Tre-trinns minste kvadraters metode. Beskrivelse av ...

3SLS-estimatoren blir dermed:
(2.11)
Som kan skrives:
(2.13) V(cS) =
-1 11
[ z'x(x ' x) z s
VX(VX) -1 VZ s G1
5
—1 —1
op(X' X)
•
tt •
1 w [{ s1 0 x x ) q
1 j
- z , x(x , x) - 1x , z ,11 1 1G
VX(VX) -1 X 1 Z s i2 Z'XWX) VZ s
1. 1 2 1 G
-1-1 2G
Z?(VX) X'Z i s 21 y(VX) -lx,z2s22 Z'XOCX) X' s
2 G
•
(2.12)
G t X(X'X) -1 X'Z s
1 G1 X(CX)-1x,z sG2
2
G E Z'X(x ? X) -1 X t y.s
1 1
=1
E VX(X X)
i
-1 X'y1 s 2i
2
=1
G
E VXOCX
i-1
V 1 X(X 7 X)X T Z G s iG
Z'X(XCX) 1VZ s GG
G
VX(X' X) -/VZ s GG
hvor s ij -1
betegner elementene i } . Zenner og Theil (1962) (side 58),
{sij
viser at momentmatrisen V(8) er
-1
4. 0(T -1 )
Det kan vises at 3SLS estimatoren i (2.11) er konsistent, asymptotisk
normalfordelt og effisient. Sammenlignet med 2SLS gir 3SLS asymptotisk
bedre egenskaper bare dersom {a.} ikke er diagonal. Hvis den er diagonal,
ij
gir 2SLS og 3SLS sammenfallende estimatorer, idet elementene utenfor
diagonalen i den inverterte matrisen på høyresiden av (2.12) er 0, og
1
S
s..
11