wxMaxima - Gyldendal Norsk Forlag

Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Dypbukt | Mustaparta | Thorstensen | Thorstensen
Digitalt verktøy for Sigma R1
wxMaxima

wxMaxima Sigma R1
Innhold
1 Om wxMaxima 4
1.1 Tilleggspakker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Regning 5
2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Sannsynlighetsregning 6
3.1 Antall kombinasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Antall permutasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Sannsynlighetsfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.1 Binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.2 Hypergeometrisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Vektorregning 8
4.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Lengde av vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Vinkel mellom vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Finne punkter på en parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.6 Finne fart og akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Algebra 14
5.1 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Forkorting og forenkling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4 Løse likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Funksjoner 17
6.1 Tabellverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Toppunkter og bunnpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Vendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7 Geometri 19
2

wxMaxima Sigma R1
Innledning
Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet wxMaxima som digitalt
verktøy i undervisningen i faget «Matematikk R1», studieforbedredende utdanningsprogram.
Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning,
og inneholder referanser til framstillingen der.
Henvisninger fra boka
Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale
verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler
det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk
R1, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2012. I den elektroniske utgaven av
heftet er referansene klikkbare.
Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet
12 Antall permutasjoner 3.2
14 Antall kombinasjoner 3.1
29 Summere sannsynligheter 3.3.1
98 Tegne parameterframstilling 4.4
98 Finne minimumsverdier 6.3
126 Regne ut tabellverdier 6.1
126 Løse tredjegradslikninger 5.4
136 Regne med tallet e 2.1
162 Derivere 6.2
3

wxMaxima Sigma R1
1 Om wxMaxima
wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/) er et grafisk brukergrensesnitt
til Maxima (http://maxima.sourceforge.net/). Dette heftet tar utgangspunkt
i en binærdistribusjon av wxMaxima med norske menyer publisert for Windows
på http://www.moglestu.vgs.no/maxima/. Det finnes også distribusjoner
av wxMaxima for Linux og Mac OS X. Foreløpig må man da bruke engelsk.
Brukere på Linux og Mac burde likevel ha nytte av heftet. 1
Maxima er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. wxMaxima gjør det unødvendig
å huske alle kommandoer. Når du trykker på en knapp eller gjør valg fra
menyene, blir riktig tekstkommando skrevet inn for deg. Det er imidlertid ingenting
i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om du
husker de vanligste kommandoene.
1.1 Tilleggspakker
Det finnes nokså mange utvidelser til Maxima. En del funkasjonalitet som av ulike
grunner ikke er innebygd i Maxima kan lastes inn i programmet ved kommandoen
«load». Mange pakker med slike tilleggsfunksjoner ligger klare sammen med programmet.
For å regne med for eksempel binomisk og hypergeometrisk fordeling i
sannsynlighetsregning skriver du «load (distrib)».
I tillegg kan man laste ned pakker som utvider Maximas funkasjonalitet fra Internett.
Gyldendal Undervisning har laget en samling kommandoer tilpasset norsk
videregående skole. Den installeres slik:
1. Last ned filen «gyldendal.mac» fra http://www.gyldendal.no/sigma/
til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents».
2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen og bla fram til den mappen du lastet ned filen
til.
3. Tast inn «gyldendal.mac» til høyre for «File name:» («Filnavn:») og klikk på
«Open» («Åpne»).
I noen Maximadistribusjoner kan du også velge «Load package…» fra File-menyen.
Fila gyldendal.mac inneholder følgende kommandoer.
– sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader).
1 Den offisielle versjonen av wxMaxima finnes ikke på norsk. Det er fordeler og ulemper uansett
om man velger den offisielle versjonen på engelsk eller dansk eller om man velger den norske
versjonen. Her har vi valgt å beskrive den norske versjonen.
4

