Modelagem matemática no futebol - Programa de Pós-Graduação ...

FUTEBOL: ENTRAM EM CAMPO A
MODELAGEM MATEMÁTICA E O MÉTODO
DO CASO.
CÉLIO ROBERTO MELILLO
OURO PRETO, 2011
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CARTA DE APRESENTAÇÃO
Caro(a) leitor(a);
Este material chega até você como produto educacional, gerado a partir de uma
pesquisa de Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal
de Ouro Preto – UFOP. Tal pesquisa foi desenvolvida sob a orientação do Prof. Dr. Dale
Bean, e a dissertação completa poderá ser obtida na página do programa.
Nosso intuito é oferecer, ao professor em exercício, uma sugestão de atividade de
modelagem matemática, conduzida pelo método do caso, deixando-a aberta para
adaptações e, principalmente, desejando que sirva de inspiração para a criação de
outras atividades, adequadas a condições institucionais de tempo e de espaço, e
ajustadas a diferentes aptidões e anseios de professores e alunos.
A atividade de modelagem matemática aqui apresentada consiste em uma situação
em que os alunos são encarregados de construir modelos matemáticos que atribuam
probabilidades a resultados de jogos de futebol. Em torno do tema, surgem condições
apropriadas para discussões que extrapolam a natureza da previsão de resultados,
como o mercado de apostas em eventos esportivos e a noção de probabilidade
subjetiva, ainda não contemplada na maioria dos livros didáticos de nosso
conhecimento.
Ao longo deste texto, descreveremos o que nos levou à elaboração desta atividade e o
porquê de acreditarmos em sua adequação a nossos propósitos educacionais que, em
linhas gerais, consistem na aproximação entre atitudes de alunos, dentro e fora da
escola – reflexão, argumentação, formulação de hipóteses, capacidade de julgamento,
entre outras competências que acreditamos serem benéficas para a formação do
indivíduo.
Faremos uma caracterização do método do caso, levantando algumas de suas
potencialidades e limitações. Traremos uma descrição do desenvolvimento e aspectos
da realização da atividade, incluindo fontes de consulta para o enriquecimento e,
finalmente, faremos algumas ponderações pertinentes à avaliação da atividade.
Célio Melillo

SUMÁRIO
1. RESGATANDO A FONTE DE INSPIRAÇÃO....................................................... 05
2. A IDEIA DE MODELAGEM E PROBABILIDADE SUBJETIVA NO FUTEBOL........... 07
3. EXPLICITANDO OS OBJETIVOS DE NOSSA ATIVIDADE.................................... 10
4. A EDUCAÇÂO CONCEBIDA POR JOHN DEWEY: a “escola de Dewey............... 11
5. A ATIVIDADE DE MODELAGEM NO FUTEBOL ENCAMINHADA PELO
MÉTODO DO CASO ...................................................................................
5.1. Parte 1: Probabilidade subjetiva e a problematização................................ 19
5.2. Parte 2: Modelagem matemática................................................................ 24
5.3. A construção de nosso modelo ilustrativo.................................................. 29
CONSIDERAÇÕES.................................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................ 43
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
1. RESGATANDO A FONTE DE INSPIRAÇÃO
“Os homens ainda querem o apoio do dogma, das crenças
impostas pela autoridade, para se livrarem do embaraço de ter
de pensar e da responsabilidade de dirigir sua atividade pela
reflexão” (John Dewey).
Dewey enunciou há décadas o que nos parece absolutamente atual, pelo
menos no que concerne à atitude dos estudantes dentro da sala de aula.
Identificamos, entre nossos alunos, uma vontade latente de se destacar em seu grupo
social, seja pelo modo de agir, de falar, de se vestir ou, inclusive, de pensar. Contudo,
essa vontade parece perder força durante as atividades escolares. Ainda que alguns
estudantes – aqueles rotulados como “alunos interessados” – apresentem uma
motivação intrínseca para propor/expor soluções alternativas, levantar hipóteses,
questionar as sugestões do professor, sentimos que o aluno padrão é aquele que vê a
atividade, em sala de aula, como mera preparação para a prova, sem significado em
sua plena formação como ser humano. Não é raro ouvirmos frases vindas desses
estudantes, como: “professor... estou com preguiça de pensar...” ou “não dá pra
passar uma fórmula que serve sempre?” ou, ainda, “não explique de duas formas
senão eu fico confuso”.
Esse sentimento nos motiva a (re)pensar nossa prática, no sentido de propor
conteúdos e métodos de estudo que interessem ao aluno e ao professor, e que
contribuam para a integração dos estudantes à sociedade, por meio de uma atitude
crítica e de um posicionamento lúcido e produtivo diante de situações indeterminadas
do dia-a-dia. Queremos convidar o estudante a conjecturar, analisar, ponderar,
argumentar, avaliar, enfim, a pensar!
O gosto pessoal pelo futebol já me fez pensar, durante muito tempo, que
deveria existir uma maneira de aliar o assunto, para mim tão prazeroso, aos objetivos
de minha prática docente. Tais objetivos eram claros para mim, embora nunca os
tivesse sistematizado, o que veio a acontecer neste programa de Mestrado
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Profissional. Dentre eles, sempre se destacou a minha busca pela realização de
atividades que proporcionassem o maior envolvimento possível dos alunos. Sempre
tive a convicção de que, com o aluno verdadeiramente envolvido numa atividade, o
ambiente escolar torna-se favorável ao desenvolvimento de diversas competências.
Acreditava (e acredito cada vez mais) que, em condições emocionais positivas,
aumentam-se as chances de obter êxito no ensino. O conteúdo abordado passa a ter
sentido; a atividade deixa de ser uma tarefa desagradável a ser cumprida; os
estudantes assumem papel de protagonistas e suas ações tendem a ser coordenadas
na solução de um problema encarado como legítimo.
Não é raro percebermos, na prática docente, uma atitude de inércia dos
estudantes. Isso nos preocupa e caminha em direção oposta ao que entendemos como
objetivo da educação. Atribuir a causa desse problema (pelo menos, assim
entendemos essa situação) exclusivamente aos próprios alunos beiraria a uma atitude
hipócrita. Se as atividades propostas pela escola, pela mediação do professor, não
encontram ressonância nas atitudes dos alunos, devemos questionar o método e,
sobretudo, o que vem antes dele: nossas concepções sobre educação e o papel da
escola na formação do indivíduo e, consequentemente, a influência disso na vida
social, extra-escolar.
Em algumas experiências realizadas em sala de aula – umas bem sucedidas,
outras, nem tanto – tentei usar vários contextos como tema dos estudos, sejam temas
abstratos e que estimulam o raciocínio lógico e a capacidade de argumentação, sejam
temas do cotidiano, como epidemias, racismo, economia, entre outros que aproximam
as reflexões e as atitudes, na escola, do uso, no dia-a-dia, pelos alunos. Em particular,
em aulas sobre cálculo combinatório e probabilidades, eu costumava utilizar como
contexto os jogos com cartas, dados, moedas, etc., com avaliação positiva do efeito
desse tipo de trabalho.
Sempre me interessei por prognósticos e discussões sobre futebol. Em
particular, as probabilidades anunciadas na mídia, atribuindo mais ou menos chances
de sucesso para meu clube de coração, mexem com meu humor e aguçam minha
curiosidade. Inclusive, é comum responder a meus alunos perguntas sobre tais
números: “Como são calculadas essas chances?” ou “Você concorda com a
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
probabilidade de tal time ser campeão?”. Esses momentos eram de pura
descontração. Respondia aos alunos o que eu pensava e “encerrava o assunto”.
Ironicamente, nunca havia passado por minha cabeça a ideia de trazer esse tema para
a sala de aula, como objeto de estudo, até que comecei a assimilar ideias sobre
modelagem matemática – que, em nosso caso, parte de uma premissa, levantando
aspectos e formulando pressupostos (MELILLO e BEAN, 2011). Na mesma época, fui
“apresentado” à noção de probabilidade subjetiva, a qual será definida com maiores
detalhes mais adiante. A partir daí, a tarefa passou a ser: desenvolver uma atividade
envolvendo modelagem matemática no futebol, de modo a contribuir com a prática de
quem se interesse pelo assunto, ou ainda, inspirar a adaptação desta ou a criação de
outras atividades adequadas às condições e aos objetivos de outros educadores. Tal
atividade consistiria na construção de modelos matemáticos, por parte dos alunos,
capazes de atribuir probabilidades de resultados em jogos de futebol.
2. A IDEIA DE MODELAGEM E PROBABILIDADE SUBJETIVA NO FUTEBOL
Ao planejar como poderia ser desencadeada uma atividade de modelagem
matemática no futebol, levantamos questões relativas a este planejamento. Chegamos
à conclusão que seria necessário construirmos um modelo que nos permitisse
antecipar situações que ocorreriam ao longo da modelagem. Antes disso, definimos
que os resultados pretendidos seriam expressos em probabilidades atribuídas, levando
em consideração o julgamento pessoal dos modeladores.
Muitas das nossas atitudes, no dia-a-dia, são tomadas com base em crenças e
expectativas pessoais quanto à ocorrência de certos eventos. Quantificar essas
crenças, em termos de probabilidades, conduzem a uma noção de probabilidade que,
embora possua aplicação em diversas áreas da atividade humana, não costuma ser
contemplada pelos livros didáticos de Matemática: a probabilidade subjetiva.
