Verslag Regeltechniek 2

Verslag 

Regeltechniek 2 

Door: Arjan Koen en Bert Schultz 

Studenten Werktuigbouw deeltijd 

Cohort 2004

Inhoudsopgave 

1 Inleiding blz. 3 

2 Open lus eerste-orde systeem blz. 4 

3 Gesloten lus P-geregeld eerste orde systeem blz. 6 

4 Gesloten lus PI-geregeld eerste orde systeem blz. 10 

5 Gesloten lus P-geregeld tweede orde systeem blz. 20 

6 Gesloten lus PI-geregeld tweede orde systeem blz. 26 

7 Gesloten lus PID-geregeld tweede orde systeem blz. 35 

8 Dode tijd blz. 51 

9 Samenvatting eerste orde systemen blz. 56 

10 Samenvatting tweede orde systemen blz. 58 

11 Literatuurlijst blz. 60 

Verslag Regeltechniek 2 pagina 2/60

1 Inleiding 

Tijdens de opleiding tot Werktuigbouwkundig Ingenieur wordt van studenten verwacht dat 

zij 2 verslagen maken voor het vak Regeltechniek. Tijdens Regeltechniek 1 is het de 

bedoeling om de regeling te beschrijven van een proces van de eerste-orde. Dit zijn 

processen waar slechts één buffer aanwezig is. 

Voor het verslag van Regeltechniek 2 moeten in Matlab verschillende regelaars ontworpen 

worden. Dit doen we met behulp van een poolbaan, die ons inzicht geeft over de snelheid, 

nauwkeurigheid en demping van een systeem. 

De gebruikte regelaars, zullen aan de hand van de simulaties vergeleken worden met elkaar. 

Van systemen van de eerste orde moet met de volgende systemen gesimuleerd worden: 

Openlus systeem 

P-regelaar 

PI-regelaar 

Van systemen van de tweede orde moet met de volgende systemen gesimuleerd worden: 

P-regelaar 

PI-regelaar 

PID-regelaar 

Hierna moet er bij iedere regelaar wat dode tijd toegevoegd worden, om hier de invloed van 

te kunnen zien. 

De in het verslag omschreven simulaties zijn met behulp van het computersimulatie 

programma Matlab / Simulink gesimuleerd. 

Om dit programma op de juiste manier te voeden, zal de overdrachtsvergelijking van het 

systeem omgezet moeten worden om in te voeren in Matlab. Voor deze uitwerking is kennis 

van lineaire differentiaalvergelijkingen en Laplace transformaties noodzakelijk. 

Onderstaand verslag doet notitie van het uitwerken van de genoemde eerste- en tweede orde 

systemen en de invloed van het gebruik van verschillende regelaars. 


2 Eerste orde openlus systeem 

2.1 Inleiding 

De meest eenvoudige versie van een eerste orde systeem zal hieronder beschreven worden. 

Als eerste zullen we in Matlab het blokschema tekenen. Daarna zullen we de waarden die we 

kunnen wijzigen (in dit geval alleen p ) zodanig aanpassen zodat er een duidelijk verschil 

waarneembaar is. De waarde voor K p staat hier standaard ingesteld op 1. 

2.2 Blokschema 

Dit blokschema bestaat uit een aantal elementen te weten: 

Een bron of ingangssignaal (step) 

De omzetting (transfer FCN) 

Een uitgang (To workspace) 

Het één en ander is in onderstaand figuur weergegeven: 

Figuur: blokschema open lus eerste orde systeem 

Vervolgens zullen we in Matlab aangeven wat de waarden moeten zijn. We hebben 

onderstaande gegevens ingevoerd: 

 

1 

p 

p 4 

K p 1 


2.3 Simulaties 

Als eerste laten we Matlab simuleren met de standaard waarde van p 1. 

De simulatie ziet 

er dan als volgt uit: 

Figuur: grafiek Matlab 

De p heeft in deze grafiek de volgende waarden: 

blauw: p = 1 

rood: p = 4 

Op het moment dat we de p wijzigen in een hogere waarde dan zal dit direct invloed hebben 

op de snelheid. We hebben dit getest door in plaats van 1 

p 

te kiezen voor 4 . Zoals 

te zien in de grafiek duurt het langer voordat de eindwaarde is bereikt (zelfs zo lang dat dit 

niet binnen de ingestelde 10 seconden gaat). 

Conclusie 

Zodra we binnen een eerste orde open lus systeem de p kleiner maken, dan wordt het 

systeem sneller. 

Verslag Regeltechniek 2 pagina 5/60 

p

3 P-geregeld eerste orde systeem 

3.1 Inleiding 

Van de gesloten lus systemen is de P-regelaar de meest eenvoudige regelaar. 

Het is de bedoeling dat er met verschillende waarden voor de Kr gesimuleerd word, om zo de 

invloed aan te tonen van de Kr met betrekking op: 

snelheid 

nauwkeurigheid 

relatieve stabiliteit 

Vervolgens moet er een systeem ontworpen worden, met behulp van een poolbaan. 


3.3 De poolbaan vergelijking 

Figuur: blokschema P-geregeld eerste orde systeem 

Om te komen tot de uiteindelijke simulatie in Matlab met behulp van een poolbaan 

vergelijking, zullen we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt 

uiteindelijk bij het blokschema zoals dit omschreven is in paragraaf 3.2. 