wxMaxima Sigma R1
– cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader).
– tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader).
– asind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a.
– acosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a.
– atand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a.
– ntrt(n,a): Finner n-teroten av a.
– lg(a): Finner den logaritmen til a (logaritme med grunntall 10).
– grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer.
– radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader.
Innholdet i fila finner du i vedlegget på side 20.
2 Regning
Du taster inn regnestykker i inntastingsfeltet som på en vanlig lommeregner, med
«⋆» for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Programmet
bruker sirkumfleks (∧) for potenser. På noen datamaskiner må man taste
et mellomrom etter «∧». Det vises for øvrig til digitalt verktøy-heftet for Sigma 1T.
2.1 Noen forhåndsdenerte variabler
Maxima bruker «%» som et tegn for variabler i programmet. Dette er noen av variablene:
Symbol Betydning
% Resultatet på forrige linje
%e Tallet e, Eulers konstant, e ≈ 2,718
%pi Tallet π, forholdet mellom omkrets og diameter,
π ≈ 3,142
%i16 Det som er tastet inn på linje 16, inntasting
nummer 16 etter at programmet startet.
%o16 Resultatet på linje 16, resultatet av inntasting
nummer 16 etter at programmet startet.
%i i = −1 (komplekst tall)
Så for å bruke tallet e, taster du inn «%e» eller trykker på knappen merket med «e».
5

wxMaxima Sigma R1
3 Sannsynlighetsregning
3.1 Antall kombinasjoner
Tallet 5 taster vi inn som «binomial(5,3)». Vi ser at svaret er 10. Alternativt velger
3
vi «Binomialkoeffisient» fra Sannsynlighet-menyen.
3.2 Antall permutasjoner
For at dette skal virke må vi først laste inn fila «functs.mac», som vi gjør med
kommandoen «load(functs)».
Antall permutasjoner av r objekter fra n objekter taster vi nå inn som «permutation(n,
r)».
Eksempel: Antall permutasjoner av 2 objekter fra 5 objekter blir da «permutation(5,2)».
3.3 Sannsynlighetsfordelinger
3.3.1 Binomisk fordeling
Vi velger «Binomisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Der legger vi inn verdier
for n og p. I tillegg taster vi inn i feltet merket med «Antall treff».
Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 29 i læreboka. Kenneth tipper fotball og
krysser av ett kryss på hver av 12 kamper tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for
åtte rette? Hvor stor er sannsynligheten for minst ti rette?
Vi velger «Binomisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Vi setter n til 12, p til
1/3 og «Antall treff» til 8.
6

wxMaxima Sigma R1
Vi gjør om svaret til desimaltall og får at sannsynligheten for åtte rette er
880
≈ 0,01489.
594049
For å finne sannsynligheten for minst ti rette velger vi igjen «Binomisk fordeling»
fra Sannsynlighet-menyen. Vi legger inn verdier for n og p og lar feltene merket
«eller» gi at r ligger mellom 10 og 12. Vi får at sannsynligheten for minst 10 rette
er 0,00054.
3.3.2 Hypergeometrisk fordeling
Vi velger «Hypergeometrisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Der legger vi
inn verdier for n 1, n 2, r 1 + r 2 og r 1.
Eksempel: Vi løser eksempel 17 på s. 27 i læreboka. En eske inneholder 100 datakomponenter
der er 10 defekte. Vi velger ut sju komponenter. Hva er sannsynligheten
for at nøyaktig én er defekt? Hva er sannsynligheten for at minst én er defekt?
7

wxMaxima Sigma R1
Vi velger «Hypergeometrisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Der setter n 1 til
10, n 2 til 100 − 10 = 90, r 1 + r 2 til 7 og r 1 til 1.
Vi får at sannsynligheten for en defekt er 0,389.
For å få sannsynligheten for minst én defekt setter vi n 1 til 10, n 2 til 100 −10 = 90,
r 1 + r 2 til 7 og r 1 til mellom 1 og 100. Da får vi at sannsynligheten for minst en
defekt er 0,533.
4 Vektorregning
Vi lgger inn vektorer på vanlig måte med «[» og «]» som koordinatparenteser.
Eksempel: Vi skal legge inn vektoren −→ r = [2, 5]. Vi taster inn «r : [2, 5]». Da får
vi:
Når vi regner med punkter kan det være praktisk å legge inn koordinatene til vektoren
fra origo til punktet.
Eksempel: Vi har punktene A(5, 3) og B(2, 4) og skal finne −→ AB.
Vi taster «OA : [5, 3]», «OB = [2, 4]». Så finner vi −→ AB med «OB − OA»:
8

