87|5 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

figuur 3 Boomdiagram voor drie
doosjes met bonbons
meerdere lege deuren en de door de
kandidaat in eerste instantie gekozen deur
wordt niet geopend.
het driedeuren-probleem
In een quiz zijn drie gesloten deuren.
Achter één van de drie deuren staat een
prijs, achter de andere twee deuren staat
niets. De deelnemer mag een deur kiezen,
zonder dat deze geopend wordt. Daarna
opent de quizmaster een andere deur: die is
leeg! Hij vraagt vervolgens aan de deelnemer
of deze nog van deur wil wisselen, dus de
andere nog gesloten deur wil kiezen. De
vraag is nu: wat moet de deelnemer doen
om een zo groot mogelijke kans op een prijs
te maken: bij zijn eerste keus blijven of van
deur wisselen?
Als de deelnemer, zonder het te weten,
de deur met de prijs gekozen heeft, dan
heeft de quizmaster de keus tussen twee
deuren. Het toeval bepaalt dan welke deur
hij opent. Maar als de deelnemer een lege
deur kiest, heeft de quizmaster geen keus en
opent hij altijd de andere lege deur. Laten
we aannemen dat de deelnemer deur 1 kiest
en dat de quizmaster deur 2 opent. De vraag
is dan wat verstandig is om te doen: moet
de deelnemer bij deur 1 blijven of moet
hij switchen naar deur 3? We kunnen een
boomdiagram tekenen (als in figuur 4.)
We duiden de kans dat de prijs zich achter
deur n bevindt aan met P(deur n). In eerste
instantie geldt dan dat:
P( deur1) = P( deur2) = P( deur3)
=
Wanneer de prijs zich achter deur 1
bevindt, kan de quizmaster kiezen uit twee
lege deuren: deur 2 (opent2) en deur 3
(opent3). Wanneer de prijs achter deur 3
staat, heeft de quizmaster geen keus en kan
hij alleen deur 2 openen (opent2).
Dit betekent dat we de volgende voorwaar-
1
3
delijke kansen hebben:
P( opent2 | deur 1) = 1 , P( opent3 | deur 1) = 1 en
2
2
P( opent2 | deur 3) = 1
waaruit volgt dat:
P( deur1)· P( opent2 | deur 1) = 1 1 1
3
·
2
= resp.
6
P( deur3)· P( opent2 | deur 3) = 1 1
3
·1 =
3
De voorwaardelijke kansen waar het om gaat zijn echter:
P( deur1| opent 2) , dat wil zeggen de kans dat de prijs achter deur 1 staat onder de
voorwaarde dat de quizmaster deur 2 geopend heeft, en:
P( deur3| opent 2) , zijnde de kans dat de prijs achter deur 3 staat onder de voorwaarde dat
de quizmaster deur 2 geopend heeft.
Toepassing van de formule van Bayes geeft:
P( deur1)· P( opent2 | deur1)
P( deur1| opent2)
=
P( deur1)· P( opent2 | deur1) + P( deur3)· P( opent2 | deur3)
1
6 = = 1
1 1 3
6 + 3
respectievelijk:
P( deur3)· P( opent2 | deur3)
P( deur3| opent2)
=
P( deur1)· P( opent2 | deur1) + P( deur3)· P( opent2 | deur3)
1
3
= = 2
1 1 + 3
6 3
figuur 4 Boomdiagram bij het driedeurenprobleem
Door te switchen naar deur 3 verdubbelt de deelnemer dus de kans op de prijs.
Dezelfde conclusie kunnen we echter ook trekken door te kijken naar de producten van prior en
likelihood. Aan het begin van dit artikel zagen we immers dat:
posterior ∝ prior × likelihood
In dit geval gaat het om prior P( deur 1) resp. P( deur 3) , en de likelihood P( opent2 | deur 1) resp.
P( opent2 | deur 3) . Daarmee komen we tot de volgende producten:
P( deur1)· P( opent2 | deur 1) = 1 en
6
P( deur3) × P( opent2 | deur3)
= 1
3
Hoewel de kansen waar het om draait ⅓ en ⅔ zijn, kunnen we uit de verhouding van de
producten van prior en likelihood al afleiden dat door het veranderen van deur de kans op de
1 1 1 2
prijs verdubbelt, : = : .
6 3 3 3
Omdat in dit vraagstuk bovendien de prior kansen dezelfde zijn, schuilt de oplossing van het
probleem in het vergelijken van het aantal lege deuren dat de quizmaster kan openen en volstaat
het om de likelihood kansen te vergelijken:
P( opent2 | deur 1) = 1 en
2
P( opent2 | deur 3) = 1
Variaties op het driedeuren-probleem
1. In plaats van drie deuren zijn er nu 4 deuren, en de quizmaster opent 2 lege deuren.
E u c l i d E s 8 7 | 5 203