MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Lab. 8, Notch-filter.

Stavanger, 28. februar 2012
Det teknisknaturvitenskapelige
fakultet
MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012.
Lab. 8, Notch-filter.
Notch-filter, på norsk ofte kalla sugefilter, er en spesiell type IIR-filter. Kort
oppsummmert består notch-filteret av et nullpunkt på enhetssirkelen for den
frekvensen en ønsker å stanse, og for å oppheve virkningen av nullpunktet for
andre frekvenser er det plassert en pol like innenfor nullpunktet.
I denne øvinga må dere forstå godt hvordan et notch-filter virker. For de fleste
av dere betyr det å bruke en del tid på å gjenoppfriske teorien om IIR-filter og
notch-filter og å besvare teorioppgavene grundig og godt. Se gjerne ei lærebok,
og teoridelen i del 2 her.
Dette er ei nokså arbeidskrevende øving. Derfor er det for de fleste systemene
tegnet opp hvordan de kan implementeres i System Generator, dermed slipper
dere forhåpentligvis mye prøving og feiling når systemene skal implementeres.
Likevel må dere bruke tilstrekkelig tid på virkelig å forstå hva som gjøres i
systemene.
Siste side i oppgaven her er et skjema for egenevaluering av arbeidet.
Den siste sida her skal være første side i deres innlevering.
Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger.
Sentralbord 51 83 10 00. Direkte 51 83 20 16. E-post: karl.skretting@uis.no.

1 Selve oppgaven.
1. Et førsteordens IIR-filter (Notch-filter) som stopper DC-komponenten
kan implementeres med å plassere et nullpunkt i 1 og en pol like innenfor.
Anta at samplingsraten er 50 kHz.
(a) Skriv opp transferfunksjonen for et slik filter når radius for pol er
r p = 31/32.
(b) Skriv så differanseligningen for filteret. Skriv denne på en form som
viser at filteret kan implementeres uten multiplikasjoner.
(c) Plott frekvensresponsen. Bruk gjerne lineær skala og plott både hele
frekvensområde fra 0 Hz til Nyquist-frekvensen, og de lave frekvenser
fra 0 Hz til 500 Hz.
(d) For hvilket frekvensområde dempes amplituden for et sinussignal til
mindre enn halvparten
La nå radius for polen være r p = 63/64.
(e) Skriv differanseligningen for filteret.
(f) Plott frekvensresponsen for dette Notch-filteret.
(g) For hvilket frekvensområde dempes nå amplituden for et sinussignal
til mindre enn halvparten
2. Vi har nå følgende notch-filter
H(z) = 63 − 102z−1 + 63z −2
. (1)
64 − 102z −1 + 62z−2 Anta at samplingsraten er 50 kHz.
(a) Plott frekvensresponsen. Bruk gjerne lineær skala og plott hele frekvensområdet
fra 0 Hz til Nyquist-frekvensen.
(b) Plott et nullpunkt-pol diagram for filteret.
(c) Hva er radius for polen
(d) Hva er vinkel, frekvens, for nullpunktet
(e) Skriv ligningen som viser hvordan filteret kan implementeres med to
multiplikasjoner, 5 addisjoner/subtraksjoner og en skalering, (differanseligningen).
Den ene multiplikasjonen kan i tillegg erstattes med
en skalering og en subtraksjon om ønskelig.
3. Vi har nå et andre-ordens notch-filter med ei bestemt form. Vi setter her
a 0 = 1, b 0 = 1 og b 2 = 1. Vi har da
H(z) =
1 + b 1z −1 + z −2
. (2)
1 + a 1 z −1 + a 2 z−2 Vi får for vinkel for nullpunkt (som er på enhetssirkelen) cos θ n = −0.5b 1 .
Også her antar vi at samplingsraten er 50 kHz.
2