Het is de bedoeling om de karakteristieke vergelijking om te zetten naar een poolbaan 

vergelijking die in Matlab ingevoerd kan worden. 

Overdrachtsfunctie P-geregeld eerste orde systeem: 

U 

Kr Kp 

s 1 

 

Kr Kp 

1 

s 1 

U 

p 

gewenst ( s) gemeten( s) 

p 

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linkerlid van de karakteristieke vergelijking: 

Kr Kp 

1 0 

s 1 

p 


Dit moet worden omgezet naar een poolbaan vergelijking om uiteindelijk in te voeren in 

Matlab: 

Kr Kp 

1 

1 

p ( s ) 

 

 

p 

1 1 

 

1 Kr Kp 

1 s ( ) 

 

p p 

Dit noemen we de poolbaanvergelijking. 

3.4 Poolbaan 

De ingestelde parameters voor deze simulatie zijn: 

Kp 1 

p 2 

Kr 1 

1 

 

p 

Figuur: poolbaan van P-geregeld eerste orde systeem 


Het vierkantje geeft de plaats aan waar de waarde van Kr nul is. 

Deze waarde van Kr is ook te berekenen via de gain. De gain is de noemer van het rechterlid 

uit de poolbaan vergelijking, namelijk: 

Kr Kp 

( ) 

 

p 

 

3.5 Simulaties 

01 ( ) = 0 

2 

Figuur: grafiek P-regelaar eerste orde met verschillende Kr 

De Kr heeft in deze grafiek de volgende waarden: 

blauw: Kr = 1 

rood: Kr = 2 

groen: Kr = 10 

zwart: Kr = 100 


Conclusie 

Snelheid: 

Wat duidelijk te zien is in de grafieken, is als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat 

de snelheid van het systeem ook groter wordt. 

1 

De waarde van s in een P-geregeld eerste orde systeem heeft de vorm: s 

 

Deze waarde is bepaald door de karakteristieke vergelijking op te lossen. 

t 

 

S invullen in 

st 

a e levert 

 

p 

(1 

K pKr ) 

op. 

a e 

1 K pK r 

Dit laat zien dat het systeem sneller wordt naarmate de Kr groter wordt. Dan wordt namelijk 

de uiteindelijke waarde voor de t meer negatief, waardoor de amplitude in de tijd sneller 

afneemt. 

Nauwkeurigheid: 


de nauwkeurigheid van het systeem ook groter wordt. 

1 

De formule voor de statische afwijking is: U statafwijking ( t) U gewenst ( t) 

. 

1 

K K 

De waarde van Kp is een systeemconstante en is niet te veranderen. 

Als de waarde van Kr groter wordt, zal de noemer groter worden, en uiteindelijk de statische 

afwijking kleiner. 

Relatieve stabiliteit: 

Dit is bij een eerste orde proportioneel geregeld proces niet aan de orde. Een systeem gaat 

pas oscilleren, als de waarden die voor de s gevonden worden, complex zijn. Dit kan dus 

alleen bij een kwadratische vergelijking, met een discriminant kleiner dan 0. 

p r 


p

4 PI-geregeld eerste orde systeem 

4.1 Inleiding 

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een PI-regelaar eerste orde systeem. 

De PI- regelaar heeft er dus een extra I-actie bij gekregen ten opzichte van de hiervoor 

beschreven P-regelaar. 


Het blokschema is bij een PI-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab 

aangemaakt ziet dit er als volgt uit: 

De elementen zijn: 


De regelaar (Zero-pole) 

Het systeem (Transfer Fcn) 

Een uitgang (To Workspace) 

Figuur: blokschema PI-geregeld eerste orde systeem 

Aan het systeem kunnen we niets veranderen, dit noemen we de proces parameters. Dit zijn 

K . 

de p en de p 

Aan de regelaar echter wel, we noemen dit de regelparameters. Dit zijn de r K en de i . 

Deze 2 parameters zullen we vervolgens in de volgende paragraaf toelichten met simulaties. 

4.3 De poolbaanvergelijking 

Om te komen tot de uiteindelijke systeemontwerp in Matlab met behulp van een poolbaan 

vergelijking zullen we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt 


rechtdoorgaand 

Hiervoor mag je ook schrijven: , oftewel: 

1 

rondgaand 


1 K 

K 1 

 

p 

r 

i s p s 1 

 

gewenst ( s) ( 

 

) 

gemeten s 

U U 

1 K p 

1 Kr 

1 

i s p s 1 

 

 

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linker lid van de karakteristieke vergelijking. 

Dus: 

1 K p 

1 Kr 

1 

0 

i s p s 1 

1 K p 

Kr 

1 

1 

i s p s 1 

 

1 

 

s 

Kr K p i 

1 

 

 

p 1 

 

s s 

 

 

 

 

 

p 


1 

s 

i 1 1 

 

s 1 

s 

Kr Kp 

 

p i 

4.4 Systeem ontwerpen zonder doorschot 

Als we nu Kr gelijk stellen aan nul dan krijgen we: 

1 

s 

i 1 

 

s 1 

s 

p 

1 

 

0 

Kp 

 

i 

Dan wordt: 

1 

s 0 

 

 

1 

1 

s s 

 

1 

0 s 

 

en: 

i 

1 

s 0 

 

p 

i 

1 

s 

 

p 

p p 

Bij een poolbaan zonder doorschot geldt i p . We zullen nu een poolbaan maken met de 

waarden uit paragraaf 4.3: 

p 1 

K p 2 

Kr 1 

i 10 


Figuur: poolbaan plot eerste orde PI-geregeld systeem 

Kr Kp 

De noemer van het rechterlid noemen we de gain, dus zodra we deze waarde op 

i 

1 

nul stellen zoals we hiervoor gedaan hebben zien we op de poolbaan bij 

1 

en bij een 

gain van nul. Zie de grafiek op pagina 13. 