Pensamos que a modelagem matemática no futebol seria uma oportunidade ímpar de
trazer essa noção de probabilidade para a sala de aula. Não vemos outra maneira de
quantificar as chances de resultados, em jogos de futebol, que não seja com a
presença das crenças pessoais, da intuição, da subjetividade.
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A modelagem que vislumbramos consistiria na adoção de uma premissa (uma
ideia mais geral que norteia o pensamento dos estudantes), seguida do levantamento
de aspectos (aquilo que influencia o resultado de um jogo, no caso da modelagem no
futebol) e da formulação de pressupostos (considerações feitas pelos alunos de como
os aspectos levantados exercem influência).
Como exemplo do ponto de chegada que pretendemos para os estudantes, a
tabela a seguir (tabela 1) mostra probabilidades atribuídas para a 22ª rodada do
campeonato brasileiro do ano 2010, fruto de uma modelagem nossa (MELILLO e BEAN,
2011) antes de levar a atividade à sala de aula.
Tabela 1: Nossas probabilidades subjetivas para a 22ª
rodada do campeonato brasileiro de 2010 (valores
percentuais arredondados).
Vejamos as probabilidades que essa modelagem gerou, como percentuais, para
os resultados nos jogos: a coluna indicada por m é o percentual de chance de vitória
do mandante, e é o percentual de chance de empate e v é o percentual de chance de
vitória do visitante. A modelagem, para se chegar às porcentagens, partiu da premissa:
À expectativa sobre o desempenho de um time de futebol,
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
em uma partida, quanto ao resultado final (vitória, empate
ou derrota) pode ser atribuída uma probabilidade, a partir
de aspectos considerados relevantes levantados antes do
início da partida.
Foi a partir dessa premissa que levantamos aspectos como, por exemplo, o
mando de campo. Em nossa modelagem, pressupusemos que o time mandante tem
vantagem. Mais ainda, que certos times têm vantagem mais significativa que outros,
ao jogar no próprio campo. Essa diferenciação advém do fato de que cada time tira
proveito do fato de jogar em casa de maneira diferente. Quanto melhor é o
desempenho de um time, nos jogos anteriores em seus domínios, maior será a
vantagem esperada para esse time, ao ser mandante dos jogos seguintes.
A matematização dos pressupostos formulados na modelagem foi feita por
meio da criação de fatores. O fator campo, indicado por c, por exemplo, foi subdividido
em dois valores: cm é o fator campo no caso do time em questão ser o mandante, e cv,
no caso em que este for o visitante. Quantificamos (ou matematizamos) esse fator,
pensando em nosso eventual modelo que deveria atribuir probabilidades (ver valores
na tabela 1) aos resultados possíveis (vitória mandante, empate, vitória visitante). Para
isso, decidimos que, se um time jogará em seus próprios domínios (time mandante),
definimos cm como a média de pontos obtida 1 em cada jogo por esse time, até então,
nos jogos que realizou em casa. A escolha desse método de cálculo do fator cm advém
da crença de que tal média expressa adequadamente esse fator. 2 De forma análoga ao
pressuposto para o time mandante, foi atribuído para o visitante um fator campo cv,
dado pela média de pontos por jogo que o time obteve, quando jogou nessa mesma
condição. Desse modo, a cada time foram atribuídos dois fatores campo, um como
mandante e o outro como visitante. Em cada rodada, apenas um desses fatores será
efetivamente considerado, dependendo do local onde o jogo será realizado.
1 Para classificação no campeonato são atribuídos pontos para os times, com base nos resultados de
cada jogo (vitória: 3, empate: 1 e derrota: 0).
2 Salientamos que um pressuposto pode admitir matematizações diferentes. Exemplificando: o cálculo
do fator cm poderia ser realizado utilizando a pontuação mais frequente quando o time joga em casa
(moda) ou ainda, a média de gols por jogo, quando o time joga em casa.
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Assim como o fator c, foram criados outros fatores em nossa modelagem
ilustrativa, e a probabilidade de vitória de cada time foi concebida relacionando-se a
média ponderada desses fatores com a média ponderada dos fatores do time
adversário. A atribuição de pesos na média ponderada foi definida com base em
crenças e experiências nossas. Isso significa subjetividade embutida nas decisões e
matematizações, gerando a tabela de probabilidades subjetivas.
Para analisar a situação e chegar a conceituações e matematizações, como as
que acabamos de descrever, esperamos que o aluno formule justificativas, seja capaz
de argumentar, de forma consistente, para destacar suas opiniões, tenha a criatividade
aguçada e o olhar crítico necessário para testar suas próprias conjecturas, reforçando
ou descartando crenças e avaliando os resultados obtidos – no caso da modelagem,
testando a adequação de seus modelos.
Voltaremos com a descrição da modelagem, após delinear nossos objetivos
educacionais para a atividade, situá-la em uma concepção de educação e fazer a
escolha de um método para conduzi-la.
3. EXPLICITANDO OS OBJETIVOS DE NOSSA ATIVIDADE
Até agora, falamos em objetivos ou propósitos educacionais, de maneira geral.
A seguir, enumeramos os objetivos da atividade de modelagem matemática no futebol
que concebemos
I) diminuir o distanciamento entre a maneira de se agir e pensar, nos problemas
propostos em sala de aula, com o modo de tomar decisões em situações extra-
escolares;
II) fortalecer a capacidade dos alunos de argumentar, formular ideias-guia, justificar e
testar suas conjecturas por meio de uma atividade de modelagem matemática, a partir
da adoção de premissas e formulação de pressupostos; e
III) criar uma oportunidade de lidar com o processo de construção de modelos
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
matemáticos, trabalhando o pensamento, a linguagem, e conceitos matemáticos
diversos.
Os objetivos listados foram estipulados para a nossa atividade específica,
porém os consideramos pertinentes a uma visão mais global de educação, que
chamaremos de “escola de Dewey”.
4. A EDUCAÇÃO CONCEBIDA POR JOHN DEWEY: a “escola de Dewey”
Dewey defende a chamada “educação progressiva” que é uma “reorganização
ou reconstrução da experiência, que esclarece e aumenta o sentido desta e também a
nossa aptidão para dirigir o curso das experiências subsequentes” (DEWEY, 1979, p. 83,
grifo do autor). Assim acreditamos que se deve entender a educação, promovendo a
aquisição da capacidade de reorganizar atos e pensamentos, de forma a melhorar a
qualidade da relação entre o indivíduo e o mundo em que este se situa. Um elemento
importante para que a educação cumpra tal papel é a atitude mental dos alunos
apresentar o pensamento reflexivo, “espécie de pensamento que consiste em
examinar mentalmente o assunto e lhe dar consideração séria e consecutiva”. (DEWEY,
1959, p. 13).
Dewey (1979) apresenta a definição etimológica da palavra educação como o
processo de dirigir, de conduzir, de elevar. Devemos tomar cuidado com a
interpretação do sentido de palavras como conduzir, dirigir. Por um lado, essas
palavras carregam uma conotação de manipulação, de rigidez de métodos. Por outro
lado – o que queremos apontar – significam orientar, não deixar sem algum rumo. Um
navegador pode utilizar-se das estrelas no céu para orientar sua viagem e atingir seus
objetivos, e isso não quer dizer que uma estrela seja capaz de mudar a direção do
barco e definir o caminho que o navegador irá seguir.
As atividades em sala de aula, como entendemos, devem estimular hábitos
ativos que, para Dewey, “subentendem reflexão, investigação e iniciativa para dirigir as
aptidões a novos fins” (1979, p.57). Nesse caminho, Dewey afirma que o “objetivo da
educação é habilitar os indivíduos a continuar a sua educação” (p. 108). Dessa
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afirmação, entendemos que a educação começa no dia em que nascemos e dura
enquanto nossos sentidos forem capazes de receber qualquer estímulo. A fase escolar
é quando estamos submetidos a condições que proporcionam – ou pelo menos,
deveriam proporcionar – uma ampliação na capacidade de desenvolvermos uma
relação harmoniosa com as coisas, os indivíduos e as emoções.
Para que a escola cumpra o ambicioso objetivo de “ensinar a aprender”, no
sentido descrito anteriormente, devem-se promover atividades na quais o estudante
seja o ator principal do processo. Despertar o interesse do aluno, desafiá-lo, motivá-lo
a resolver uma situação problemática. Não esperamos encontrar pessoa engajada no
processo educativo, a quem tais situações não seriam bem-vindas. Entretanto,
reconhecemos, em nossa prática, um domínio indesejável de práticas engessadas
sobre as práticas flexíveis: das listas de exercícios sobre os verdadeiros desafios ao
intelecto; das respostas exatas sobre a apreciação de hipóteses alternativas; da
autoridade sobre a autonomia.
A análise dos resultados de nossa atividade em sala de aula apontou para uma
atitude de constante indagação por parte dos alunos participantes. A incerteza
subjacente ao material de estudo (resultados de jogos de futebol) fez com que os
alunos não conseguissem chegar a conclusões estáveis. Com esse caráter da atividade,
os alunos foram conduzidos a uma constante busca por informações, de modo a
refinar suas conjecturas e a própria capacidade de avaliá-las.