(a) Vis at radius for polen er r p = √ a 2 .
(b) Vis at en for vinkel for pol (som er innenfor enhetssirkelen) har at
cos θ p = −a 1 /2r p .
(c) Finn filterkoeffisientene, her b 1 , a 1 og a 2 , for filteret her når en ønsker
stoppfrekvens på 5 kHz og radius for pol på 0.99.
(d) Skriv differanseligningen for filteret med stoppfrekvens på 5 kHz og
radius for pol på 0.99.
(e) Plott frekvensresponsen for filteret med stoppfrekvens på 5 kHz og
radius for pol på 0.99.
(f) For hvilket frekvensområde dempes amplituden for et sinussignal til
mindre enn halvparten
4. Vi har et Notch-filter som i ligning 2. Vi antar nå at radius for pol er
nesten 1 og at den kan skrives som r p = 1 − k/1024, der k er et lite
positivt heltall.
(a) Vis at a 2 nå kan tilnærmes med a 2 ≈ 1 − k/512.
(b) Hvor stor kan k være for at denne tilnærmelsen gir samme resultat
for a 2 som når det nøyatige uttrykket brukes, og a 2 representeres
som Fix_12_10 (signed 2-er komplement). Et tall med format
Fix_12_10 kan representere alle tall fra og med -2 til (men ikke
inkludert) 2 i steg på 2 −10 = 1/1024.
(c) En ønsker vinkelen for pol lik vinkel for nullpunkt, θ p = θ n eller
cos θ p = cos θ n . Vis at en da får a 1 = b 1 − kb 1 /1024.
(d) Skriv filteret på form som i ligning 2, men bruk kun k og b 1 , en har
som før cos θ n = −0.5b 1 , som parametere.
(e) Skriv differanseligningen som viser hvordan filteret kan implementeres.
5. Vi skal nå bruke resultetene fra forrige lab til å lage et system der AD
og DA omformere kjører på 50 MHz, og der en har et godt anti-aliasingfilter
før nedsampling med en faktor på 1000, så har en oppsampling
med en faktor på 1000 med et godt glattefilter. I øving 7 så en hvordan
disse filtrene kunne implementeres effektivt med CIC-filter og FIR
kompensasjonsfilter på lavere rate.
Dere skal nå lage et system som sender signalet gjennom FPGA-en. Først
i systemet skal det være et effektivt anti-aliasing-filter og nedsampling,
dette er i et subsystem Ned1000, som viser i figur 2. Dette endrer sampleraten
fra 50 MHz til 50 kHz. Sist i systemet skal det være oppsampling
og et effektivt glattefilter, dette er i et subsystem Opp1000, som viser
i figur 3. Selve systemet lab08a viser i figur 1. Dette er som lab07b i
øving 7, med subsystem for antialiasing filter med nedsampling og for
oppsampling med glattefilter. Lag systemet og kommenter hvordan det
3

virker. Sjekk at noen ulike frekvenser, fra ca 100 Hz og opp til 100 kHz,
dempes som forventet.
Se spesielt på resultatet av et innsignal med firkantpulser på frekvens 1
kHz, merk resultatet av utganssignalet her både nå trykknappen er nede
og når den er oppe.
6. Nå skal vi sette to notch-filter inn i systemet i forrige punkt. Disse skal gå
på 50 kHz. En skal kunne velge hvilket notch-filter som skal være aktivt
med trykknapp 1. Systemet kan implementeres som vist i figur 4.
Det ene filteret er et førsteordens notch-filter med stoppfrekvens 0.0,
altså stoppes DC. Radius for pol skal være 63/64. Filteret er altså som
i spørsmål 1 punkt e til g. Dette filteret kan implementeres uten multiplikasjoner
som i figur 5. Fordelen med dette er at en ikke får for stor
forsinkelse i løkka (i simulink–modellen) som bruker forrige utgangsverdi
til å beregne denne utgangsverdien, denne løkka må nemlig gjøres på en
sampleperiode.
Det andre filteret er et andreordens notch-filter som i spørsmål 2, ligning
1. Her bruker en Cmult-blokker, disse kan implementeres uten forsinkelse,
men vi har her valgt å legge forsinkelsen vi skal ha inn i disse
blokkene. Implementasjon av dette notch-filteret vist i figur 6.
Selve systemet lab08b viser i figur 4. Lag systemet og sjekk at det kjører
som forventet. Hvilke frekvenser kan dempes, og hva vil bredden for
stoppbåndet være. Vi regner stoppbåndet som de frekvenser som dempes
til under halvparten.
Se spesielt på resultatet av et innsignal med firkantpulser på frekvens 1
kHz, merk resultatet av utganssignalet her både nå trykknappen er nede
og når den er oppe.
7. Den generelle multiplikasjonsblokka, Mult, krever en forsinkelse på minst
3 tidssteg slik den er implementert i System Generator, dette selv om
sampleraten for signalet i denne blokka er adskillig lavere enn maksimal
samplerate. Dette er litt merkelig, men jeg har ikke funnet ut hvorfor.
Dette skaper problem når en vil implementere et notch-filter der koeffisientene
kan gis inn med parametre, for eksempel b 1 som angir posisjon
for nullpunktet, og radius for pol, r p .
En måte å løse dette på er å oppsample signalet (innen en del av notchfilteret),
for eksempel med en faktor på 4. Da må en huske på at z −1 blir
z −4 og z −2 blir z −8 , og nå har en fått tilstrekkelig med tidssteg til å kunne
utføre den kritiske stien. Til slutt, før signalet går videre så nedsampler
en med en faktor 4 igjen.
I systemet lab08c som viser i figur 7 er det tenkt at subsystemet NotchC
er laget på denne måten. Altså skal en kunne bruke samme subsystem for
å stoppe ulike frekvenser, og stoppfrekvensen angis med å gi tilhørende
4

