Newtonian mechanics

Problem 15.3
Problem 2.8
Problem 2.9
8 OPGAVELØSNINGER 32
Ukendt: Td/T0
Metode: Dæmpet oscillator
Løsning: γ∗
= 2ω0, s˚a γ = ω0. ωd = ω0 1 − (γ/2ω0) 2
Td = 2π
ωd , T0 = 2π Td , s˚a ω0 T0
= ω0
ωd
= 2
√ 3
1. Givet: γ = 0, ω0, F = F0 cos ωt
Ukendt: Begyndelsesbetingelser, som sætter i steady state med det samme
Metode: (Dæmpet) tvungen oscillator
Løsning: x(t) = A cos ω0t + B sin ω0t + F0 cos ωt
m ω2 0−ω2 Steady state: x(t) = F0/m
ω2 0−ω2 cos ωt
Ved t = 0 : x(0) = F0/m
ω2 0−ω2 , ˙x(0) = 0
2 Givet: x = x0 cos(ωt + θ)
Ukendt: x0, θ
Løsning: x(0) = F0/m
ω2 0−ω2 = x0 cos θ
˙x(0) = 0 = −x0 sin θω
Det giver θ = 0, x0 = F0/m
ω2 0−ω2 8.4 Fjedre
Givet: M = 0.1kg, k = 20Nm −1 , lodret bevægelse, strakt snor
Ukendt: Ligevægtsudtræk, dmax, a(dmax)
Metode: Symmetri i oscillation om ligevægtsudtræk
Løsning: Først ligevægtsudtræk d0 = Mg
k = 0.049m. Dernæst dmax via symmetri
om d0 - fjederen m˚a ikke sammenpresses, for s˚a krøller snoren, dvs.
dmax = d0 = 0.049m. Endelig accelerationen i laveste punkt: Retning er opad,
vi har F = −kx = −20 · 0.049N = 0.98N, s˚a |a| = |F |/M = 9.8N
Givet: M, k1, k2
Ukendt: Periode T
Metode: N2, N3, harmonisk oscillator, oversæt til en enkelt fjeder.
Løsning: P˚a M virker tyngdekraft Mg nedad og fjederkraft F2 opad. P˚a
fjeder 1 virker fjederkraft F2 nedad og F1 opad. Ligevægtsudtræk bliver d0 =
Mg
1 1 + , svarende til en enkelt fjeder med (reduceret) fjederkonstant
k1 k2
k = k1k2
k1+k2 . Denne fjeder har periode T = 2π m
k = 2π
m(k1+k2)
k1k2