O cuidado para formular e julgar conjecturas é uma característica saudável do
ato de pensar. Acreditamos que a escola tem o papel primordial, além de árduo e
controverso, de “ensinar a pensar”. Primordial no sentido em que as atitudes, dentro e
fora da escola, serão mais ou menos qualificadas quanto for o indivíduo apto a pensar.
Árduo, pois o hábito de pensar não pode ser imposto, nem mesmo conseguido
mediante avisos ou conselhos. Controverso, pois, ao assumir que ensinar a pensar é o
papel da escola, faz-se necessário declarar o que entendemos por pensar.
Dewey (1979, p. 165) afirma que
Pensar é o ato cuidadoso e deliberado de estabelecer relações entre
aquilo que se faz e suas consequências. Por ele nota-se não somente
que estas coisas estão relacionadas, como também as
particularidades da sua associação. [...] Aparece o estímulo ao ato de
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
pensar quando queremos determinar a significação de algum ato
realizado ou a realizar-se. Pelo pensamento nós prevemos as
consequências. Isto subentende que a situação do modo que ela é,
quer por si mesma, quer para nós, é incompleta e, por isso,
indeterminada. A antevisão de consequências significa uma solução
proposta ou tentada. Para se aperfeiçoar esta hipótese, devem ser
cuidadosamente analisados as condições existentes e o conteúdo da
hipótese adotada. Então a solução sugerida – a ideia ou teoria tem de
ser posta em prova, procedendo-se de acordo com ela. [...] O ato de
pensar implica todos estes atos – a consciência de um problema, a
observação das condições, a formação e a elaboração racional de
uma conclusão hipotética e o ato de a pôr experimentalmente em
prova.
Podemos extrair da citação que o ato de pensar não se limita a uma ideia que
vem à mente, uma intuição ou impulso aleatório de se tentar uma solução para um
problema, assim como um amontoado de ingredientes não necessariamente levarão à
produção de um prato saboroso. Não que tais ideias, que “surgem” de repente, não
tenham valor na formação do hábito de pensar, mas é que esse hábito não pode se
reduzir a pensamentos desconexos. Isso quer dizer que, para se pensar
reflexivamente, a conexão entre as ideias deve ser intencional e coordenada.
Contudo, pouco ou nada adiantariam os esforços no sentido de estimular o
pensamento – mais especificamente, o pensamento reflexivo – se este movimento for
unidirecional, no sentido professor-aluno. É preciso que o aluno sinta-se
verdadeiramente desafiado e interessado em solucionar um problema para provocar a
imersão deste no processo de reflexão. O combustível da reflexão é a dúvida. A chama
que acende esse combustível é o interesse pelo problema.
Dewey (1979) acentua a importância de se prolongar o estado de dúvida. De
fato, se não há dúvida, não há problema; se não há problema, não há o que investigar,
procurar, buscar, enfim, não há necessidade de crescer. Assim, concordamos com
Dewey, quando ele atribui ao interesse do estudante pelo problema um papel
fundamental para o encaminhamento da atividade. O autor enumera as acepções mais
comumente usadas para a palavra interesse: I) Interesse pela atividade considerada
em seu todo; II) Os resultados objetivos previstos e desejados; e III) A pessoal
propensão emocional. (p. 138).
O interesse do aluno por uma situação depende, em certa medida, da maneira
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pela qual esta situação lhe é apresentada. Cabe ao educador uma postura de utilizar
temas e métodos que despertem e/ou mantenham o interesse do aluno sempre vivo,
para que este assuma constante posição ativa e indagadora. Mais adiante,
abordaremos como o método do caso, na fase de narração e problematização, pode
despertar interesse para os estudantes.
Assim, concluímos, a respeito de um papel da escola, que esta deve dedicar-se
a formar um indivíduo pessoal e socialmente apto a assumir uma posição reflexiva e
crítica perante as situações que lhe são apresentadas. Mas isso é pouco. Para que a
escola realmente cumpra o proposto, deve-se ampliar essa discussão para a escolha de
métodos e conteúdos. Acreditamos que o método, o objeto de estudo e as concepções
de educação devem estar integrados para que se aumente a possibilidade de se obter
os resultados desejados.
Buscamos, a partir das ideias expostas, elaborar uma atividade com potencial
para cumprir, ainda que em parte, cinco condições enumeradas por Anísio Teixeira no
prefácio de Dewey (1967):
1. Só se aprende o que se pratica. – Seja uma habilidade, seja uma
ideia, seja um controle emocional, seja uma atitude ou uma
apreciação, só as aprendemos se as praticamos. [...];
2. Mas não basta praticar. – A intenção de quem vai aprender tem
singular importância. [...] Não posso adquirir um novo modo de agir,
se não tenho a intenção de adquiri-lo.[...];
3. Aprende-se por associação. – Não se aprende somente o que se
tem em vista, mas as coisas que vêm associadas com o objetivo mais
claro da atividade. [...];
4. Não se aprende nunca uma coisa só. – Como acabamos de ver, à
medida que aprendemos uma coisa, várias outras são
simultaneamente aprendidas. [...];
5. Toda aprendizagem deve ser integrada à vida, isto é, adquirida em
uma experiência real de vida, onde o que for aprendido tenha o
mesmo lugar e função que tem na vida. (TEIXEIRA, em DEWEY, 1967,
pp. 33-36, grifo do autor).
Seguimos, então, com a discussão sobre a escolha apropriada de métodos e
materiais de estudos adequados para uma escola que associa o conhecimento
produzido, em sala de aula, à vida cotidiana dos estudantes, discussão necessária e
explicitada por Dewey (1959).
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Coerentemente com as ideias de Dewey, enxergamos que o método do caso,
que também será mais bem detalhado a seguir, apresenta-se como um método de
ensino adequado para estimular a atitude mental mencionada. Entendemos que esse
método, ou uma adaptação dele, pode servir como inspiração para o encadeamento
de atividades que estimulem o pensamento reflexivo.
5. A ATIVIDADE DE MODELAGEM NO FUTEBOL ENCAMINHADA PELO MÉTODO DO
CASO
Dewey afirma que, diante de uma situação problemática, o estudante deve,
preferencialmente, agir pelo método da reflexão. Sobre esse método, é preciso:
Primeiro, o aluno deve estar, em verdadeira situação de experiência –
que haja uma atividade contínua a interessá-lo por si mesma;
segundo, que um verdadeiro problema se desenvolva nesta situação
como um estímulo para o ato de pensar; terceiro, que ele possua os
conhecimentos informativos necessários para agir nessa situação e
faça as observações necessárias para o mesmo fim; quarto, que lhe
ocorram sugestões para a solução e que fique a cargo dele
desenvolvê-las de modo bem ordenado; quinto, que tenha
oportunidades para pôr em prova suas ideias, aplicando-as,
tornando-lhes clara a significação e descobrindo por si próprio o valor
delas (DEWEY, 1979, p. 179).
Antes que se argumente em defesa da utilização deste ou daquele método, em
sala de aula, é preciso ficar claro que não esperamos ter uma receita do ensino, que
funcionará sem restrições. Um método adequado, bem como um objeto de estudo,
deve ser apropriado para o professor, para os alunos, para a administração escolar, em
determinado contexto de tempo, espaço, sociedade e cultura. Seria pretensão sugerir
que houvesse o método de ensino a ser adotado. Enxergamos no método do caso uma
possibilidade promissora e coerente com as concepções de educação apresentadas na
seção anterior, e apropriado para conduzir uma atividade com uma situação posta e
objetivo pré-estabelecido, como a nossa atividade de modelagem no futebol.
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O método do caso – não se confunda com método do estudo de caso 3 – é uma
metodologia de ensino desenvolvida há pouco mais de um século, por Christopher
Columbus Langdell, na escola de Direito de Harvard (MENEZES, 2009). Ele consiste em
colocar os alunos frente a frente com uma situação de decisão. Uma situação é
relatada pelo professor (um caso), de modo claro e, ao mesmo tempo, indefinido. Essa
situação pode ser algo acontecido, algo que esteja acontecendo, ou algo plausível de
se imaginar acontecendo. A partir da exposição do caso, cabe aos alunos, sempre com
o suporte do professor, assumir uma posição relacionada ao caso, fundamentando tal
posição e analisando as consequências dessa postura.
Antecipamos que as ambiguidades principais em nosso caso iriam se referir à
questão de quais aspectos interferem, significativamente, nos resultados dos jogos e,
além disso, a questão de como conceituá-los em pressupostos que admitem uma
matematização. Isso deveria gerar uma variedade de ideias com base em diferenças de
crenças, a respeito do que interfere no resultado de um jogo. Essa diversidade
forneceria material para discutir, argumentar e refletir; avaliando as justificativas para
a tomada de decisões a respeito das modelagens, em consonância com a ideia de que
o material de casos complexos deve permitir que o mesmo seja
estudado individualmente, debatido em pequenos grupos e depois,
em plenário, de modo que o aluno possa desenvolver suas
habilidades de análise e síntese, de negociação de suas ideias e de
suas decisões, dentre tantas outras habilidades que o método do
caso proporciona. (CESAR, 2005, f. 11).
Ao realizar essa atividade, durante a fase final do campeonato, pretendíamos
aproveitar a repercussão do assunto na mídia e na sociedade em geral. Isso está de
acordo com Cesar quando afirma que o desenvolvimento do caso
deve contextualizar a situação de tal forma que, aos olhos do leitor
[estudante], o caso possa se apresentar como uma situação vivida,
da qual ele faz parte, o que justifica a inclusão de dados subjetivos
relacionados à visão que as pessoas envolvidas na situação têm da
mesma. (CESAR, 2005, f. 11).
