Newtonian mechanics

Problem 11.3
Problem 11.3
8 OPGAVELØSNINGER 55
F + C + N = 0, dvs. g sin θ = ω2
g
r cos θ ⇔ ω = r tan θ og N = mg cos θ +
mω2r sin θ.
2. Givet: µ
Ukendt: νmin
Metode: Som ovf.
Løsning: Friktionskraften virker langs x-aksen, med størrelsen µN = µm(g cos θ+
ω2r sin θ). Opadbevægelse kræver, at mg sin θ+µm(g cos θ+ω2r sin θ)−mω2r cos θ ≤
0. Løs for lighed mht. ω: g(sin θ + µ cos θ) = ω 2 r(cos θ − µ sin θ) ⇔ ω =
g
r
sin θ+µ cos θ
cos θ−µ sin θ =
g
r
tan θ+µ
1−µ tan θ , νmin = ω
2π
= 1
2π
g
r
tan θ+µ
1−µ tan θ
3. Har ovenfor antaget, at tan θ = 1/µ. Hvis det ikke holder, ses at kuglen aldrig
triller op.
1. Givet: M, m, l, ω1
Ukendt: T1
Metode: Inertimoment
Løsning: I1 = Ml2 + (M + m)l2 = (2M + m)l2 T1 = 1
2I1ω 2 1
1 = 2 (2M + m)l2ω2 1
2. Ukendt: ω2, T2
Metode: Impulsmomentbevarelse
Løsning: L1 = I1ω1 = L2 = I2ω2 ⇔ ω2 = I1
I2 ω1
I2 = 2Ml2 , s˚a ω2 = 2M+m
T2 = 1
2I2ω 2 2
= T1 2M+m
2M
2M ω1
3. Ukendt: ω3 = ω1, T3 = T1
4. Ukendt: v
Metode: Ingen friktion, mekanisk energibevarelse
textbfLøsning: Ide: Kinetisk energi m˚a i O være omsat til potentiel energi.
Denne genomsættes til kinetisk energi, s˚a 1
2mv2 = T2−T1 = T1 m 1 2M+m
2M = 2m 2M l2ω2 1 ,
2M+m
dvs. v = lω1
2M
1. Givet: M, m, l, ω1