1 parameter som her er gitt som en konstant i subsystemet. Det sammer
er også radius for pol, r p . Se grundig på figuren og merk dere spesielt
godt hvilke signal som går inn til og ut av de ulike boksene. Prøv å forstå
at dette er en implementasjon av notch-filteret i spørsmål 3.
Selve systemet lab08c viser i figur 7. Lag systemet og sjekk at det kjører
som forventet. Hvilke frekvenser kan dempes, og hva vil bredden for
stoppbåndet være. Vi regner stoppbåndet som de frekvenser som dempes
til under halvparten.
Se spesielt på resultatet av et innsignal med firkantpulser på frekvens 1
kHz, merk resultatet av utganssignalet her både nå trykknappen er nede
og når den er oppe. Forklar hvorfor utsignalet med trykknappen nede
her blir ulikt utsignalet med trykknappen nede i systemet lab08b.
8. Nå har vi laget et bedre fleksibelt notch-filter, det viser i figur 11. Dette
er implementert med et eget lite subsystem som multipliserer et signalsample
y med et lite heltall k uten ekstra forsinkelse, se figur 13.
Nå vil vi lage et system med et virkelig justerbart notch-filter, vi skal
kunne justere både radius for polen, og stoppfrekvensen (vinkelen for
nullpunktet på polen). Dette gjøres med å bygge litt logikk omkring
notch-filteret. Først vil vi koble bryter 1 til en fire-bits teller, slik at
utgangen her blir de fire mest signifikante bit i k, de to minst signifikante
bit er faste 01. Da kan en la k variere mellom verdiene 1, 5, 9, · · · , 61,
med å trykke på bryter 1. Telleren skal øke (telle) hvergang krykknappen
trykkes ned. Implementasjon av denne telleren viser i figur 9.
Dernest ønsker en å ha det slik at når trykknapp 2 trykkes ned så øker
variabelen b1 med en fast verdi som her kalles b1_Inc. Når trykknapp
3 trykkes ned så reduseres variabelen b1 med b1_Inc. Startverdi for
b1_Init kan gjerne være 0. Hva er stoppfrekvensen for Notch-filteret
da Som ekstra funksjonalitet kan en ha at hvis begge bryterne holdes
nede så settes b1 til startverdien. Denne logikkblokka (subsystemet
TellerOppNed) er ikke helt enkel å lage. Prøv å lage denne selv, men
dere kan gjerne se på en mulig implementasjonen i figur 12.
Selve systemet lab08d viser i figur 10. Lag systemet og sjekk at det kjører
som forventet.
5