3 O Estudo de Caso é uma metodologia de pesquisa qualitativa. Ver, por exemplo, Fiorentini e Lorenzato
(2006) ou Alves-Mazotti (2009).
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Utilizando o método do caso, e tendo como base as ideias deweyanas,
pretendemos promover o pensamento reflexivo, incluindo a postura crítica, perante
uma situação, e atribuir a responsabilidade do aprendizado ao próprio estudante, além
de possibilitar a significação de informações, conceitos e técnicas, e desenvolver a
capacidade de colaboração, tornando “vivo” o ambiente de sala de aula.
No contexto das ciências econômicas, Hammond (2002) simplifica a definição
do método como uma discussão de situações da vida real com as quais executivos se
depararam (grifo do autor). Por situações da vida real entendemos acontecimentos em
qualquer parte relatados em qualquer tipo de mídia: TV, internet, livros, revistas,
jornais, relatórios empresariais, ou outras fontes de consulta, nas quais os alunos terão
a possibilidade de encontrar os dados que julgarem relevantes, incentivando a prática
da pesquisa entre estes estudantes. Em nosso contexto, a situação em questão é o
campeonato brasileiro de futebol.
Na literatura consultada, não encontramos uma definição explícita do método
do caso, embora tenhamos encontrado uma série de caracterizações deste, o que nos
levou a sistematizar o método de acordo com nosso entendimento. Construímos a
figura 1 para auxiliar essa sistematização.
Estudantes Professor
Figura 1: Cenário do caso envolve os estudantes, o
professor e a situação em estudo a ser problematizada e
solucionada. O professor é um mediador na interação do
aluno com a situação.
Concebemos que o método do caso se inicia com a escolha de uma situação a
ser estudada, que pode ser encontrada em qualquer contexto. Após a escolha da
situação, uma fase expositiva consiste na apresentação e problematização, levantando
aspectos de tal situação, de modo que os próprios estudantes apropriem-na como
sendo problemática. Aspectos da situação não podem ser confundidos com dados a
serem diretamente aplicados na solução do problema. Para deixar os alunos
confortáveis, o professor deve sugerir fontes de consulta e ficar à disposição para
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Situação
(problemática)
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esclarecimentos, ao longo da atividade. Contudo, a partir da exposição inicial, feita
pelo professor, ele assume um papel coadjuvante, tornando-se um facilitador da
interação do aluno com o objeto de estudo, fornecendo mais perguntas do que
respostas para este aluno.
Para conduzir a modelagem no futebol, amparados nesse método, levamos
para a sala de aula uma sequência de atividades composta de duas etapas, claramente
delimitadas, embora integradas na intenção de alcançar objetivos comuns. Alguns
aspectos permearam todos os momentos da atividade; em destaque, a aproximação
de fenômenos sociais, econômicos e culturais dos conteúdos abordados em sala de
aula.
A primeira etapa foi pensada como um momento para discussões acerca da
presença de modelos na sociedade; em particular, os modelos que envolvem
probabilidades e suas interferências (positivas ou negativas) sobre hábitos e relações
do nosso cotidiano. Presente em muitos desses modelos, está o conceito de
probabilidade subjetiva, cuja abordagem também foi contemplada em nosso
planejamento.
É nessa etapa que desenvolvemos a problematização da atividade, para que os
estudantes assumissem a modelagem no campeonato como situação de interesse
próprio. Além disso, os estudantes poderiam se familiarizar com a noção de
probabilidade subjetiva e com questões sobre o controverso mercado de apostas em
eventos esportivos.
A segunda parte da sequência consistiria numa modelagem a ser realizada
pelos alunos, divididos em grupos, na qual eles deveriam atribuir probabilidades para
resultados de jogos do campeonato brasileiro de futebol. Para nosso caso do
campeonato de 2010, o cenário a ser fornecido aos estudantes incluiria: a) o objetivo
de construir modelos que atribuem probabilidades de vitória, empate e derrota para
os jogos; b) a premissa supracitada na seção 2; c) amostras de fontes de informações
disponíveis que podem ser consultadas, por exemplo, revistas e sites da internet; d)
informações a respeito de probabilidade subjetiva; e e) encaminhamentos por meio de
discussões em classe. No final da atividade, a apreciação da adequação dos modelos
remeteria aos resultados dos jogos, nas últimas rodadas do campeonato.
UFOP – 2011

Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
5.1. Parte 1: Probabilidade subjetiva e a problematização
Em nosso dia-a-dia, tomamos várias decisões, algumas de forma automática ou
impulsiva, outras de forma metódica, minuciosamente planejadas. Quando saímos de
casa em um dia fresco, pensamos em levar ou não um agasalho. Não acreditamos que
seja natural alguém quantificar a probabilidade de precisar daquele agasalho, antes de
decidir entre levá-lo ou não. Contudo, quanto mais certeza temos de que sentiremos
frio, maior é a nossa tendência de carregar o agasalho conosco. Esse tipo de decisão
baseia-se numa crença, a crença de que certo fenômeno ocorrerá (ou não), de modo a
direcionar nossas atitudes e ações relacionadas à ocorrência desse fenômeno. Em
contextos mais complexos, essas crenças necessitam de quantificação, em termos de
probabilidades, e os valores obtidos podem determinar decisões, cujo efeito pode
mudar o rumo de nossas vidas, ou transformações significativas da realidade. Um
investimento do patrimônio de uma família, a adoção de certa política econômica por
um governo, são exemplos de decisões baseadas na crença de sucesso.
formas.
A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser concebida de diferentes
De acordo com Gnedenko (2008, p. 24) a maioria das definições para o
conceito de probabilidade podem ser desenvolvidas a partir das seguintes
concepções: probabilidade clássica, que remete à noção de distribuição
equiprovável de ocorrência de eventos; probabilidade frequentista (ou
empírica), que se baseia na frequência que um dado evento ocorre em um
grande número de experimentos; e probabilidade subjetiva, que é uma
medida que representa o “grau de certeza” do observador a respeito de
ocorrência de eventos. (MELILLO e BEAN, 2011).
Bernabeu (1999) define probabilidade subjetiva como “uma crença ou
percepção pessoal. (...) Ela mede a confiança que um indivíduo particular tem sobre a
veracidade de uma proposição particular e, portanto, está univocamente
determinada.” (p. 32).
Um julgamento (equivocado) que pode ser feito da probabilidade subjetiva é
que, usando essa ideia como “pretexto para não pensar”, o indivíduo se dá o direito de
UFOP – 2011
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20 PRODUTO EDUCACIONAL
atribuir qualquer probabilidade a qualquer evento, como se tudo fosse válido, por se
tratar de opinião. Antes de correr esse risco, planejamos algumas discussões, em sala
de aula, conduzidas de modo a incentivar a reflexão em torno dessas “opiniões”. Mais
que opiniões, as considerações sobre a ocorrência de certos fenômenos devem ser
tidas como crenças justificadas.
Preparamos, para a sala de aula, discussões sobre diversas situações em que a
probabilidade subjetiva tem efeitos sobre a atividade humana. Seguradoras, planos de
saúde, previsão do tempo, mercado financeiro, são algumas dessas atividades
(BERNABEU, 1999). Questionários foram elaborados e discussões em grupo foram
planejadas.
Em particular, traçamos um caminho que conduzisse à noção de probabilidade
subjetiva, presente no mercado de apostas, em eventos esportivos. A realização da
atividade, em ano de Copa do Mundo de Futebol, forneceu um enorme número de
citações do tema na mídia, o que permitiria uma constante conexão entre assuntos
repercutidos fora da escola e as discussões dentro dela, facilitando uma aproximação
entre os estudantes e a situação a ser modelada, com o intuito de fornecer
informações que indicariam o teor da modelagem e despertar o interesse pelo desafio
que estava por vir.
Reservamos um espaço, em nosso planejamento, para inserir discussões acerca
dos benefícios e malefícios do bilionário mercado de apostas, destacando-se a
discussão sobre os prós e contras de uma eventual legalização desse tipo de atividade
no Brasil. Todas as discussões e atividades foram elaboradas de modo a fazer com que
os alunos justificassem as posições assumidas, seja com base em reflexões sobre
experiências anteriores, seja com base em dados apresentados. Com isso,
pretendíamos estimular a reflexão e a argumentação dos estudantes, visando atitudes
coerentes com nossos propósitos educacionais.
Ao fim dessa parte da sequência, a nossa expectativa era que os alunos (mesmo
aqueles para os quais o assunto futebol tivesse status de novidade) estivessem
relativamente inteirados do assunto, para iniciar a construção de seus próprios
modelos.
Dentre reportagens selecionadas sobre apostas em eventos esportivos, e
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
vídeos que permitiam levantar questões sobre probabilidade subjetiva, destacamos os
links de alguns dos vídeos que utilizamos nesta etapa da sequência:
vídeo sobre modelagem da Copa do Mundo de 2010:
vídeos sobre probabilidade subjetiva 4 :
http://www.youtube.com/watch?v=U5qRK5EZbMY
http://www.youtube.com/watch?v=xqSlnsGPgq8
Os recursos utilizados tiveram relevância no ano em que realizamos a atividade
com a turma. Isso não quer dizer que faríamos as mesmas escolhas de instrumentos,
com os mesmos vídeos, em outro ano ou outro contexto.