wxMaxima Sigma R1
Vi ser at −→ AB = [−3, 1].
4.1 Skalarprodukt
Skalarproduktet av to vektorer finner du ved å bruke et punktum mellom vektorene.
Eksempel: Vi skal regne ut skalarproduktet av −→ u = [2, −3] og −→ v = [−4, −1].
Vi legger inn de to vektorene og skriver inn «u.v». Vi får at svaret er −→ u · −→ v = −5.
Vi kan også bruke valget «Skalarprodukt» fra Algebra-menyen.
4.2 Lengde av vektor
Lengden av en vektor finner vi ved å ta kvadratroten av skalarproduktet av vektoren
med seg selv.
Eksempel: Vi skal finne |[−3, 1]|.
Vi taster inn «u : [−3, 1]» og «sqrt(u.u)»:
9

wxMaxima Sigma R1
Vi ser at svaret er 10 ≈ 3,1623.
Vi kan også bruke menyvalget «Lengden til en vektor» på Algebra-menyen.
4.3 Vinkel mellom vektorer
Vinkelen mellom to vektorer finner vi ved å velge «Vinkelen mellom to vektorer (i
grader)» fra Algebra-menyen. Vi taster inn koordinatene til de to vektorene og får
svaret.
Eksempel: Vi har gitt punktene A(0, −2), B(2, 1) og C(−2, 2), som i eksempel 24
på side 93 i læreboka. Vi skal finne ∠ABC.
Først legger vi inn vektorene fra origo til de tre punktene og finner vektorene
−→
BA = [−2, 3] og −→
BC = [−4, −1].
Så velger vi «Vinkelen mellom to vektorer (i grader)» fra Algebra-menyen. Der
legger vi inn «−2, 3 og −4, −1. Da får vi
10

wxMaxima Sigma R1
Vi finner at vinkelen er på 70,3 ◦ .
4.4 Parameterframstilling
Vi kan tegne parametriserte kurver med menyvalget «Graf 2d» på Grafer-menyen.
Vi klikker på «Varianter» og velger «Parametrisk plott».
Imidlertid kan det være nyttig å taste inn tegnekommandoen selv for å kunne finjustere
innstillingene og for å kunne tegne mer enn en kurve.
Eksempel: Vi skal tegne de to banene A og B fra eksempel 27 på side 98 i læreboka,
altså banene gitt ved
x = 3t
A :
y = 4t − 0,5t2
−4t + 21
B :
y = 3t − 0,5t2 Vi skal tegne de to banene for t ∈ [0, 5].
Vi skriver inn A : [3 ∗ t, 4 ∗ t − 0.5 ∗ t 2 ] og B : [−4 ∗ t + 21,3 ∗ t − 0.5 ∗ t 2 ].
Vi legger merke til at A[1] nå gir x-koordinaten til kurven og A[2] gir y-koordinaten
til kurven.
Selve tegnekommandoen er «wxplot2d()». Første argument er en liste over funksjoner
som skal tegnes. Deretter følger om ønskelig spesifikasjon av hvilke x-verdier
og eventuelt y-verdier vi ønsker. Når vi taster inn
«wxplot2d([['parametric,A[1], A[2], [t, 0, 5], [nticks, 300]],
11

