3y
= − 8
(3) – (2): . y = − 4
(1): x + ( −4)
= − 3
x = 1
Dus: x = 1 en y = − 4 .
VOORBEELD 8
Los op vir x en y: 3 x + 2y
= 9 ...(1)
4x − 3y
= − 5 ...(2)
Ons kan nie die reël gebruik nie; geeneen van die veranderlike-kolomme se
koëffisiënte is gelyk nie. Dit gaan ook nie help om een vergelyking met iets te
maal nie. Jy kan egter beide koëffisiënte van ‘n kolom na die KGV van die
koëffisiënte werk. Bv. die y-kolom: 2x3=6 en 3x2=6.
(1) x 3: 9 x + 6y
= 27 ...(3)
(2) x 2: 8x − 6y
= −10
...(4)
(3) + (4): 17 x . = 17
x = 1
(1): 3 ( 1)
+ 2y
= 9
y = 3
Dus: x =
1 en y = 3
A1.2

OEFENING 1.6
Los op vir x en y:
1. 2 x + 3y
= 7
x − y = 1
2. 3 x + 2y
= 4
3 x + y = 7
3. 2x − y = −10
3x + 2y
= −1
4. 4 x − 3y
= 6
3 x + 2y
= 13
5. 3 x + 4y
= 14
2 x + 5y
= 21
6. 5 x − 3y
= 1
4x − 6y
= −10
7. 5x − 2y
= −1
8 x − 5y
= 2
8. 5 x − 3y
= 17
3 x − y = 8
9. 2 x − 3y
+ 4 = 21
3 x − y + 2 = 17
Mr D
9 / 9
A1.2