SSP = 1/2
MIK200 lab8 (lab08a)
System
Generator
Out1
PUSH1_SW
Bool
sel
d0
Fix_12_12
In1
Digital
Fix_12_12
inn
ut
Fix_12_12
inn
ut
Fix_12_12
d1
DAC1 LC
ADC1 LC1
Ned1000
Opp1000
Mux
Figur 1: Systemet lab08a i spørsmål 5.
MIK200, subsystemet Ned1000
Systemet nedsampler et innsignal, antatt format Fix_12_12 og 50 MHz,
til et utsignal med format Fix_12_12 og 50 kHz
1
inn
3−Stage
Fix_12_12
Fix_39_12
2 −27 Fix_39_39
Fix_12_12
Fix_27_13 ↓2 Fix_27_13
2 −11 Fix_27_24
Fix_12_12
In1 CIC Out1
cast
50 tap
z −1
cast
500:1 Decimator
MAC FIR
Convert2
Convert3
Scale2
Down Sample
CIC Filter
2n−tap Linear Phase
Scale3
MAC FIR Filter
1
ut
Figur 2: Systemet Ned1000 som er med i alle modeller.
MIK200, subsystemet Opp1000
Systemet oppsampler et innsignal, antatt format Fix_12_12 og 50 kHz,
til et utsignal med format Fix_12_12 og 50 MHz
1
inn
3−Stage
Fix_12_12
Fix_12_12 Fix_27_13
↑2
2 −10 Fix_27_23
Fix_12_12
Fix_39_12
cast
2 −18 Fix_39_30
Fix_12_12
50 tap
In1 CIC Out1
cast
MAC FIR
1:500 Interpolator
Up Sample
Scale4
Convert4
Convert1
Scale1
2n−tap Linear Phase
CIC Filter1
MAC FIR Filter1
1
ut
Figur 3: Systemet Opp1000 som er med i alle modeller.
SSP = 1/2
MIK200 lab8 (lab08b)
System
Generator
Out1
PUSH1_SW
Bool
↓1000
z −1
Down Sample2
Bool
Her er fs = 50 kHz
Notch00
sel
Digital
Fix_12_12
inn
ut
Fix_12_12
inn
ut
Fix_14_13
d0
Fix_14_13
inn
ut
Fix_12_12
In1
ADC1 LC1
Ned1000
inn
Fix_14_13
ut
d1
Opp1000
DAC1 LC
Notch02
Mux
Figur 4: Systemet lab08b i spørsmål 6.
1
inn
Fast Notch−filter, stoppvinkel: 0.0, r = 63/64
Fix_12_12
z −1
b0 = 1
Fix_12_12
b1 = −1
a
b
Fix_14_13
a − b
a
b
a + b
Fix_14_13
1
ut
Fix_14_7
a
b
2 6 z −1
Fix_21_13
a − b
2 −6
Fix_21_19
Fix_14_13
Figur 5: Systemet Notch00 i lab08b, figur 4.
6

Fast Notch−filter, stoppvinkel: ca 0.2 gange Nyquist−frekvens,
b 0
= 63, b 1
=−102, b 2
=63, a 0
=64, a 1
=−102, a 2
=62
1
inn
Fix_12_12
x(k)
a
z −1 Fix_15_13
b
x(k−2)−y(k−2)
a + b
Fix_16_13
x 63
Fix_23_13
a
b
Fix_24_13
a − b
x(k)
y(k)
a
b
Fix_15_13
a − b
x(k)−y(k)
z −1
Fix_15_13
x 102
Fix_23_13
63[x(k)+x(k−2)−y(k−2)]−102[x(k−1)−y(k−1)]
z −2
Fix_14_13
y(k−2)
a
b
a + b
Fix_25_13
64y(k)
2 −6
Scale
Fix_25_19
cast
Convert
Fix_14_13
y(k)
1
ut
Figur 6: Systemet Notch02 i lab08b, figur 4.
SSP = 1/2
MIK200 lab8 (lab08c)
System
Generator
Out1
PUSH1_SW
Bool
↓1000
z −1
Down Sample2
Bool
Her er fs = 50 kHz
sel
Digital
Fix_12_12
inn
ut
Fix_12_12
d0
Fix_12_12
inn
ut
Fix_12_12
In1
ADC1 LC1
Ned1000
x
y
Fix_12_12
d1
Opp1000
DAC1 LC
NotchC
Mux
Figur 7: Systemet lab08c i spørsmål 7.
Notch−filter for lab08c
fs er 200 kHz (unntatt på inn og utgang der er det 50 kHz)
1
x
Fix_12_12
↑4
Fix_12_12
z −8
Delay
Fix_12_12
a
Fix_13_12
a + b
b
AddSub
a
Fix_17_12
a + b
b
AddSub1
cast
Convert
Fix_12_12
↓4
z −4
Fix_12_12
1
y
−1.6181640625
b1 = −2cos(w)
Fix_12_10
a
b
z −4 (ab)
resultat: a1
a
b
Fix_14_12
z −4 (ab)
Mult1
Fix_14_12
a
b
z −4 (ab)
Mult2
Fix_14_12
a
Fix_16_12
a − b
b
AddSub2
a1*y(k−1)
+ a2*y(k−2)
0.97998046875
radius for pol
Fix_12_11
a
b
z −4 (ab)
resultat: a2
Fix_14_12
a
b
z −8 (ab)
Mult3
Fix_14_12
a
Fix_15_12
a + b
b
AddSub3
Figur 8: Systemet NotchC for systemet lab08c i figur 7. b1 i boksen til venstre
er −2 cos(π/5) avrundet til format 12.10. r i boksen til venstre er 0.98 avrundet
til format 12.11. Begge er sampled constant, merk at det er System Generator
blokker. Periode skal være 250.
7