 

1 

p 


p 

1 

 

i 

i


1 

1 

Op de poolbaan is te zien dat de (blauwe lijn) rechts van de (groene lijn) ligt. Dit 

i 

1 

zorgt ervoor dat het systeem stabiel verloopt. Zodra we de waarde van links van 

komt te liggen zal het systeem onstabiel worden. Dit zullen we in de onderstaande simulatie 

aantonen. 


p 

i 

1 

p

4.5 Systeem ontwerpen met doorschot 

Bij een poolbaan met doorschot geldt i p . Ook hier kiezen we een waarde uit paragraaf 

4.3: 

p 1 

K p 2 

Kr 1 

i 0.01 


1 

1 

Op de poolbaan is te zien dat (groen lijn) rechts van (blauwe lijn) ligt. Om dit te 

p 

bereiken is er een imaginair deel ontstaan. Dit imaginaire is de doorschot. Dus zolang de 

1 

1 

waarde van groter is dan dan zal het systeem zich stabiel gedragen. 

i 

p 

i 


4.7 Simulaties met i 

In deze paragraaf zullen we zoals gezegd gaan zien wat de invloed van deze regelparameters 

is op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit. 

Als eerste zullen we de PI-regelaar simuleren met de volgende waarden: 

p 1 

K p 2 

Kr 1 

i i 

10, 1, 0.1 en 0.01 

Matlab genereert de volgende grafiek: 

Figuur: plot eerste orde PI-geregeld systeem. 

De i heeft in deze grafiek de volgende waarden: 

Rood: i 10 

Groene: i 1 

Blauw: i 0.1 

Paars: i 0.01 


Conclusie 

Een steeds kleiner wordende i heeft de volgende invloed op de snelheid, nauwkeurigheid en 

relatieve stabiliteit: 

Snelheid: 

Naar mate de i kleiner wordt zal het systeem sneller worden. Bij een hoge i zal het lang 

duren voordat de ingestelde waarde gehaald wordt. Bij een lage i is het systeem wel snel 

maar zeer onstabiel. 


Het systeem wordt niet nauwkeuriger, het zal altijd de ingestelde waarde halen. 


Wat zeer goed te zien is in de grafiek is het verschil in stabiliteit, hoe kleiner de i hoe groter 

de oscillatie en hoe kleiner de relatieve stabiliteit. Bij een i van 0.01 zien we een enorme 

uitslag, deze zet over een langere periode door waardoor het uiteindelijk langer duurt voordat 

de ingestelde waarde bereikt wordt. 

4.8 Simulaties met Kr en i 1 

We zullen nu hetzelfde systeem vergelijken met 2 verschillende waarden voor i en 4 

verschillende waarden voor K r . De eerste simulatie die we uitvoeren heeft de volgende 

instellingen: 

 

1 

p 

K p 2 

K r = 1, 2, 10 en 100 

i 1 



Hierbij zijn: 

Rood: Kr = 1 

Groen: Kr = 2 

Blauw: Kr = 10 

Paars: Kr = 100 

Conclusie 

Figuur: plot eerste orde PI-geregeld systeem met verschillende Kr 

Als we een steeds grotere waarde voor Kr invullen dan wordt de regelaar veel sneller. Ook 

wordt de doorschot kleiner naarmate de Kr groter wordt. 


4.9 Simulaties met Kr en i 10 

Bij de 2 e simulatie zullen we de waarde van i wijzigen van 1 naar 10. De instellingen zijn 

dus: 

p 1 

K p 2 

Kr 1, 2,10,100 

i 10 

Met deze instellingen ontstaat de onderstaande grafiek: 

Ook hier geldt: 

Rood: Kr = 1 

Groen: Kr = 2 

Blauw: Kr = 10 

Paars: Kr = 100 

Figuur: plot eerste orde PI-geregeld systeem met verschillende Kr 


Conclusie 

Als we een steeds grotere waarde voor Kr invullen dan wordt de regelaar veel sneller. Bij 

een kleine (1) waarde van i zien we een geringe doorschot, dit zien we niet terug als we de 

waarde van i verhogen (10). 


5 P-geregeld tweede orde systeem 

5.1 Inleiding 

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een P-regelaar van een tweede orde 

systeem. 


de p1, 

p2 

en de Kp. 

Aan de regelaar echter wel; we noemen dit de regelparameter Kr. 

Het is de bedoeling dat er met een poolbaan een systeem ontworpen wordt. Hierna wordt er 

met verschillende waarden voor Kr gesimuleerd, om zo de invloed aan te tonen van de Kr 

met betrekking op: 

snelheid 




Het blokschema is bij een P-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab zijn de 

volgende elementen gebruikt: 


De regelaar (Gain) 

Het systeem (Transfer Fcn1 en Fcn) 



Figuur: blokschema P-geregeld tweede orde systeem 


vergelijking, zullen we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt 


Het is de bedoeling om de karakteristieke vergelijking om te zetten naar een vergelijking die 

in Matlab ingevoerd kan worden. 