Ainda com essa ideia de aproximar as atividades com os acontecimentos fora
da escola no espaço / tempo da realização das atividades, elaboramos um questionário
(a seguir) envolvendo temas abordados nas discussões. Algumas perguntas foram
formuladas fazendo alusão a acontecimentos com repercussão na época (eleição e
caso Bruno), enquanto outras questões tentavam provocar reflexões quantitativas e
qualitativas a partir de passagens corriqueiras das vidas dos estudantes.
QUESTIONÁRIO – PROBABILIDADE SUBJETIVA E APOSTAS
1. Considere a seguinte escolha: Os 14 jogos da LOTECA são realizados e os resultados
definem os prêmios, ou os resultados dos 14 jogos são sorteados. Em qual destas
situações você se considera mais apto a acertar os 14 resultados? Por quê?
2. Escreva, sucintamente, os principais aspectos que você levaria em consideração ao
preencher os seus palpites em uma aposta da LOTECA:
3. As casas de apostas em resultados de eventos esportivos, proibidas no Brasil,
deveriam ser liberadas, em sua opinião? Por quê?
4 Um dos vídeos mostra uma situação inusitada, utilizada para levantar questões sobre a probabilidade
de uma nova ocorrência daquele evento. O outro mostra um comercial de uma companhia de seguros
que atribui probabilidades à ocorrência de acidentes com pessoas em seu dia-a-dia.
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22 PRODUTO EDUCACIONAL
4. Qual é, na sua opinião, a probabilidade de:
a) Chover amanhã?__________
b) A candidata Dilma Roussef ser eleita presidente do Brasil?__________
c) Você viver mais de 80 anos?__________
d) Ocorrer um acidente de trânsito na sua volta para casa, esta noite?__________
e) O candidato José Serra ser eleito presidente do Brasil?__________
f) O ex-goleiro Bruno ter sido mandante da morte de Eliza Samudio?__________
Foram múltiplas as razões para a elaboração dos itens no questionário. Na
primeira questão, os alunos expuseram a sensação de que são mais aptos a prever os
resultados a partir de uma análise da situação dos clubes envolvidos em cada jogo
(inclusive os que assumiram “não entender” de futebol). A segunda questão foi o
primeiro passo da atividade de modelagem. Ainda que sem a separação dos
estudantes da turma em grupos que construiriam os modelos, foi possível estabelecer
um continuum na abordagem da situação. Na terceira questão, o foco foi o estímulo à
reflexão e à necessidade de um posicionamento crítico dos estudantes. Muitas das
respostas dos alunos, com opiniões divididas, mostraram grande temor destes quanto
ao risco de fraudes e manipulações de resultados que poderiam ser causadas no caso
de uma eventual legalização do mercado de apostas no Brasil. A quarta questão tinha
por propósito que os alunos tentassem quantificar suas expectativas de ocorrência de
certos fenômenos, estimulando o pensamento em termos de probabilidades
subjetivas.
As discussões e o questionário formam pensados, conduzidos e elaborados de
forma coerente com a dinâmica que o uso do método do caso tem por intuito
desencadear. Entre os objetivos desse método, Boehrer e Linsky (1990) citam:
Promover o pensamento crítico;
Atribuir a responsabilidade do aprendizado ao próprio estudante;
Assimilação de informações, conceitos e técnicas;
Avivar a dinâmica da sala de aula;
Desenvolver a capacidade de colaboração;
Questionar o modelo de ensino tradicional centrado no professor.
Acrescentaríamos, pela experiência de nossas atividades, a essa lista, mais dois
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
propósitos:
Promover o pensamento dialógico (não linear);
Possibilitar a percepção de outras interpretações do fenômeno em
estudo (o aspecto da alteridade).
Dando sequência ao método, satisfeitos, já que a situação fora adequadamente
problematizada e os estudantes ficaram devidamente familiarizados com a
probabilidade subjetividade, julgamos que eles se encontravam prontos para formular
seus próprios juízos na modelagem do campeonato; especificamos a situação e
explicitamos o objetivo da construção dos modelos.
Os estudantes partiram da premissa (enunciada na seção 2), que foi exposta no
quadro da sala de informática onde foi feito, por meio da internet, o levantamento
inicial de informações a respeito do que poderia ser utilizado na modelagem.
A premissa:
À expectativa sobre o desempenho de um time de futebol em
uma partida quanto ao resultado final (vitória, empate ou
derrota) pode ser atribuída uma probabilidade, a partir de
aspectos considerados relevantes levantados antes do início
da partida.
O objetivo, partindo dessa premissa, é construir um modelo matemático que
fornecesse probabilidades de vitória, empate e derrota, a cada time, nos jogos de uma
rodada do campeonato brasileiro.
Com a problematização, o ponto de partida – a premissa – e o objetivo
explicitado, os alunos estavam diante de uma situação problemática – um caso – para
a qual elaborariam uma solução.
Durante a interação dos alunos com a situação problemática, tentando
construir uma solução para o caso, é possível que alguns deles não se sintam
suficientemente esclarecidos quanto ao tema futebol, de modo que indicamos fontes
de consulta para facilitar essa interação. Na atividade que realizamos, os alunos
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23

24 PRODUTO EDUCACIONAL
receberam, por escrito, a lista de fontes de informações:
Dados oficiais:
Confederação Brasileira de Futebol – CBF: www.cbf.com.br
Informações sobre cartões, transferências, ranking, campeonatos
anteriores, punições, etc.
Imprensa esportiva especializada:
Globo Esporte: globoesporte.globo.com
Jornal Lance: www.lancenet.com.br
ESPN Brasil: www.espn.com.br
Diários Associados: www.superesportes.com.br
Revista Placar: placar.abril.com.br
Reportagens, análises táticas, estatísticas, avaliação de jogadores, etc.
Probabilidades no futebol:
Departamento de matemática da UFMG: mat.ufmg.br/futebol
Tristão Garcia: www.infobola.com.br
Marcelo de Leme Arruda: www.chancedegol.com.br
Modelos de previsão do campeão, rebaixados, resultados de cada
rodada, etc.
Além disso, os alunos foram orientados a ficarem à vontade para buscar
informações em outras fontes de sua preferência. Alguns alunos, inclusive,
desprezaram as fontes sugeridas e trabalharam integralmente com base em fontes
escolhidas por eles próprios.
Mediante a situação problemática, com a premissa e objetivo estabelecidos, e
de posse de fontes de consulta às quais recorrerem, os alunos seguiram adiante com a
modelagem, conforme descrevemos a seguir.
5.2. Parte 2: modelagem matemática
Nesta segunda etapa da sequência de atividades, o eixo dos trabalhos foi a
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
modelagem matemática, nos jogos do campeonato brasileiro de 2010. A tarefa dos
alunos seria construir modelos capazes de atribuir probabilidades dos possíveis
resultados dos jogos (empate, vitória ou derrota), nos últimos jogos desse
campeonato. Antes de exemplificar a modelagem matemática, esclarecemos a
respeito do que entendemos por modelagem.
Concebemos modelagem como uma atividade de conceituação criativa que
remete aos objetivos, conhecimentos e valores do modelador (BEAN, 2005, 2007,
2009; MELILLO e BEAN, 2011). Tal atividade de conceituação é conduzida mediante a
adoção de premissas e a formulação de pressupostos frente a uma situação
problemática. Uma premissa é como uma ideia-guia 5 (DEWEY, 1959, p.136) que serve
como foco para todas as ações e reflexões realizadas durante a atividade de
modelagem. Geralmente, uma premissa é uma ideia que não parte necessariamente
do modelador. Ela é aceita previamente, de modo que a adoção de uma nova premissa
conduz a uma nova modelagem. Os pressupostos, por sua vez, são conceituações de
aspectos específicos da situação em questão.
Por exemplo, mencionamos, no início do texto, sobre o fator campo; um
conceito nosso cuja construção remete à ideia que o aspecto referente ao lugar onde o
jogo será realizado tem influência no resultado desse jogo. Qualificamos esse aspecto,
isto é, formulamos um pressuposto; com base em nossas experiências e a ideia que o
mandante do campo tende a ter uma maior chance de vitória, em relação ao visitante.
Em nosso modelo ilustrativo 6 , matematizamos esse pressuposto (como exposta
em seção 2) em termos da média de pontos ganhos quando um time joga em cada
situação (mandante ou visitante).
É importante salientar que um mesmo pressuposto admite matematizações
diferentes. Alguns estudantes que participaram da atividade também pressupuseram
que o mandante tende a ter uma maior chance de vitória em relação ao visitante, e
utilizaram estratégias próprias para matematizar esse pressuposto:
5 Dewey concebe a ideia-guia como uma hipótese, ou uma estratégia posta para a resolução de uma
situação problemática ou indeterminada. Estamos ressignificando essa noção na concepção de
modelagem para aproximá-la de um princípio ou teoria, utilizada para guiar ou nortear o pensamento
no levantamento de aspectos e formulação de pressupostos na construção de modelos.
6 Mais adiante, detalharemos os passos na construção de nosso modelo ilustrativo (MELILLO e BEAN,
2011).
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26 PRODUTO EDUCACIONAL
“Jogo em casa – se o time joga em casa, ele tem mais chances de vitória.