1
In1
Antall skifte fra 1 (forrige) til 0 (denne) på inngangen telles
Bool
Delay
z −1
not
Bool
Bool
and
z −0
Logical
Bool
not
Inverter1
Bool
Counter
load
din
out
UFix_4_0
1
Out1
Inverter
Figur 9: Systemet Teller1til0 for systemet lab08d i figur 10.
SSP = 1/2
MIK200 lab8 (lab08d)
System
Generator
Fix_12_12
Digital
ADC1 LC1
hi
UFix_2_0
1
lo
Fix_12_12
inn ut
Ned1000
UFix_6_0
x
k
b1
NotchD
y
Fix_16_14
Fix_12_12
inn ut
Opp1000
In1
DAC1 LC
Constant2
Concat
In1
Bool
Out1
PUSH2_SW
↓1000
z −1
Bool
b1
Fix_16_14
0
In2
b1_Init
Fix_16_14
Out1
Bool
Out1
PUSH3_SW
↓1000
z −1
Bool
Fix_16_14
0.015625
delta_b1
b1_Inc
TellerOppNed
Bool
[a:b]
not
Bool
In1
PUSH1_SW1
SliceMSB
Inverter2
DS7_1LED
Out1
Bool
Gir 0 når bryter
trykkes ned
ellers 1
↓1000
z −1
Down Sample
Bool UFix_4_0 Bool Bool
In1
Out1
[a:b]
not
Teller1til0
SliceMSB−1
[a:b]
SliceMSB−2
Bool
Inverter3
not
Inverter1
Bool
In1
DS8_2LED
In1
DS9_3LED
[a:b]
Bool
not
Bool
In1
SliceMSB−3
Inverter4
DS10_4LED
Figur 10: Systemet lab08d i spørsmål 8.
Notch−filter, stoppvinkel varierer med b1 og radius for pol med k,
cos(v) = −b1/2, og r = 1−k/1024
x
1
Fix_12_12
cast
Convert2
Fix_16_14
↑4
Fix_16_14
b0 = 1
a
b2 = 1 a + b
b
z −8 Fix_16_14
AddSub2
Fix_17_14
Delay
3
b1
Fix_16_14
cast
Convert1
Fix_16_14
Fix_16_14
↑4
a
Fix_16_14
a − b
b
AddSub3
a
b
a + b
AddSub5
Fix_17_14
Mult
2 1 Fix_24_23
a
b
z −4 (ab)
a
b
Fix_16_14
a − b
AddSub4
a
b
Fix_16_14
a + b
AddSub1
z −8
Delay1
Fix_18_14
Fix_16_14
a
a + b
b
AddSub
y(n)
Fix_16_14
↓4
z −1
Fix_16_14
1
y
Scale1
2
k
UFix_6_0
cast
Convert
UFix_6_0
↑4
UFix_6_0
y
k
Out1
Fix_24_14
2 −10
Fix_24_24
k_Mult_y
Figur 11: Systemet NotchD for systemet lab08d i figur 10.
8

