87|5 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Bayesiaanse
evenredigheid
EN hEt MONty hAll pROBlEEM
Interessant aan het driedeuren- of Monty Hall probleem is, dat er verschillende
manieren zijn om het juiste antwoord te vinden. [1] Bovendien blijken er ook
meerdere theoretische referentiekaders mogelijk te zijn op basis waarvan dit
probleem benaderd kan worden (kans- resp. speltheoretisch). [2] Het mag toch wel
bijzonder genoemd worden dat dit vraagstuk, dat ruim 20 jaar geleden in de
openbaarheid werd gebracht, de gemoederen nog steeds kan bezighouden.
In dit artikel beperk ik me tot het kanstheoretische
referentiekader of, in termen
van prof. Richard Gill, tot het Monty Hall
probleem als probability puzzle. Zoals
gezegd leiden ook in het geval van het
Monty Hall probleem vele wegen naar
Rome en dat brengt met zich mee dat er
onderscheid gemaakt wordt tussen goede
en minder goede oplossingen. Zo spreekt
Rosenhouse van casual treatments of the
problem die hij als onvolledig kwalificeert. [3]
Een voorbeeld van zo’n casual oplossing is
de volgende: de kans dat de prijs zich achter
de deur bevindt die de kandidaat in eerste
instantie gekozen heeft, is ⅓, en dus is de
kans dat de prijs zich niet achter die deur
bevindt gelijk aan ⅔. Wanneer de quizmaster
(Monty) vervolgens een van de andere
twee deuren opent en er geen prijs te zien
is, betekent dit dat de kans dat de prijs zich
achter de resterende deur bevindt, gelijk is
aan ⅔. Rosenhouse noemt deze oplossing
onvolledig omdat je niet zo maar mag veronderstellen
dat de kans van ⅔ overgaat van
twee deuren naar de resterende deur. [4]
Tijdens het schrijven van mijn boek De
Bayesiaanse Benadering. Basisprincipes en
-technieken van de Bayesiaanse statistiek, dat
binnenkort zal verschijnen bij Academic
Service/SDU, kwam ik op het idee om
het Bayesiaanse evenredigheidsprincipe te
illustreren aan de hand van het driedeurenprobleem.
Ik meen hiermee een ‘volledige’
(in de zin van Rosenhouse) oplossingsstructuur
voor dit probleem geformuleerd te
hebben op basis waarvan bovendien op vrij
eenvoudige wijze een algemene formule is
af te leiden voor de situatie met n deuren,
waarbij de quizmaster k lege deuren opent.
het Bayesiaanse
evenredigheidsprincipe
Binnen de Bayesiaanse statistiek wordt
gebruik gemaakt van het evenredigheidsprincipe
dat geformuleerd wordt als:
posterior ∝ ( prior × likelihood )
De posterior kans op een gebeurtenis is
de kans die wordt bepaald nadat de data
verkregen zijn, terwijl de prior kans de kans
is die wordt bepaald voordat de data bekend
zijn. Het begrip likelihood verwijst naar de
voorwaardelijke kans op de data, gegeven
een bepaalde parameterwaarde of, wat voor
dit artikel van meer belang is, gegeven dat
een bepaalde gebeurtenis zich heeft voorgedaan
of dat iets het geval is.
Volgens het evenredigheidsprincipe is de
posterior kans evenredig (∝) met het product
van prior kans en likelihood. Dit principe
volgt uit de regel van Bayes aangezien
we bij het bepalen van alternatieve posterior
kansen telkens door dezelfde noemer delen:
PA ( i)· PX ( | Ai)
PA ( i | X)
= k
PA ( )· PX ( | A)
∑
j = 1
j j
Centraal staat het begrip voorwaardelijke kans.
Een voorwaardelijke kans is de kans op een
gebeurtenis (A), gegeven dat aan een bepaalde
voorwaarde (B) is voldaan. Deze voorwaardelijke
kans noteren we als P(A | B).
We illustreren de regel van Bayes aan de hand
van een voorbeeld uit Getal & Ruimte. [5]
Om na te gaan of iemand een infectie met
tuberculose heeft gehad, wordt een huidtest
gebruikt, de zogenaamde Mantoux-test. Uit
ervaring is bekend dat van de personen die
tuberculose hebben, 98% positief reageert
op de test (dat wil zeggen dat het testresul-
[ Rob Flohr ]
taat de aanwezigheid van tuberculose bevestigt)
en dat de overige 2% negatief reageert.
Van personen die geen tuberculose hebben,
vertoont 1% tóch een positieve reactie bij
de Mantoux-test.
Van een groep van 10.000 personen, waarvan
er 2 aan tuberculose lijden, ondergaat
iedereen de huidtest.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de
kans dat iemand die positief op de test
reageert, ook werkelijk tuberculose heeft.
Laten we de desbetreffende kansen op een
rijtje zetten. Hierbij is tbc de gebeurtenis
dat de persoon in het voorbeeld de ziekte
heeft, ¬tbc de gebeurtenis waarbij dat niet
het geval is, en pos en neg de gebeurtenissen
van een positief resp. een negatief testresultaat.
De kansen zijn dan:
P( tbc) = 0,0002 ; P( ¬ tbc)
= 0,9998
P( pos | tbc) = 0,98 ; P( neg | tbc)
= 0,02
P( pos | ¬ tbc) = 0,01 ; P( neg | ¬ tbc)
= 0,99
Deze kansen kunnen we in hun onderlinge
samenhang weergeven met behulp van een
boomdiagram; zie figuur 1.
We zien in dat boomdiagram twee takken
die betrekking hebben op een positieve
testuitslag waarvan er één verwijst naar het
hebben van de ziekte. De kans dat iemand
die positief op de test reageert ook werkelijk
tuberculose heeft, P(tbc|pos), berekenen we
daarom als volgt:
E u c l i d E s 8 7 | 5 201