Então, atribuímos nota 2 para quem joga em casa e 1 para o visitante.”
“Após discussão, chegamos à conclusão que alguns pressupostos são mais
importantes que outros, então decidimos atribuir uma porcentagem para cada
fator e adotamos 45% para o aproveitamento, 30% para o jogo dentro ou fora
de casa, 15% para a posição na tabela e 10% para o histórico.” [Nota: Neste
trecho, o pressuposto referente ao mando de campo é um dos quatro
pressupostos utilizados pelo grupo. O aspecto mando de campo, ao qual
seriam atribuídos valores 2 ou 1, responde por uma contribuição de 30% no
cálculo das probabilidades. Os outros aspectos possuem pesos de 45%, 15% e
10%.].
Embora esses trechos extraídos de trabalhos dos alunos não contenham as
justificativas das escolhas, eles são suficientes para observar duas características da
matematização de um pressuposto. No primeiro trecho, vemos que os alunos
matematizaram a influência do mando de campo de maneira diferente da nossa. No
segundo, os alunos, por meio da atribuição de pesos, estipularam a importância
relativa de cada um dos quatro aspectos por eles levantados.
Também é relevante destacar que os alunos, os quais cursavam a disciplina
Modelagem Matemática I, no curso de Licenciatura em Matemática da UFOP, já
haviam estudado a nossa concepção de modelagem (BEAN, 2009) e realizado
atividades nessa ótica. Assim, foi natural, para eles, trabalhar com a linguagem
premissa/aspectos/pressupostos.
Ainda, outro grupo escreveu:
Aspecto: Mando de campo (MC)
Pressuposto: O time, que é mandante do jogo, possui mais chances de vencer
a partida devido ao fato de jogar com a torcida a seu favor, além de conhecer
as dimensões do gramado e do estádio.”
Este grupo justificou tanto a formulação do pressuposto quanto a
matematização, apoiados em fontes de informações que utilizaram para tratar seu
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
conceito de fator mando de campo, em termos de porcentagens:
Fator mando de campo: Em consulta a um site de informes esportivos
encontramos a porcentagem referente a cada resultado dos jogos acontecidos
até a 36º rodada do campeonato brasileiro de 2010, encontrando-se: 46,9% de
vitória do Mandante, 31,2 % empate, 21,9% de vitória do visitante, ou seja,
essas porcentagens foram transformadas em nossas probabilidades para este
fator.
Este grupo, em um momento posterior, também atribuiu pesos para cada um
dos seus quatro aspectos levados em consideração na modelagem:
MC: Mando de campo – peso 4;
DE: Desenvolvimento econômico da cidade que sedia o time [índice econômico
da cidade do time – similar às questões de PIB entre países que disputaram a
Copa do Mundo no vídeo – ver referência na seção 5.1] – peso 3;
SG: Saldo de gols – peso 2;
CV: Cartões vermelhos – peso 1.
Convém notar que os três aspectos levantados por esse grupo, além do mando
do campo, não se encontram nas modelagens dos outros quatro grupos que
participaram da atividade. Interpretamos essa peculiaridade como efeito do
conhecimento diferenciado que estes alunos possuíam do tema futebol, antes do
início da modelagem. Apesar disso, a eficácia dos modelos não foi determinada por tal
nível de conhecimento. De qualquer forma, é interessante observar que algumas das
conceituações desse grupo não vieram à mente dos outros.
O levantamento de aspectos cabe ao modelador. Ao qualificar a influência
desses aspectos no fenômeno modelado, formulam-se os pressupostos. Uma única
premissa pode levar à formulação de vários pressupostos diferentes. A conceituação
de um único aspecto também pode ser feita de várias formas por indivíduos ou grupos
diferentes, culminando na construção de inúmeros modelos distintos.
Como nossa preocupação com o conceito elaborado estudantes, acerca da
situação, era grande, entendemos ser apropriado estimular uma sistematização do
trabalho, na fase de levantamento de aspectos e a formulação de pressupostos,
UFOP – 2011
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28 PRODUTO EDUCACIONAL
pedimos que os alunos relatassem essa conceituação:
“A partir da interação inicial com o caso apresentado, enumere os
aspectos que o grupo, em consenso, acredita que possam
influenciar na atribuição de probabilidades para os resultados dos
próximos jogos do campeonato. Se possível, explicite o aspecto a
ser considerado e, em seguida, formule um pressuposto, a partir
da conceituação deste aspecto.
Exemplo:
Aspecto a ser considerado: Horário de realização da partida.
Pressuposto: Jogos noturnos diminuem a chance de vitória de
times, nos quais os jogadores têm problemas de visão
Os estudantes foram capazes de levantar aspectos e formular pressupostos
sem muitas dificuldades, entretanto o desenvolvimento matemático (no intuito de
atribuir probabilidades aos resultados dos jogos) de um conjunto de pressupostos,
principalmente incorporar o conceito de proporcionalidade, após atribuir pesos e
médias ponderadas, mostrou se tratar de uma “tarefa” mais desafiadora; não em
termos dos conteúdos matemáticos empregados, mas em se tratando do
reconhecimento da aplicabilidade deles no contexto da modelagem.
Por matematizar os pressupostos, entendemos a utilização explícita de
métodos, conceitos, pensamento, linguagem ou representação matemática para
construção do modelo. A seguir, trazemos a expressão matemática, criada pelos
alunos que apresentaram os aspectos mando do campo (MC), desenvolvimento
econômico (DE), saldo de gols (SG) e cartões vermelhos (CV):
4MC 3DE
2SG
CV
10
Devidamente explicitadas, no relatório dos alunos, são as justificativas, tanto
para o uso dos aspectos quanto para a formulação dos pressupostos. Cada uma das
quatro variáveis na expressão assumiria um valor ente 0% e 100%, assim, a expressão
forneceria um valor entre 0% e 100% para um dado time.
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Além da linguagem utilizada, ou seja, a expressão em termos de operações
matemáticas, há conceitos matemáticos subjacentes, como a média ponderada, na
expressão exemplificada. Ainda há outra etapa da matematização, tendo em vista a
atribuição de probabilidades, que é a transformação dos valores obtidos pela
expressão destacada em valores percentuais.
Para ilustrar como pode se dar o processo de modelagem, em sua totalidade,
detalharemos, a seguir, a construção de nosso modelo ilustrativo. Ao falar em
“totalidade” do processo, referimo-nos às etapas de levantamento de aspectos,
formulação de pressupostos, matematização e avaliação do modelo – todas as etapas
devidamente justificadas. Durante este texto, já fizemos alusão ao nosso modelo, o
qual será explicitado na próxima seção.
5.3. A construção de nosso modelo ilustrativo
Quando falamos em um modelo que atribua probabilidades para cada
resultado, em um jogo de futebol, estamos interessados em responder às seguintes
perguntas: No confronto que acontecerá entre as equipes A e B, qual é a probabilidade
de vitória do time A? E do time B? E qual é a probabilidade de ocorrer um empate?
Para tanto, construímos um modelo ilustrativo, no intuito de antever problemas, obter
subsídios práticos para conduzir a atividade, em sala de aula, e avaliar a viabilidade
dela. Poderíamos utilizar qualquer modelo construído por alunos em sala de aula, mas
trazemos no presente texto, a modelagem feita por nós, que pode ser encontrada em
Melillo e Bean (2011). A escolha pela nossa própria modelagem para ser utilizada
como exemplo se deve ao fato de termos maiores detalhes para justificar e descrever
de cada escolha realizada no processo.
Para exemplificar tal modelagem, escolhemos a situação que nos era
apresentada após a 21ª rodada do campeonato brasileiro de 2010. As informações
disponíveis para a modelagem incluíam todo o conjunto de resultados ocorridos, ao
longo do campeonato, até então (inclusive dados de anos anteriores), bem como todos
os elementos de ordem técnica, financeira, física e emocional dos clubes, existentes no
momento da análise da situação.
UFOP – 2011
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30 PRODUTO EDUCACIONAL
Para atribuir as probabilidades dos resultados nos 10 jogos da 22ª rodada,
iniciamos nossa interação com o problema, ponderando sobre quais aspectos
antecedendo uma partida de futebol, pelo nosso ver, seriam importantes para
construir tais probabilidades. Entendemos que o modelo deve ser fundamentado em
uma ou algumas premissas ou ideias-guia, ou nortear sua construção. Apropriamos e
ressignificamos o conceito de ideia-guia (ver página 25) de Dewey que, ao discorrer
sobre pensamento reflexivo e hipóteses levantadas em investigações, coloca: “Sem
uma ideia-guia, os fatos seriam amontoados como grãos de areia; não se organizam
em unidade intelectual.” Para nós, em termos de premissas da modelagem,
aproximamos o conceito de ideia-guia com a noção de um princípio que orienta a
construção de um modelo. Não querendo ser repetitivos, mas no intuito de destacar o
“caminho” de nossa modelagem, retomaremos, novamente, a premissa adotada:
Premissa para guiar o pensamento
Nossa premissa, ponto de partida da modelagem, foi a mesma postada para a
turma:
À expectativa sobre o desempenho de um time de futebol em uma partida
quanto ao resultado final (vitória, empate ou derrota) pode ser atribuída uma
probabilidade, a partir de aspectos considerados relevantes levantados antes do
início da partida.
Aspectos levados em consideração
A partir da premissa adotada, resolvemos nos orientar em três aspectos que
consideramos pertinentes:
Primeiro: o local onde a partida é realizada influencia nossa expectativa;
Segundo: características de ordem técnica e emocional, vividas recentemente
pelos times, são capazes de influenciar resultados;
Terceiro: o desempenho no campeonato como um todo (e não apenas o
desempenho recente) deve ser levado em consideração, por representar o
nível técnico das equipes, de um modo geral.
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
A formulação desses aspectos foi orientada por crenças pessoais, baseadas em
nossa experiência em relação ao tema. Outros aspectos poderiam ter sido levados em
consideração, mas a dificuldade em lidar com eles nos motivou a descartá-los do
modelo. Entre alguns deles, podemos citar: conflitos internos na administração de
clubes, atrasos de pagamentos, jogadores que não estariam habilitados a jogar,
desempenho de setores específicos, como ataque ou defesa, etc.
Pressupostos a partir dos aspectos e a sua matematização
A partir da conceituação desses três aspectos, formulamos três pressupostos
numa linguagem que admite quantificação (BLUM e NISS, 1991; SKOVSMOSE, 2001;
CIFUENTES e NEGRELLI, 2009). Para tanto, criamos três parâmetros, denotados por c,
m e g, que representam, respectivamente, o que denominamos fator campo, o fator
momento técnico-emocional e o fator desempenho global de cada time. O conjunto
desses três parâmetros determina o número f que chamamos força do time, em uma
rodada específica.
O fator campo, descrito na seção 2 e retomado aqui, indicado por c, foi
subdividido em dois valores: cm é o fator campo, no caso do time em questão ser o
mandante, e cv, no caso em que este for o visitante. De acordo com nossas crenças,
julgamos que, se um time jogará em seus próprios domínios (time mandante),
definimos cm como a média de pontos obtida em cada jogo por este time, até então,
nos jogos que realizou em casa. De forma análoga ao pressuposto para o time
mandante, foi atribuído para o visitante um fator campo cv, dado pela média de pontos
por jogo que o time obteve quando jogou nessa mesma condição. Desse modo, a cada
time foram atribuídos dois fatores campo, um como mandante e o outro como
visitante. Em cada rodada, apenas um desses fatores será efetivamente considerado,
dependendo do local onde o jogo será realizado. As tabelas 2a e 2b mostram os
valores de cm e cv.
UFOP – 2011
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32 PRODUTO EDUCACIONAL
Tabela 2a: Valor de cm Tabela 2b: Valor de cv
Para o fator momento técnico-emocional, assumimos como pressuposto que os
resultados mais recentes têm um impacto significativo em relação às expectativas dos
resultados de jogos, e o indicamos por m em nosso modelo. O fator m foi definido
como a média ponderada da pontuação obtida pelo time nas últimas 6 rodadas. Nesse
cálculo, a rodada mais recente tem peso 6, e o peso decresce (por números inteiros),
até a rodada mais remota, cujo peso da pontuação obtida é igual a 1. O valor de m
pode ser observado na tabela 3.
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Tabela 3: Valor do fator momento técnico-emocional(m).
A escolha de 6 jogos está relacionada ao tempo (normalmente, essa é a média
de jogos realizados em um mês) e a escolha da média ponderada se dá pela ideia de
que, quanto mais recente é um resultado obtido, mais fortemente esse resultado
representa o momento vivido pelo time.
O terceiro fator, o desempenho global de um time, g, representa uma medida
da qualidade técnica de um time, ao longo de todo o campeonato. Consideramos que
a média aritmética dos pontos obtidos pelo time por jogo matematiza adequadamente
esse fator. Na Tabela 4, podemos observar os valores de g para cada time.
Tabela 4: Valor do fator desempenho global (g).
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34 PRODUTO EDUCACIONAL
Para transformar esses três fatores na força f de um time, para uma
determinada rodada, calculamos a média ponderada de c, m e g, com pesos
respectivos 5, 4 e 1. Os pesos foram atribuídos por meio de critérios subjetivos, que
expressam nossa ideia de quanto cada um deles influencia no resultado,
comparativamente entre eles. Como a pontuação obtida pelos times, individualmente,
em um jogo, varia de 0 a 3 pontos, optamos por estipular que os valores de todos os
parâmetros considerados também variassem de 0 a 3, incluindo a força f de cada time.
Na tabela 5 a seguir, estão representados o momento técnico-emocional (fator
m), o desempenho global (fator g), o desempenho específico como mandante e como
visitante (fatores cm e cv) e a força (f) de cada um dos 20 times para a próxima rodada.
Isto é, a tabela mostra o modelo matemático que construímos para criar o que
chamamos forças dos times:
4m 5c
g
f
10
Esses fatores, em conjunto, constituem a matematização do que Bean (2009)
chama de isolado. A tabela 6 apresenta os confrontos da 22ª rodada.
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Tabela 5: Valor da força (f) Tabela 6: Confrontos da 22ª rodada
A escolha de pesos de maneira subjetiva, bem como a escolha de medidas
estatísticas, como média aritmética e média ponderada, conduz a um resultado
matemático que expressa nossa expectativa pessoal a respeito dos fatores que afetam
o desempenho das equipes. Ao transformar essa expectativa em termos de
probabilidades, que é a última fase da matematização do modelo, chegamos à
probabilidade subjetiva de ocorrência de cada resultado.
A atribuição das probabilidades remete à subjetividade embutida na atribuição
de forças para cada time. Além disso, entendemos que a chance de vitória de um time
deve ser proporcional à sua força (f). Devemos lembrar, ainda, que o espaço amostral
dos resultados de um jogo de futebol possui três eventos. Além da vitória do
mandante e da vitória do visitante, existe o empate como uma possibilidade.
Consideramos que, quanto mais próximas estão as forças de dois times, maior é a
chance de empate entre eles. Utilizamos a ideia de que a chance de empate em um
jogo, por mais equilibrado que este seja, não pode ser considerada superior a 50%.
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Este valor tem caráter altamente subjetivo, e foi um consenso entre pessoas que
participaram da construção do modelo, após uma rica discussão. Um dado que foi
levantado durante esta discussão foi o seguinte: nos últimos 5 anos, pouco menos de
27% dos jogos do campeonato brasileiro terminaram empatados. Chegamos, então, à
seguinte forma para calcular a probabilidade de empate: a probabilidade de empate é
a razão entre a menor e a maior das forças, multiplicada por 0,5. Dessa forma, a
chance de empate (e) será sempre menor ou igual a 50%, diminuindo na medida em
que a diferença entre as forças aumenta.
Como exemplo, destacamos o cálculo da chance de empate no jogo realizado
na 22ª rodada entre Corinthians e Fluminense, os dois times que disputavam a
liderança do campeonato até então. Como a força da equipe do Fluminense para este
jogo era de 1,83 e a força do Corinthians era de 1,15, calculamos a chance de empate,
(1,15/1,83) x 0,5 = 0,31. Ou seja, consideramos que 31% é a probabilidade de ocorrer
empate nesse jogo.
As probabilidades de vitória, de cada um dos dois times, são calculadas
dividindo-se o percentual de chance de haver um vencedor (1 - e) em partes
proporcionais às forças dos dois times. Para o jogo Fluminense x Corinthians, a chance
de haver um vencedor é de 0,69, ou seja, um (1) menos a probabilidade de empate (e).
Os 69% de chance de não ocorrer empate devem, então, ser divididos em partes
proporcionais a 1,83 e 1,15, gerando assim, as probabilidades de vitória de Fluminense
e Corinthians, respectivamente.
Retomamos aqui a tabela 1, já exposta no início do texto, como resultado final
da modelagem. Vejamos as probabilidades que essa modelagem gerou, como
percentuais, para os resultados nos jogos da 22ª rodada. A coluna indicada por m é o
percentual de chance de vitória do mandante, e é o percentual de chance de empate e
v é o percentual de chance de vitória do visitante.
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Nesta 22ª rodada, o modelo “acertou” os resultados de três dos dez jogos, o
que consideramos um índice pequeno. Chamamos de “acerto” o fato de atribuir maior
probabilidade para o resultado de fato ocorrido. Naturalmente, não se pode
considerar adequado ou inadequado o modelo, a partir da comparação com os
resultados de uma única rodada. Esse modelo se auto-ajusta por meio de uma
realimentação realizada, a partir dos resultados de cada rodada. Nas rodadas
subsequentes, devemos estar atentos à comparação entre previsões do modelo e
resultados observados. Se as previsões do modelo não correspondem, de forma
adequada, aos resultados do campeonato, devemos reavaliar a construção do modelo,
ora revendo parâmetros e métodos de cálculos, ora questionando pressupostos
assumidos. Além disso, é importante estar ciente de que o índice de acertos pode estar
abaixo do esperado, por se tratar de um experimento com alto grau de complexidade
e inúmeros fatores envolvidos, além da subjetividade presente na construção do
modelo.
Levaríamos então, para a sala de aula, a sequência de atividades descrita. Os
alunos não teriam acesso a nosso modelo ilustrativo. Imaginamos que isso seria
prejudicial para a modelagem, pois nosso modelo carregaria consigo o rótulo de
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modelo “correto”, devido à autoridade intelectual normalmente atribuída às opiniões
do professor. Esse tipo de juízo descaracterizaria toda a atividade, cujo espírito é de
valorizar a criatividade, a diversidade de soluções e, sobretudo, o processo acima do
produto.