1
In1
Bool
0 − bryter nede
1 −bryter oppe
not
z −1
Bool
Bool
and
Logical
Bool
Bool
and
z −0
Logical4
Bool
or
z −0
Bool
not
Bool
Logical2
z −1
Bool
z −0 not not
2
In2
Bool
not
Bool
and
z −0
Logical1
Bool
or
z −0
Logical3
Bool
Bool
cast
Fix_16_14
3
b1_Init
AddSub
Bool
sel
d0
d1
Mux
cast
cast
Bool
sel
Fix_16_14
d0
d1
Mux1
Bool
Fix_16_14
sel
Fix_16_14
d0
z −1
d1
Delay2
Mux2
Fix_16_14
1
Out1
Fix_16_14
4
b1_Inc
a
b
a + b
Fix_16_14
a
Fix_16_14
a − b
b
AddSub1
cast
Fix_16_14
Figur 12: Systemet TellerOppNed for systemet lab08d i figur 10.
1
Fix_16_14
Multipliserer y med k (6 bit) uten forsinkelse.
y
y skal være
Fix_16_14
(Signed 2’s comp)
UFix_6_0
2
k
Bool
[a:b]
Bit0
Bool
[a:b]
Bit1
sel
Fix_16_14 Fix_16_14
0
d0
d1
Mux1
sel
Fix_16_13
0
d0
Fix_16_13
d1
a
Fix_18_14
a + b
b
AddSub
Fix_16_13
a
Fix_24_14
a + b
b
AddSub4
1
Out1
k skal være
Mux2
et heltall
mellom
0 og 63
Bit2
[a:b]
Bool
2 2
Fix_16_12
sel
Fix_16_12 Fix_16_12
0
d0
a
Fix_18_12
d1
a + b
b
Mux3
AddSub1
a
b
Fix_21_12
a + b
AddSub3
Bit3
[a:b]
Bool
2 3
Fix_16_11
0
sel
Fix_16_11
d0
d1
Fix_16_11
Mux4
Bit4
[a:b]
Bool
2 4
Fix_16_10
0
sel
Fix_16_10
d0
d1
Fix_16_10
a
b
Fix_18_10
a + b
Mux5
AddSub2
Bit5
[a:b]
Bool
2 5
Fix_16_9
2 1 Mux6
0
Fix_16_9
sel
d0
d1
Fix_16_9
Figur 13: Systemet k Mult y i systemet NotchD i figur 11.
9

2 Litt teori om IIR-filter med mer.
Dette er et noe stikkordspreget og kladdepreget notat over litt teorien fra
signalbehandlingen. Det er det en bør kunne for å få til denne øvinga.
2.1 IIR-filter
Et IIR-filter er et filter med (teoretisk) uendelig impulsrespons. I praksis er det
implementert nesten like enklet som et FIR-filter. Utgangen av et FIR-filter er
vekta sum av inngangssignal ved dette og noen foregående tidspunkt.
y(k) =
N−1
∑
n=0
For eksempel for et boxcar-filter med lengde 4
b(n)x(k − n). (3)
y(k) = x(k) + x(k − 1) + x(k − 2) + x(k − 3) (4)
For et IIR-filter har en med ledd av foregående utganger også.
y(k) =
N−1
∑
n=0
b(n)x(k − n) −
M−1
∑
m=1
a(m)y(k − m) (5)
Merk at andre sum begynner med m = 1. Et eksempel på et IIR-filter er et
AR(1)-filter (her med ρ = 0.95)
y(k) = x(k) + 0.95y(k − 1) (6)
Vi ser ganske enkelt at dette filteret vil få uendlig lang impulsrespons, selv
om utgangsverdiene går mot null så vil de aldri bli helt like null. Dere stusser
gjerne på minustegnet framfor det siste summetegnet i ligning 5. Ved å flytte
summen over på venstre siden, og la a(0) = 1 kan en skrive
M−1
∑
m=0
a(m)y(k − m) = y(k) +
M−1
∑
m=1
a(m)y(k − m) =
Nå kan en ta z-transform på begge sider og får
som gir transferfunksjonen H(z).
N−1
∑
n=0
b(n)x(k − n) (7)
A(z)Y (z) = B(z)X(z) (8)
Y (z) = B(z) X(z) = H(z)X(z) (9)
A(z)
H(z) = Y (z)
X(z) = B(z)
A(z)
(10)
10