De overdrachtsfunctie van een P-geregeld tweede orde systeem: 

U 

Kr Kp 

( s 1)( s 1) 

 

Kr Kp 

1 

( s 1)( s 1) 

U 

p1 p2 

gewenst ( s) gemeten( s) 

p1 p2 

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linker lid van de karakteristieke vergelijking: 

 

Kr Kp 

1 0 

( s 1)( s 1) 

p1 p2 


Matlab: 

Kr Kp 

 

1 

1 1 

p1( s ) p2 

( s ) 

 

 

 

p1 p2 

Kr Kp 1 

1 

1 1 

p1 

p2 

( s ) ( s ) 

 

p1 p2 

1 1 

 

1 1 Kr Kp 

( s ) ( s ) 

 

p1 p2 p1 p2 

Dit is de poolbaanvergelijking. 

Om de simulatie in te voeren Matlab, moet de noemer van het linkerlid omgeschreven 

worden naar een functie van s. Dit gaat als volgt: 

 

 

1 1 1 

 

 

2 

s s s 

p1 p2 p1 p2 

1 1 1 

s ( ) s s 

 

5.4 Poolbaan 

2 1 0 

p1 p2 p1 p2 


 

1 1 p 

p2 

2 

Kp 1 


5.5 Systeem ontwerpen 

Figuur: poolbaan P-geregeld tweede orde systeem 

Er is in de grafiek gekozen om een systeem te ontwerpen met een β van ongeveer 0,7 (0,724). 

Dit is een licht gedempt systeem. De snelheid die bij dit punt hoort is 0,714 rad/sec. 

De gain is in grafiek af te lezen en is 0,573. Deze is ook te berekenen volgens de formule: 

1 1 

gain s s 

 

p1 p2 

Hiermee kunnen we de waarde van de Kr uitrekenen: 

gain = 

Kr Kp 

0,573 

 

p1 p2 

Met een p1 

Kr 1 0,573 

1 2 

van 1 seconde, een p2 

Kr = 1,146 

 

1 

p 

2 

1 

 

 

2 2 2 2 

0,25 0,714 0,25 0,714 = 0,5723. 

van 2 seconden en een Kp van 1, levert dit: 


p1

De Kr is ook te berekenen via de absolute lengtes van de lijnen tussen de nulpunten en de 

gekozen gain. Dit allemaal ingevuld in de poolbaanvergelijking geeft: 

1 1 

 

1 1 Kr Kp 

s s ( ) 

p1 

p2 

 

p1 p2 

 

2 2 2 2 Kr 1 

( 0, 25 0,714 ) ( 0, 25 0,714 ) ( ) 

1 2 

De berekende piektijd bij gebruik van een Kr van 1,146 is: 

1 1 Kr Kp 

s s ( ) 

 

p1 p2 p1 p2 

Kr = 1,145 

0,714 rad/s 

2 

 

T 

 

2 

T 2,8 

0,714 

De piektijd is een ½ T dus piektijd = 2,8 

4,4 seconden. 

2 

Conclusie 

Piektijd = ½ T 

Figuur: grafiek P-geregeld tweede orde systeem 

Wat te zien is, dat de berekende waarde voor de piektijd, overeen komt met de waarde in de 

grafiek. 


5.6 Simulaties met Kr 



Als eerste zullen we de P-regelaar simuleren met de volgende waarden: 

1 1 p 

p2 

2 

Kp 1 

Kr = 1, 2, 10 en 100. 


Voor de waarden van Kr geldt: 

blauw: Kr = 1 

rood: Kr = 2 

groen: Kr = 10 

zwart: Kr = 100 



Conclusie 

Snelheid: 


de snelheid van het systeem ook groter wordt. 



de nauwkeurigheid van het systeem ook groter wordt. 

De waarde van Kp is een systeemconstante en is niet te veranderen. 


Hoe kleiner de Kr gekozen wordt, hoe stabieler het systeem is. Dit gaat echter wel ten koste 

van de snelheid. Er is wel in alle simulaties een doorschot te zien. 


6 PI-geregeld tweede orde systeem 

6.1 Inleiding 

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een PI-regelaar van een tweede orde 

systeem. 


de p1, 

p2 

en de p 

K . 

Aan de regelaar daar echter wel; we noemen dit de regelparameters Kr en i . 

Het is de bedoeling dat er met verschillende waarden voor Kr en i gesimuleerd wordt, om 

zo de invloed aan te tonen van de Kr en i met betrekking op: 

snelheid 




Het blokschema is bij een PI-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab 




De regelaar (Zero-pole) 

Het systeem (Transfer Fcn en Fcn1) 



Figuur: blokschema PI-geregeld tweede orde systeem 


vergelijking zullen, we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt 


Het is de bedoeling om de karakteristieke vergelijking om te zetten naar een vergelijking die 

in Matlab ingevoerd kan worden. 


De overdrachtsfunctie van een PI-geregeld tweede orde systeem: 

Kr( is 

1) 

Kp 

s ( s 1)( s 1) 

i p1 p2 

U gewenst ( s) gemeten ( s) 

U 

Kr ( is 

1) 

Kp 

1 

s ( s 1)( s 1) 

i p1 p2 

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linker lid van de karakteristieke vergelijking: 

 

Kr ( is 

1) 

Kp 

1 0 

s ( s 1)( s 1) 

i p1 p2 


Matlab: 

 

1 

s 

i 

1 

 

1 1 Kr Kp 

s( s ) ( s ) 

 

p1 p2 p1 p2 

Dit is de poolbaanvergelijking. 