Para que os alunos participantes da atividade pudessem apreciar seus próprios
processos na construção dos modelos e conhecer as modelagens de colegas,
realizaram trabalhos escritos, ao longo da atividade, e elaboraram relatórios finais com
apresentações desses trabalhos. Um roteiro para os relatórios finais (a seguir) foi
fornecido aos alunos para ajudá-los a concatenar as ideias.
RELATÓRIO FINAL – MODELAGEM MATEMÁTICA NO FUTEBOL:
Favor relatar, por escrito, os principais passos da modelagem matemática
realizada nas últimas aulas, constando, por exemplo, os seguintes dados:
- Argumentações dentro do grupo;
- Mudanças de curso na construção do modelo;
- De onde surgiram as ideias (intuição, pesquisa, debate, etc.);
- Dificuldades (seja na escolha de aspectos, formulação de pressupostos,
matematização, etc.);
- Conteúdos matemáticos utilizados;
- Conhecimentos prévios do grupo;
- Fontes de pesquisa utilizadas;
- O que foi aprendido pelo grupo;
- Pressupostos “abandonados” ao longo do caminho;
- Critérios de avaliação da adequação do modelo;
- Pressupostos ou parâmetros reformulados no refinamento do modelo;
- Outras informações que o grupo considerar relevantes.
Além disso, preparar uma apresentação de aproximadamente 15 minutos,
para comunicar aos colegas como foi sua modelagem, bem como apresentar
as probabilidades atribuídas pelos modelos construídos.
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
Os relatórios produzidos pelos alunos permitiram um olhar para o processo de
modelagem como um todo, adicionalmente às observações que realizamos durante as
aulas. Algumas das considerações feitas por eles são destacadas a seguir:
“O grupo aprendeu que um modelo matemático sempre será desenvolvido a
partir de um conhecimento prévio, mas que nem sempre será o melhor modelo.
Modelos diferentes podem representar a mesma situação chegando a
resultados diferentes o que não significa que existe um modelo certo ou
errado.”
“Concluímos que não é preciso ter grande conhecimento sobre o assunto para
criar um modelo matemático, que é possível aplicar o método em diversas
séries do ensino médio e fundamental para diferentes conteúdos a serem
ministrados.”
“Podemos afirmar que quanto ao assunto de ‘futebol’ aprendemos muito e isto
nos deixou satisfeitas, pois o futebol faz parte da cultura brasileira.”
No primeiro trecho destacado, alunos avaliam a atividade do ponto de vista da
construção de modelos, e no segundo, do ponto de vista da aproximação do conteúdo
escolar dos temas do dia-a-dia.
CONSIDERAÇÕES
Retomando os objetivos à luz da realização e análise 7 da atividade, é pertinente
nos questionarmos: Em que medida conseguimos alcançar cada um deles?
I – diminuir o distanciamento entre a maneira de se agir e pensar, nos problemas
propostos em sala de aula, com o modo de tomar decisões em situações extra-
escolares.
Podemos inferir da análise da atividade que esse foi um objetivo cumprido a
contento. Algumas passagens observadas, durante a atividade, explicitaram relações
entre a vida escolar e a vida cotidiana dos alunos, em geral. Essas relações puderam
ser observadas tanto em assuntos discutidos (futebol, probabilidade, apostas, etc.)
quanto em atitudes (tomada de decisão, autonomia, etc.). A atividade mostrou
7 A dissertação que gerou este texto contém a análise detalhada, realizada pelo método da análise de
conteúdo.
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potencial para conscientizar os estudantes de que o mundo não é dividido em dois
fragmentos disjuntos e independentes, um dentro e outro fora da escola.
II – fortalecer a capacidade dos alunos de argumentar, formular ideias-guia, justificar e
testar suas conjecturas por meio de uma atividade de modelagem matemática, a partir
da adoção de premissas e formulação de pressupostos.
Aspectos do pensamento reflexivo que, em certos momentos, foram
contemplados no trabalho. Esses aspectos remetem, principalmente, a atitudes
intelectuais de previsão, de antecipação de consequências e da tentativa de empregar
o pensamento (mais que isso, o pensamento reflexivo) antes de agir impulsivamente,
diante de uma situação problemática.
A atividade de modelagem, na ótica de premissas e pressupostos, associou-se,
de forma produtiva, ao estímulo do pensamento reflexivo. A responsabilidade
conferida aos alunos, para levantar aspectos, formular pressupostos e avaliar seus
próprios modelos contribuiu para que tais alunos tivessem domínio das possíveis
consequências de cada uma das suas escolhas. Tamanha consciência do processo de
modelagem estimulou, na maneira de pensar dos estudantes, uma consecução das
ideias, no intuito de construir soluções satisfatórias para a situação problemática,
diante da qual os alunos deveriam se posicionar.
III – criar uma oportunidade de lidar com o processo de construção de modelos
matemáticos, trabalhando o pensamento, a linguagem e conceitos matemáticos
diversos.
Ainda que os conceitos matemáticos utilizados pelos alunos para a construção
de seus modelos tenha sido básicos, foi interessante perceber a liberdade dada a eles
para escolher, além dos próprios conceitos, a linguagem matemática a ser usada.
Principalmente, os alunos tiveram liberdade para pensar matematicamente, isto é,
utilizar diferentes estratégias para lidar com o caso apresentado.
Finalmente, concluímos sobre o método do caso que este apresentou potencial
para conduzir a atividade de modelagem, estimulando atitudes e competências
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
referentes à escola de Dewey.
Contudo, embora tenhamos analisado cuidadosamente os resultados de nossa
pesquisa de Mestrado Profissional, em antecedência à confecção deste produto
educacional, é preciso ter em mente que as conclusões da análise são, mais
precisamente, interpretações da situação observada.
Uma interpretação plausível para os resultados de nossa pesquisa é que eles
tenham apontado indícios de que a atividade proposta foi coerente com princípios da
educação progressiva. Apenas podemos refletir em que medida os objetivos de nossa
pesquisa foram atingidos. O próprio Dewey (2010) alerta que
não é suficiente que certos materiais e métodos tenham sido
eficientes com outros indivíduos em outras ocasiões. Deve haver uma
razão para se acreditar que certos materiais e métodos funcionarão
na produção de uma experiência que tenha qualidade educativa com
determinados indivíduos em determinado tempo. (p.47).
Ao julgar nossas conclusões sobre o trabalho, convém inferir o que se pode
generalizar, ou melhor dizendo, o que se pode aproveitar/adaptar para diferentes
contextos e objetivos educacionais em que se tenha a intenção de utilizar nossa
atividade como inspiração.
Outra ponderação relevante é com o método a ser adotado para conduzir uma
atividade da natureza da que propusemos. O método do caso é apenas uma opção que
acreditamos ser adequada, dentre outros métodos que poderiam ser utilizados.
Inclusive, entendemos que o método do caso não seria adequado para conduzir várias
atividades de modelagem em contextos e sob óticas que podemos encontrar na
literatura. Podemos ilustrar essa incompatibilidade com o trabalho de Franchi e
Mattos (2009), em que o problema em estudo foi reformulado algumas vezes, durante
a atividade, ou com a ótica de Araújo (2009), segundo a qual o tema de estudo na
atividade de modelagem deve ser escolhido pelos alunos. Em ambos os casos,
entendemos que a utilização de outro método deva ser apreciada pelo professor.
Seria um contrassenso de nossa parte defender que determinado método deve
ser utilizado sem restrições, por qualquer professor e em qualquer contexto.
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Preferimos corroborar com o que enuncia Dewey (2010, p.59): “O professor deve
planejar com flexibilidade e direcionamento.”
Flexibilidade, para nós, é uma condição necessária para se entender os
diferentes pontos de vista de estudantes e para adaptar as concepções do educador às
condições objetivas e institucionais às quais os envolvidos no processo educacional
estão submetidos. Direcionamento também, pois o aluno precisa estar desafiado e ter
claro um propósito.
Acreditamos que, ao propor a atividade de modelagem matemática no futebol,
possamos ter contribuído para o debate educacional, oferecendo uma estratégia de
construção de modelos matemáticos na solução de uma situação, apresentando uma
possibilidade de encaminhamento didático em sala de aula de Matemática (o método
do caso) e escolhendo um contexto apropriado para a concepção da atividade (o
Campeonato Brasileiro de Futebol).
Um ponto alto da atividade, a nosso ver, foi a possibilidade de cada aluno
trabalhar a partir de suas próprias experiências de vida, deixando aberto o “portão” da
escola, para que crenças, atitudes e conhecimentos pudessem “entrar e sair a
qualquer momento”, diminuindo o distanciamento entre esses dois “mundos”.
Ao associar a atividade de sala de aula às atitudes, conhecimentos e
experiências do cotidiano dos estudantes, tentamos nos aproximar de uma escola há
décadas vislumbrada e defendida por Dewey, em que competências capazes de
incrementar a qualidade das experiências dos alunos roubam o lugar de fórmulas
prontas, estratégias únicas, busca por respostas fechadas e acabadas... Em suma: uma
escola que preza pelo fim das “mentes fechadas”. Para nós, a atividade mostrou que
essa escola não é mera utopia. É possível!
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Futebol: entram em campo a modelagem matemática e o método do caso.
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