En har dermed at H(z) er en brøk med et polynom i telleren B(z) og et polynom
i nevneren A(z). Røttene i tellerpolynomet gir nullpunkt og røttene i nevnerpolynomet
gir poler. Implementering av IIR-filter står beskrevet i Proakis
lærebok i signalbehandling. Også IIR-filter kan ofte (med fordel) implementeres
som en kaskade av andreordensfaktorer. Da har en gjerne god kontroll
over plassering av nullpunkt og poler. Nullpunkt og poler nær hverandre kan
gjerne plasseres i samme blokk, og en får da ofte også ganske god kontroll over
numeriske effekter (avrunding).
2.2 Polplassering for IIR-filter.
Et enkelt andreordens IIR-filter har form
H(z) =
b 0
. (11)
a 0 + a 1 z −1 + a 2 z−2 En kan multipisere med z 2 over og under brøkstreken og får ekvivalent form
H(z) =
b 0 z 2
a 0 z 2 + a 1 z + a 2
. (12)
Polene til denne ligningen finnes tilsvarende som når vi fant nullpunkt for
andreordens FIR-filter i øving 2. Poler er
z 1,2 = 1 (
)
− a 1 ±
√a 2 1 − 4a 0 a 2 (13)
2a 0
og radius og vinkelen er (når a 2 1 ≤ 4a 0 a 2 )
r =
√
a0 a 2
a 0
, cos θ = −a 1
2 √ a 0 a 2
. (14)
For å få stabilt filter må polene være innenfor enhetssirkelen, og det betyr at
r < 1 og følgelig a 2 < a 0 , når a 0 og a 2 er positive.
r < 1 ⇒ 0 ≤ a 2 < a 0 . (15)
For et IIR-filter vil frekvensene nær polene forsterkes.
2.3 Notch-filter.
Et generelt andreordens IIR-filter har form
H(z) = b 0 + b 1 z −1 + b 2 z −2
a 0 + a 1 z −1 + a 2 z −2 = b 0z 2 + b 1 z + b 2
a 0 z 2 + a 1 z + a 2
. (16)
11

Dette kan ganske direkte implementeres med heltallsaritmetikk når koeffisientene
er heltall og a 0 = 2 k der k er et heltall.
Hvis en ønsker at en skal ha verken dempning eller forsterkning ved en bestemt
frekvens, ω 0 , må en justere størrelsen på koeffisientene slik at en får |H(e jω 0
)| =
1. Hvis ω 0 = 0 så får en da for filteret i ligning 16 at
|H(e jω 0
)| = |H(1)| = b 0 + b 1 + b 2
a 0 + a 1 + a 2
. (17)
Notch-filter er et smalt båndstoppfilter. Det har plassert et nullpunkt på enhetssirkelen
ved frekvens som en ønsker å stoppe, og en pol like innenfor.
Effekten er at for frekvenser et stykke fra nullpunkt (og pol) så vil nullpunkt
og pol oppveie hverandre og en får tilnærmet ingen forsterkning eller demping
for disse frekvenser.
Med heltallskoeffisienter har en ikke full frihet, men kan likevel som regel få
plassert nullpunkt og poler ganske nær ønskede posisjoner.
En kan velge koeffisienter på ulike måter. Et eksempel kan være at en setter
a 0 = 2 k , og så velger a 2 = a 0 − 2, b 0 = b 2 = a 0 − 1, og b 1 ≈ −2b 0 cos ω 0 . b 1 er
da et heltall som gjør at nullpunktet kommer nær ønsket vinkel. Videre settes
a 1 = b 1 og polen kommer da nokså nær nullpunktet, men innenfor.
Eksempel med ω 0 = 10 grader og a 0 = 64 gir a 1 = −124, a 2 = 62, b 0 = 63,
b 1 = −124, og b 2 = 63. Dette gir vinkel for nullpunkt 10.2222 grader, radius
for nullpunkt 1, vinkel for pol 10.1821 grader og radius for pol 0.98425.
Jeg har laget ei Matlab-fil, notchfilter.m, som kan brukes for å finne et
notch-filter med heltalls koeffisienter. En kan velge ulike måter å velge nullpunkt
nær en pol. Det er ei ganske stor m-fil med flere muligheter, jeg tror
det går greitt å bruke den ut fra hjelpeteksten (help notchfilter). Men for
å forstå det som gjøres må dere forstå teorien her, og også se i koden i m-fila.
2.4 Eksempel
Avstanden polen til enhetssirkelen styrer hvor smalt (spisst) notch-filteret er.
Vi skal nå vise frekvensresponsen for noen ulike avstander mellom pol og enhetssirkel.
Vi regner nå med flyttall, og setter r til radius for pol, og vinkel er
162 grader. Matlab-kommandoene er:
desibelplot=0;
vinkel = 0.9*180; % gis i grader her
figure(1);clf;
hold on;
colors=’bgrcmyk’;colorindex=1;
12