Om de simulatie in te voeren Matlab, moet de noemer van het linkerlid omgeschreven 

worden naar een functie van s. Dit gaat als volgt: 

 

 

1 1 1 

s s s s 

 

2 

( ) 

p1 p2 p1 p2 

1 1 1 

 

3 2 

s ( ) s s 

6.4 Poolbaan 

p1 p2 p1 p2 


 

p1 

0.5 

p2 

2 

K p 1 

Kr 1 

i 

2 



Het linker punt is: 

Het rechter punt is: 

En: 

1 

 

p1 

Figuur: poolbaan PI geregeld tweede orde systeem 

1 

 

p1 

1 

p 

2 

1 

i 

oftewel 

oftewel 

oftewel 

1 2 

0.5 

1 0.5 

2 

1 0.5 

2 

1 

p 

2 

1 

i 



We hebben een punt op de poolbaan gekozen voor een licht gedempt systeem met 

een 0.7 . De gain is in de poolbaan 1,61. Hiermee kunnen we de waarde van de Kr 

uitrekenen: 

Kr Kp 

1.61 

 

p1 p2 

Als de bovenstaande gegevens ingevuld worden, levert dit: 

Kr 1 1.61 

0.5 2 

Kr = 1,61 

Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem 


De berekende piektijd bij gebruik van een Kr van 1,61 is: 

0.783rad/s 

 

2 

 

T 

De piektijd is een ½ T dus piektijd = 8.02 

4.01seconden. 

2 


Conclusie 


2 

T 8.02 seconden 

0.783 

Piektijd = ½ T 

Wat te zien is, dat de berekende waarde voor de piektijd, overeen komt met de waarde in de 

grafiek. 


6.6 Simulaties met Kr 



In de vorige paragraaf hebben we via de poolbaan bepaald wat de Kr waarde is. Om nu te 

kijken wat de invloed is van de Kr op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit 

hebben we naast de gevonden waarde van K r = 1.61 nog 2 waarden op de poolbaan gekozen, 

te weten: 

gain = 1.19 0.917 

K 1.19 

gain = 0.997 1 K 0.997 

Deze 3 waarden voor de Kr hebben we vervolgens in Matlab ingevoerd om te kijken wat de 

invloed is. 


Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem met verschillende waarde voor Kr 

r 

r 


Waarbij: 

rode lijn: Kr 0.997 

groene lijn: Kr 1.19 

blauwe lijn: Kr 1.62 

Conclusie 

Snelheid: 

Naarmate we de waarde van Kr verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de 

snelheid zien we ook doorslag ontstaan. 


Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. 


Naarmate de Kr waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. 


6.7 Simulaties met i 

Vervolgens zullen we de regelaar gaan simuleren met verschillende waarden voor i . 

We zullen de PI-regelaar simuleren met de volgende waarden: 

1 1 p 

p2 

2 

K p 1 

Kr 1 

i 0.5, 1, 5 en 10 


Waarbij: 

Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem met verschillende waarde voor i 

Rode lijn: i 0.5 

Groene lijn: i 1 

Paarse lijn: i 5 

Blauwe lijn: i 10 


Conclusie 

Snelheid: 

Naarmate we de waarde van i verkleinen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de 

snelheid zien we ook de doorslag toenemen. In beide uiterste gevallen (dus i 0,5 en 

i 10) duurt het heel lang voor dat de waarde bereikt is. In het ene geval doordat het 

systeem blijft oscilleren, in het andere geval omdat het systeem heel langzaam de ingestelde 

waarde bereikt. 




Naarmate de i waarde kleiner wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Bij een 

waarde van i 0.1 zien we dat het systeem heel lang door blijft oscilleren. 


7 PID-geregeld tweede orde systeem 

7.1 Inleiding 

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een proportioneel integrerend 

differentiërend (PID) tweede orde systeem. Dit PID-systeem zullen we beoordelen met 

behulp van de 4 regelparameters, te weten r K , i , d en a (de tamheidsfactor). Aan de 

procesparameters kunnen we niets veranderen, dit zijn p1, 

p2 

en de K p . 

Ook bij dit systeem zullen we bekijken wat de invloed is van deze regelparameters op de: 

Snelheid 

Nauwkeurigheid 

Relatieve stabiliteit 


Het blokschema is bij een PID-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab 



Een bron of ingangssignaal (Step) 

De Regelaar (Zero Pole) 

Het systeem (Transfer Fcn en Fcn1) 

Een uitgang (To Workspace 

Figuur: blokschema Matlab PID tweede orde systeem 

Verder uitgesplitst, zien we dat de regelaar bestaat uit: 

De P-actie r K 

De I-actie 

1 

s 

i 

s 

De D-actie 

s d 1 

s a 1 

d 


Het systeem is hier als 2 blokken getekend maar bestaat in werkelijkheid uit 1 systeem: 

K 

( s 1) ( s 1) 

p 

p1 p2 

Samengevoegd ziet dit er als volgt uit: 

Bovenstaand blokschema zullen we straks nodig hebben om de poolbaanvergelijking op te 

stellen. 

7.3 De poolbaanvergelijking 

Om tot een uiteindelijke poolbaan te kunnen komen zullen we eerst de poolbaan vergelijking 

op moeten stellen. Dit doen we op basis van het blokschema uit paragraaf 7.2. 

Hierbij geld: 1 + rondgaand = 0 

1 

s 

i s d 1 

1 

1 Kr K 

p 

 

0 

s s a d 1 ( s p1 1) ( s p2 

1) 

 

 

1 1 

s d s 

 

 

i 

d 

1 

 

 

1 

s 1 

a 

1 1 

d s p1 s p2 

s 

a 

d 

 

p1 

p2 

 

1 1 

s s 

i d 

1 

 

 

 

1 1 1 Kr K p 

s s s s 

a 

 

d p1 p2 

 


p1 p2 

a 


Van deze poolbaanvergelijking is het linkerlid het deel wat we straks in gaan voeren in 

Matlab, het rechterdeel noemen we de gain. Met deze gain gaan we net als bij de andere 

regelaars later de Kr bepalen. Ook hier gaan we straks een slim punt op de poolbaan kiezen 

(een punt wat overeen komt met de verwachting). 

Na het bepalen van de r K , zullen we in een simulatie gaan bekijken of deze Kr aan de 

verwachtingen voldoet. 

7.4 De poolbaan 

Voordat we de poolbaan door Matlab kunnen laten genereren, moeten we eerst de teller en 

noemer omschrijven naar voor Matlab begrijpelijke commando’s. Dit gaat als volgt: 

De poolbaan vergelijking is: 

1 1 

s s 

i d 

1 

 

 

 

1 1 1 Kr K p 

s s s s 

a 

 

d p1 p2 

 

p1 p2 

a 

Als we de teller van het linkerlid uitvermenigvuldigen staat er: 

1 1 1 1 

s 

s 

d i i d 

2 1 

Invoer in matlab wordt dan: 

teller=[1 ((1/taud)+(1/taui)) (1/(taui*taud))]; 

Hetzelfde doen we voor de noemer van het linker lid: 

1 1 1 

s s s s 

a 

 

d p1 p2 

 

Uitvermenigvuldigd geeft dit: 

1 1 1 1 1 1 1 

s s s s 

 

 

a a a a 

 

4 3 2 1 

p1 p2 d p1 p2 d p1 d p2 d p1 p2 

 


Invoer in Matlab wordt dan: 

noemer=[1 (1/(a*taud)+1/taup1+1/taup2) 

(1/(a*taud*taup1)+1/(a*taud*taup2)+1/(taup1*taup2)) (1/(a*taud*taup1*taup2)) 0]; 

Het verschil met het PI-geregeld tweede orde system t.o.v. een PID-geregeld tweede orde 

systeem is dat er in de poolbaan een extra pool en een extra punt bijkomen. Onderstaande 

plot maakt het een en ander duidelijk. 

Het linker punt is: 

Het 2e punt is: 



1 

d 

1 

p 

2 

1 

 

p1 

1 

i 

1 

d 

1 

p 

2 

Figuur: PID tweede orde systeem poolbaan 

1 oftewel 2.22 

0.45 

1 oftewel 2 

0.5 

oftewel 

oftewel 

1 0.5 

2 

1 0.4 

2.5 

1 

 


p1 

1 

i


7.5.1 Simulaties met Kr 

Nadat de poolbaanvergelijking is ingevoerd in Matlab kunnen we beginnen met het 

ontwerpen van het PID systeem. 

Om tot een slim gekozen Kr waarde te komen zal eerst een poolbaan gecreëerd moeten 

worden. Met de volgende waarden ingevoerd in Matlab: 

Kr 2 

i 2.5 

a 0.9 

d 0.45 

K p 1 

p2 

0.5 

p1 

2 

Matlab genereert onderstaande grafiek 



We hebben op de poolbaan een punt gekozen met een 0.7 (0.703), zoals te zien geeft dit 

een gain van 2,57. 

Met deze gain gaan we de Kr bepalen, dit doen we zoals gezegd m.b.v. het rechterlid van de 

poolbaanvergelijking (zie paragraaf 7.3). 

2.57 

K K 

r p 

p1 p2 

a 

Met de waardes ingevuld: 

2.57 

K 1 

r 

2 0.5 0.9 

 

2.57 2 0.5 0.9 

Kr 

2.313 

1 

Om nu te kijken of het gekozen punt op de poolbaan voldoet aan de verwachting, gaan we 

dezelfde exercitie uitvoeren met nog 2 punten op de poolbaan. 

De andere punten zijn: 

Gain = 5.85 0.478 K 6.5 

Gain = 1.04 1 K 0.936 


r 

r 


Waarbij: 

groene lijn: Kr 6.5 

rode lijn: Kr 2.313 

blauwe lijn: Kr 0.936 

De berekende piektijd bij gebruik van een Kr van 2.31 is: 

1.18 rad/s 

2 

 

T 

De piektijd is een ½ T dus piektijd = 5.32 

2.66 seconden. 

2 

2 

T 5.32 

1.18 

Als we nu Matlab de grafiek laten genereren met een Kr van 2.313 dan zien we dat de 

berekende piektijd overeen komt met de zichtbare piektijd in de grafiek. 

Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem 


Conclusie 

Snelheid: 


snelheid zien we ook de doorslag toenemen. De door ons op de poolbaan gekozen waarde 

van 2.313 laat geen doorslag zien. 






7.5.2 Simulatie met i 

Voor het simuleren van de i zijn we uitgegaan van de instellingen uit de vorige paragraaf, te 

weten: 

r 

K 2.313 

i 1, i 2.5 en i 

a 0.9 

d 0.45 

K p 1 

p2 

0.5 

p1 

2 

5 


Waarbij: 

groene lijn: i 5 

rode lijn: i 2.5 

blauwe lijn: i 

1 

Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem invloed i 


Conclusie 

Snelheid: 

Naarmate we de waarde van i verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de 

snelheid zien we ook de doorslag toenemen 




Naarmate de i waarde kleiner wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. 


7.5.3 Simulatie met d 

Bij deze simulatie van het PID systeem gaan we kijken wat de invloed is van de d . Net als 

bij de simulaties van de r K en i gebruiken we dezelfde instellingen van de regelaar. Voor 

de d gebruiken we nog 2 andere waarden als vergelijking. 

Kr 2.313 

i 2.5 

a 0.9 

d 0.01, 0.6 en 10 

K p 1 

p2 

0.5 

p1 

2 


Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem invloed d 


Waarbij: 

blauwe lijn: d 0.01 

rode lijn: d 0.6 

groene lijn: d 10 

Conclusie 

Snelheid: 

Naarmate we de waarde van d verhogen, zien we dat de snelheid iets toeneemt. 




Naarmate de d waarde groter wordt zal het systeem steeds meer doorschot vertonen. 


7.5.4 Simulatie met tamheidsfactor a 

Als laatste zullen we gaan bekijken wat de invloed is van de zogenaamde tamheidsfactor a of 

thf. De waarden die gebruikt zijn: 

Kr 2.313 

i 2.5 

a 5, 0.9 en 0.2 

d 0.45 

K p 1 

p2 

0.5 

p1 

2 


Waarbij: 

blauwe lijn: a = 5 

rode lijn: a = 0.9 

groene lijn: a = 0.2 

Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem invloed a 


Conclusie 

Snelheid: 

Naarmate we de waarde van a verhogen, zien we dat de snelheid afneemt. 




Naarmate de a waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Er treedt een 

doorschot op 


7.7 Samengestelde grafiek 

Om de verschillen tussen tweede orde systemen inzichtelijker te maken hebben we de P, PI 

en PID tweede orde systemen in 1 grafiek gezet. De waarden voor de regelparameters hebben 

we als volgt gekozen: 

Kr 1 

i 1 

a 0.5 

 

d 0.45 

De waarden van de systeemparameters zijn: 

 

K p 1 

 

p2 

2 

1 1 p 

De P- en PI tweede orde systemen hebben we in eerdere hoofdstukken met dezelfde waarden 

gesimuleerd; het PID systeem echter heeft afwijkende waarden voor wat betreft enkele 

parameters. Niet te min geeft het een aardig overzicht van de verschillen tussen de drie 

tweede orde systemen. 


Figuur: 3 regelaars in 1 grafiek 


Waarbij: 

Blauw: P-geregeld 

Rood: PI-geregeld 

Groen: PID-geregeld 

Conclusie 

P-regelaar 

Bij de P-regelaar is een grote statische afwijking te zien. Het systeem is wel snel ten opzichte 

van de andere twee regelaars. Het heeft een lichte doorschot. 

PI-regelaar 

Dit systeem is nauwkeuriger geworden dan het systeem met de P-regelaar. Dit is echter wel 

ten koste gegaan van de snelheid. 

PID-regelaar 

Dit systeem heeft een betere demping gekregen door de extra D-actie. 


8 Dode tijd 

8.1 Eerste orde openlus systeem met dode tijd 

We zullen nu per regelaar gaan bekijken wat de invloed is van dode tijd op de regelaar. We 

hebben per regelaar de waarden voor de variabelen aangehouden zoals we die ook in het 

verslag hebben gebruikt. 

Het eerste systeem betreft het eerste orde open lus systeem. Het Matlab blokschema ziet er na 

invoeging van de dode tijd uit zoals onderstaand figuur: 

Figuur: blokschema open lus eerste orde systeem met dode tijd 

Als we voor de dode tijd 1 seconde nemen en de andere waarden laten we gelijk dan 

genereert Matlab de volgende grafiek: 

Figuur: grafiek open lus eerste orde systeem met en zonder dode tijd 


8.2 P-geregeld eerste orde systeem met dode tijd 

De 2 e regelaar uit ons verslag is een P-geregeld eerste orde systeem. Ook hier passen we 

dezelfde truc toe op onderstaand Matlab model. 

Figuur: blokschema P-geregeld eerste orde systeem met dode tijd 

Als we voor de dode tijd 2 seconden nemen en de andere waarden laten we gelijk, dan 

genereert Matlab de volgende grafiek: 

Figuur: grafiek P-geregeld eerste orde systeem met en zonder dode tijd 


8.3 PI-geregeld eerste orde systeem met dode tijd. 

De 3 e regelaar uit de eerste orde serie is het PI-geregelde systeem. Matlab toont ons 

onderstaand model. 

Als input hebben wij gebruikt: 1 

p 

Figuur: blokschema PI-geregeld eerste orde systeem met dode tijd 

, K 2 , 1 

p 

Kr , i 

1 

Als we voor de dode tijd 1 seconde nemen, dan genereert Matlab de volgende grafiek: 

Figuur: grafiek PI-geregeld eerste orde systeem met en zonder dode tijd 


8.4 P-geregeld tweede orde systeem met dode tijd 

De eerste regelaar van de serie tweede orde systemen is een P-geregeld systeem. Na invoer 

van de transport delay geeft dit het volgende blokschema: 

Figuur: blokschema P-geregeld tweede orde systeem met dode tijd 

Als input hebben wij gebruikt: 1 1 p , p2 

2 

, K 1, 

K 1 

Als we voor de dode tijd 2 seconden nemen, dan genereert Matlab de volgende grafiek: 

Figuur: grafiek P-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tijd 

p 

r 


8.5 PI-geregeld tweede orde systeem met dode tijd 

Bij de volgende regelaar hebben we t.o.v. de vorige regelaar een I-actie toegevoegd, het 

blokschema in Matlab ziet er na invoegen van de dode tijd als volgt uit. 

Figuur: blokschema PI-geregeld tweede orde systeem met dode tijd 

Als input hebben wij gebruikt: 1 1 p , p2 

2 

, K 1, 

1 1 

p 

Kr , i 


Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tijd 


8.6 PID-geregeld tweede orde systeem met dode tijd 

Als laatste zullen we de PID geregeld tweede orde systeem gaan simuleren, ook hier moeten 

we eerst de dode tijd “inbouwen”. In Matlab ziet dat er als volgt uit: 

Figuur: blokschema PID-geregeld tweede orde systeem met dode tijd 

Als input hebben wij gebruikt: p1 

2, 

p2 

0.5 

a 0,9 

, K 1, 

K 2 , 2,5 , 0,45, 


Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tijd 

p 

r 


i 

d

9 Samenvatting eerste orde systemen 

9.1 Openlus systeem: 

Een andere p heeft de volgende invloed 

Bij een kleiner wordende p wordt het systeem sneller. 

9.2 P geregeld systeem: 

Een andere Kr heeft de volgende invloed: 

Snelheid: 

Als de Kr groter wordt, zal de snelheid van het systeem groter worden. 


Als de Kr groter wordt, zal de statische afwijking steeds kleiner worden. 


K heeft geen invloed op de relatieve stabiliteit. 

De r 

9.3 PI geregeld systeem: 


Snelheid: 

Als de Kr groter wordt, zal de snelheid van het systeem groter worden. 


De Kr heeft geen invloed op de statische afwijking. Die is bij de PI-regelaar niet aanwezig. 


Bij een grotere Kr zal de doorschot kleiner worden. 

Een andere i heeft de volgende invloed: 

Snelheid: 

Als de i kleiner wordt zal het systeem sneller worden. 


De i heeft geen invloed op de statische afwijking. Die is bij de PI-regelaar niet aanwezig. 


Hoe kleiner de i 

hoe groter de oscillatie. Het duurt veel langer voordat het systeem stabiel 

wordt. 


10 Samenvatting tweede orde systemen 

10.1 P geregeld systeem: 


Snelheid: 

Hoe groter de Kr van de regelaar gekozen wordt, hoe hoger de snelheid van het systeem 

wordt. 


Hoe groter de Kr van de regelaar gekozen wordt, hoe hoger de nauwkeurigheid van het 

systeem wordt. 


Hoe kleiner de Kr gekozen wordt, hoe stabieler het systeem is. Dit gaat echter wel ten koste 

van de snelheid. Er is wel in alle simulaties een doorschot te zien. 

10.2 PI geregeld systeem: 


Snelheid: 


snelheid zien we ook de doorslag toenemen. 






Snelheid: 

Een kleinere i geeft een toename van de snelheid. 




Als de i hoger de Kr wordt, zal de doorslag toenemen. 

Ook duurt het langer voordat het systeem stabiel wordt. 


10.3 PID geregeld systeem: 


Snelheid: 


snelheid zien we ook de doorslag toenemen. De door ons op de poolbaan gekozen waarde 

van 2.313 laat geen doorslag zien. 




Naarmate de Kr waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Bij een 

waarde van Kr 6.5 zien we dat het systeem onstabiel gedrag vertoond. 


Snelheid: 

Als de i kleiner wordt zal het systeem sneller worden. 


De i heeft geen invloed op de statische afwijking. Die is bij de PI-regelaar niet aanwezig. 


Hoe kleiner de i hoe groter de oscillatie. Het duurt veel langer voordat het systeem stabiel 

wordt. 

Een andere d 

Snelheid: 

heeft de volgende invloed: 

Naarmate we de waarde van d verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. 




Naarmate de d waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. 

Een andere tamheidfactor a heeft de volgende invloed: 

Snelheid: 

Naarmate we de waarde van a verhogen, zien we dat de snelheid afneemt. 




Naarmate de a waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Er treedt een 

doorschot op. 


11 Literatuurlijst 

De literatuur die voor dit verslag gebruikt is, bestaat uit: 

Dictaat W130 geschreven door Ir. Klaas Nauta 

Boek Regeltechniek voor HTO deel 1 door Jaap Schrage 

Dictaat Systeemdynamica W110 van InHolland 

Dictaat Wiskunde W033 geschreven door Ir. Klaas Nauta 

Internet

Verslag Regeltechniek 2

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?