wxMaxima Sigma R1
['parametric, B[1],B[2],[t,0,5],[nticks, 300]]], [x,0,25],[y,0,25]);»
får vi tegnet inn en parametrisert kurve bestående av A sin x-koordinat og A sin ykoordinat
for t-verdier mellom 0 og 5, en parametrisert kurve med B sin x-koordinat
og B sin y-koordinat for t-verdier mellom 0 og 5, hvor vi bruker x ∈ [0, 25] og
y ∈ [0, 25].
4.5 Finne punkter på en parameterframstilling
Vi finner punkter på en parameterframstilling ved å sette inn t-verdier som i et vanlig
funksjonsuttrykk. Dersom vi har lagt inn en parameterframstilling som A, finner vi
punktet på kurven der t = 1 ved å taste «ev(A, t = 1)».
Eksempel: Vi skal finne hvor t = 1 er på kurven gitt ved:
x = 3t
y = 4t − 0,5t 2
Først legger vi inn kurven med A : [3 ∗ t, 4 ∗ t − 0.5 ∗ t 2 ]. Deretter taster vi
«ev(A, t = 1)».
12

wxMaxima Sigma R1
Altså tilsvarer t = 1 punktet (3, 3.5) på kurven.
4.6 Finne fart og akselerasjon
Vi finner fartsvektoren ved å derivere vektorfunksjonen. Vi bruker kommandoen
«diff(r, t)». Dette gir fartsvektoren r ′ . Tilsvarende finner vi akselerasjonsvektoren
ved å derivere fartsvektoren.
Eksempel: Et punkt beveger seg som i eksempel 26 i læreboka, nemlig etter parameterframstillingen
x = t + 1
y = −t 2 + 2t + 3
Vi skal finne fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter 2 sekunder.
Vi legger inn −→ r med funksjonsuttrykkene for x(t) og y(t). Deretter finner vi −→ v og
−→ a med «diff()»:
Når vi har funnet −→ v og −→ a kan vi regne ut verdien av dem for t = 2 med «ev()».
Dette gir fartsvektoren og akselerasjonsvektoren for den bestemte t-verdien. For
å finne farten og akselerasjonen finner vi lengden av fartsvektoren og lengden av
akselerasjonsvekstoren som ovenfor i avsnitt 4.2, med «sqrt(%.$)».
13

wxMaxima Sigma R1
Vi ser at svaret er at farten er 5 og akselerasjonen er 2.
5 Algebra
5.1 Faktorisering
Faktorisering gjøres med «factor()».
Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 3x − 2 på side 120 i læreboka.
Vi taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter skriver
vi inn «factor(%)».
Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 2)(2x − 1).
5.2 Forkorting og forenkling
Maxima har en rekke forskjellige kommandoer som kan brukes til å forenkle uttrykk.
En av de mest anvendelige i R1 er «ratsimp()».
Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket
Vi skriver inn uttrykket og taster «ratsimp(%)».
2x−1
2x2 fra side 120 i læreboka.
+3x−2
14

wxMaxima Sigma R1
Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksem-
pel 2 på side 121 i læreboka, nemlig x2 +2x−8
x2 2x+1
−
−4x+3 2x−6 .
Vi taster inn uttrykket og forenkler med «ratsimp(%)».
5.3 Polynomdivisjon
Vi dividerer med kommandoen «divide()».
Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 − 28x 2 + 21x + 18 med x − 6.
For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt:
Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 − 4x − 3 ti svar med 0 i rest.
15

wxMaxima Sigma R1
5.4 Løse likninger
Mange likninger kan løses med kommandoen «solve()».
Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 7 på side 126 i læreboka,
nemlig
x 3 − 6x 2 + 7x + 4 = 0
Vi taster inn likningen og gir kommandoen «solve(%)».
Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4.
Løsninger som inneholder konstanten %i ignorerer vi fordi de inneholder komplekse
tall.
Eksempel: Vi skal løse likningen i eksempel 8 på side 128.
Vi får:
x 6 − 6x 3 + 5 = 0
De eneste løsningene som ikke inneholder «%i» er x = 5 1
3 = 3 5 og x = 1.
16

wxMaxima Sigma R1
6 Funksjoner
Det er to måter å angi navn på funksjonsuttrykk i Maxima. Du kan tilordne en
variabel et navn f slik:
(%i1) f:2*x+5;
(%o1) 2 x + 5
Men du kan også lage en maxima-funksjon med funksjonsnavnet slik:
(%i1) f(x):=2*x+5;
(%o1) f(x) := 2 x + 5
Begge metoder har sine fordeler. I dette heftet har vi brukt den første metoden.
6.1 Tabellverdier
For å finne funksjonsverdien av et uttrykk i bestemte x-verdier bruker vi kommandoen
«ev()».
Eksempel: Vi har funksjonen f(x) fra side 126 i læreboka, nemlig funksjonen
f(x) = x 3 − 6x 2 + 7x + 4
Vi skal regne ut verdien av funksjonen f for x-verdiene −1, 0, 3 og 5 som bakgrunn
for et fortegnsskjema.
Vi skriver inn funksjonsuttrykket. Deretter skriver vi inn «ev(f, x = [−1, 0, 3, 5])».
6.2 Derivasjon
Vi deriverer med kommandoen «diff(f, x)», der f er funksjonen vi skal derivere og
x er variabelen vi skal derivere med hensyn på.
Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = −x 2 +2x +3 fra side 162 i læreboka.
Vi skriver inn «f : −x∧2+2x+3» og deretter «diff(f, x)». Da får vi at f ′ (x) = −2x+2.
17

wxMaxima Sigma R1
For å regne ut f ′ (2) skriver vi «diff(f, x, 2).
6.3 Toppunkter og bunnpunkter
Eksempel: Vi skal finne minste verdi av funksjonen f fra side 98 gitt ved
f(t) = 50t2 − 294t + 441
Vi legger inn funksjonen som f, vi lar f1 være den deriverte av f og finner når f1 er
null med «solve(f1)». Til slutt regner vi ut verdien av f i nullpunktet.
Vi ser at minste verdi ble 21
5 2 .
Her skulle vi egentlig ha tegnet fortegnslinje for f ′ (t) for å avgjøre om t = 147
5 gir
et toppunkt eller bunnpunkt. Siden x er en hele tiden voksende funksjon, forstår
18

wxMaxima Sigma R1
vi at f(t) har minste verdi når polynomet under rottegnet har minste verdi. Og grafen
til dette polynomet er en parabel med den hule siden oppover og har derfor et
bunnpunkt.
6.4 Vendepunkt
Vi regner ut den dobbeltderiverte og ser på nullpunktene til den.
Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra side 203 i læreboka gitt
ved
f(x) = e 2x − 4e x + 3
Vi legger inn funksjonen med «f : %e ∧ (2x) − 4%e ∧ x + 3». Deretter lar vi f1 være
den deriverte og f2 være den dobbeltderiverte. Til slutt finner vi når f2 er null og
regner ut funksjonsverdien der.
Altså er vendepunktet (0, 0).
7 Geometri
Maxima er ikke er dynamisk geometriprogram. Vi anbefaler at du i stedet bruker et
slikt når du arbeider med geometri på en datamaskin.
19

wxMaxima Sigma R1
Tilleggspakke
Nedenfor følger innholdet i gyldendal.mac, som det henvises til i avsnitt 1.1.
/* Gyldendal undervisning 2009 */
/* --------------------------- */
/* Noen definisjoner som tilpasser maxima videregaaende skole. */
grader2radianer(g):=%pi*g/180$
radianer2grader(r):=r*180/%pi$
sind(u):=float(sin(grader2radianer(u)))$
cosd(u):=float(cos(grader2radianer(u)))$
tand(u):=float(tan(grader2radianer(u)))$
asind(a):=float(radianer2grader(asin(a)))$
acosd(a):=float(radianer2grader(acos(a)))$
atand(a):=float(radianer2grader(atan(a)))$
ntrt(n,a):=float(a^(1/n))$
lg(a):=log(a)/log(10)$
ln(a):=log(a)$
20