a0=1; b0=1; b2=1;
b1=-2*cos(pi*vinkel/180);
b=[b0,b1,b2];
for r=[0.995 0.98 0.95 0.9 0.8,0.5,0]
a1=r*b1;
a2=r*r;
a=[a0,a1,a2];
[H,F]=freqz(b,a,2048,’whole’);
Ha=abs(H);
if desibelplot
Hl=20*log10(Ha+1e-8);
plot(F/pi,Hl,[colors(colorindex),’-’]);
else
plot(F/pi,Ha,[colors(colorindex),’-’]);
hand=plot(0.05,0.12*colorindex,[colors(colorindex),’o’]);
set(hand,’MarkerFaceColor’,get(hand,’Color’));
text(0.08,0.12*colorindex,[’ : r = ’,num2str(r)]);
end
colorindex = rem(colorindex,length(colors))+1;
end
grid on;
xlabel(’Normalisert frekvens, 1 er f_N og 2 er f_s.’);
title([’Frekvensrespons for Notch-filter, vinkel er ’,...
num2str(vinkel),’ grader.’]);
if desibelplot
ylabel(’Amplitudeforsterkning i desibel.’);
print(’-f1’,’-depsc2’,’lab08des’);
V = [0.8, 1.2, -18, 2];
axis(V);
print(’-f1’,’-depsc2’,’lab08desz’);
else
V = [0, 2, 0, 2.5];
axis(V);
ylabel(’Amplitudeforsterkning med lineær skala.’);
print(’-f1’,’-depsc2’,’lab08lin’);
V = [0.8, 1.2, 0, 1.25];
axis(V);
print(’-f1’,’-depsc2’,’lab08linz’);
end
Les grunding gjennom Matlab-koden og prøv å forstå alle kommandoer. Kjør
gjerne kommandoene selv, med andre vinkler og se resultatet. I figurene 14 til
17 er resultatet når Matlab-kommandoene over kjøres.
13

2.5
Frekvensrespons for Notch−filter, vinkel er 162 grader.
2
Amplitudeforsterkning med lineær skala.
1.5
1
0.5
: r = 0
: r = 0.5
: r = 0.8
: r = 0.9
: r = 0.95
: r = 0.98
: r = 0.995
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Normalisert frekvens, 1 er f N
og 2 er f s
.
Figur 14: Frekvensrespons for et notch-filter.
Frekvensrespons for Notch−filter, vinkel er 162 grader.
1.2
1
Amplitudeforsterkning med lineær skala.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
Normalisert frekvens, 1 er f og 2 er f .
N s
Figur 15: Frekvensrespons for et notch-filter. Her er det zoom av det sentrale
område i figur 14
14

20
Frekvensrespons for Notch−filter, vinkel er 162 grader.
10
0
Amplitudeforsterkning i desibel.
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Normalisert frekvens, 1 er f N
og 2 er f s
.
Figur 16: Frekvensrespons for et notch-filter.
2
Frekvensrespons for Notch−filter, vinkel er 162 grader.
0
−2
Amplitudeforsterkning i desibel.
−4
−6
−8
−10
−12
−14
−16
−18
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
Normalisert frekvens, 1 er f og 2 er f .
N s
Figur 17: Frekvensrespons for et notch-filter. Her er det zoom av det sentrale
område i figur 16
15

MIK 200 Anvendt signalbehandling.
Lab. 8, Notch-filter.
Student 1
Student 2
Resultat:
(fylles ut av faglærer) godkjent / ikke godkjent
Egenvurdering:
Mål for læringsutbytte er: Forstå teorien som er presentert som bakgrunn for
oppgaven. Bruke og forstå de relevante Matlab-kommandoer. Lage, laste ned,
kjøre og teste de systemene som skal lages i oppgaven.
Dere skal også selv vurdere resultatet av det arbeidet dere har gjort i denne
øvinga, ved selv å gi karakter på deres besvarelse. Karakterskala er den vanlige
fra A (best) til E (dårligst) og F (stryk).
Egenvurderingstabell Student 1 Student 2
Læringsutbytte for teoridel, spørsmål 1-4.
Læringsutbytte for FPGA-del, spørsmål 5-6.
Læringsutbytte for FPGA-del, spørsmål 7-8.
Resultat teoridel, spørsmål 1-4.
Resultat FPGA-del, spørsmål 5-6.
Resultat FPGA-del, spørsmål 7-8.
Kommentarer: