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Tarefas Desafiantes e Criativas

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Introdução<br />

<strong>Tarefas</strong> <strong>Desafiantes</strong> e <strong>Criativas</strong><br />

1<br />

Isabel Vale<br />

Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo, Portugal<br />

isabel.vale@ese.ipvc.pt<br />

Os numerosos estudos sobre resolução de problemas desenvolvidos têm revelado a<br />

complexidade do tema e, apesar de já haver um corpo de conhecimento substancial, temos de<br />

revisitar e atualizar as nossas perspetivas sobre o ensino e a aprendizagem de resolução de<br />

problemas e de como chegar ao conteúdo matemático. As tarefas desafiantes, em particular as<br />

abertas, normalmente requerem pensamento criativo e o nosso trabalho recente com padrões<br />

mostrou que estes podem ser uma via para promover a criatividade nos alunos, recorrendo a<br />

contextos dentro e fora da matemática. A investigação tem mostrado que a resolução e a<br />

formulação de problemas em matemática estão intimamente relacionadas com a criatividade<br />

(Barbeau & Taylor, 2005; Silver, 1997). A formulação de problemas tem sido uma<br />

componente da aula de matemática bastante negligenciada, mas essencial na aprendizagem de<br />

conhecimentos matemáticos. Por outro lado, aprender a resolver problemas da vida real tem-<br />

se revelado uma tarefa mais difícil do que resolver problemas típicos das aulas e dos livros de<br />

texto. Assim, ambientes de aprendizagem onde sejam dadas oportunidades aos alunos para<br />

resolver problemas de matemática utilizando estratégias de resolução diversificadas e para<br />

formular os seus próprios problemas a partir de situações que lhes sejam apresentadas, seja<br />

em contextos matemáticos ou não matemáticos, podem envolver os alunos em explorações<br />

matematicamente ricas, aumentar a sua motivação e encorajá-los a investigar, tomar decisões,<br />

generalizar, procurar padrões e conexões, comunicar, discutir ideias e identificar alternativas.<br />

As <strong>Tarefas</strong> Matemáticas em Educação Matemática<br />

Uma questão que devemos ter presente como educadores matemáticos será o que significa<br />

aprender Matemática. Esta pode parecer uma questão simples mas tem implicações<br />

importantes. Para aprender matemática precisamos de ser minimamente capazes de<br />

compreender conceitos matemáticos, estratégias e procedimentos e utilizá-los para resolver<br />

uma diversidade de problemas, simples ou complexos, rotineiros ou não. Deste modo muita


da investigação é orientada para desenvolver capacidades de resolução de problemas nos<br />

estudantes desde muito cedo. A perspetiva sobre a resolução de problemas de forma<br />

prescritiva reduzindo-se ao ensino de estratégias revelou-se insuficiente. Têm de procurar-se<br />

outras alternativas. Aprender a ser como um matemático é aprender a fazer o que os<br />

matemáticos fazem, envolve um olhar matemático sobre o mundo, compreender a sua<br />

natureza e participar na construção e refinamento do conhecimento matemático. Não se<br />

pretende preparar os estudantes para serem matemáticos, mas aprender a ser como um<br />

matemático - envolver-se com o conhecimento matemático noutra perspetiva, participar no<br />

processo de invenção e descoberta, refinamento dos métodos e das formas de representação,<br />

colaborar, duvidar, criticar e ser persistente a resolver problemas (Kapur, 2009). Dentro desta<br />

perspectiva situa-se Ponte (2007) quando sugere um ensino e aprendizagem exploratório em<br />

que o professor promove condições para que o aluno descubra e construa o seu próprio<br />

conhecimento, sendo que não poderá ser realizado pontualmente, mas deverá ser usual no<br />

desenvolvimento da aprendizagem da Matemática. Neste contexto aparecem as tarefas como<br />

fator determinante na prática docente. Na verdade, as tarefas utilizadas em sala de aula são o<br />

ponto de partida para a atividade matemática dos alunos durante o processo de ensino e<br />

aprendizagem da matemática (Doyle, 1988). A finalidade básica de uma aula de matemática é<br />

que os estudantes aprendam algo sobre determinado tópico que foi planeado pelo professor.<br />

Para atingir este objetivo o professor deve propor tarefas que envolvam os alunos durante a<br />

aula. A investigação mostra que o que os alunos aprendem é largamente influenciado pelas<br />

tarefas que lhes são dadas (e.g. Doyle, 1988; Stein & Smith, 2009).<br />

Assim, uma tarefa matemática refere-se aquilo que é pedido aos alunos para fazer, seja um<br />

cálculo, símbolos para manipular, representações diversas para serem utilizadas ou traduzir<br />

enunciados de problemas em linguagem matemática ou modelados (Mason & Johnston-<br />

Wilder, 2006). Para Stein & Smith (2009) uma tarefa é um segmento da atividade da sala de<br />

aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemática específica. Para estas autoras as<br />

tarefas têm uma duração bem definida e estão na base da aprendizagem dos alunos, exigindo<br />

que estes pensem conceptualmente e estejam motivados para fazer conexões, o que, ao longo<br />

do tempo, irá conduzir ao desenvolvimento nos alunos de ideias implícitas sobre a natureza da<br />

Matemática. Diferentes tarefas com diferentes níveis de exigência cognitiva induzem<br />

diferentes modos de aprendizagem. Consequentemente há tarefas de exigência cognitiva<br />

elevada e reduzida, conforme dão mais ou menos oportunidades aos alunos de se envolverem<br />

em processos complexos de pensamento. Stein & Smith (2009) defendem a utilização de<br />

2


tarefas de nível elevado em detrimento de tarefas de nível reduzido, pois estas implicam a<br />

realização de muitas tarefas semelhantes, tornando-se um trabalho rotineiro, com evidente uso<br />

excessivo da memorização; contrariamente, as tarefas de nível elevado promovem a utilização<br />

de procedimentos que permitem desenvolver conexões com os significados matemáticos,<br />

relações entre diferentes maneiras de fazer representações e, como tal, implicam a realização<br />

de tarefas bastante diversificadas e motivadoras para os alunos. Ainda referem que dar aos<br />

alunos muito ou pouco apoio ou direção pode resultar num decréscimo na exigência cognitiva<br />

da tarefa. Deste modo, a natureza das tarefas condiciona as aprendizagens que se produzem<br />

em sala de aula. Por isso, é importante dispor de boas tarefas matemáticas. Uma tarefa é boa<br />

quando serve para introduzir ideias matemáticas fundamentais, constitui um desafio<br />

intelectual para os alunos e permite diferentes abordagens (NCTM, 2000). Assim, podemos<br />

ter tarefas para aprender – as que o professor usa para ensinar um novo conceito ou<br />

capacidade; tarefas para rever – as que o professor usa para rever conceitos ou capacidades já<br />

adquiridos de modo a facilitar a aprendizagem de novos conceitos ou capacidades; tarefas<br />

para praticar – as que o professor usa durante as aulas para clarificar um conceito ou<br />

demonstrar uma capacidade propondo que os alunos trabalhem individualmente ou em<br />

grupos, durante o tempo de aula ou fora dela; tarefas para avaliar – as que o professor usa<br />

para avaliar o desempenho dos alunos; etc.. Ainda podemos classificar as tarefas como sendo<br />

de natureza mais fechada ou mais aberta, como sejam as investigações (e.g. Ponte, 2007), as<br />

que exploram formulação de problemas (e.g. Silver, 1997 e os problemas abertos (e.g.<br />

Pehkonen, 2003).<br />

Um dos principais mecanismos para promover uma compreensão conceptual da matemática é<br />

a utilização de tarefas matemáticas desafiantes, aquelas que promovem o pensamento, o<br />

raciocínio e a resolução de problemas. As discussões geradas por este tipo de tarefas<br />

proporcionam aos alunos oportunidades para partilhar e clarificar ideias, desenvolver<br />

argumentos convincentes sobre o porquê do funcionamento das coisas, desenvolver uma<br />

linguagem para exprimir ideias matemáticas e aprender a partir de outras perspetivas (NCTM,<br />

2000). Podemos dizer que as tarefas que cada professor seleciona para as suas aulas são<br />

determinantes para caraterizar o trabalho que desenvolve. As tarefas a dar aos alunos devem<br />

ser diversificadas; desde fazer leituras e colocar perguntas a propor problemas, construções,<br />

aplicações, projetos, investigações, exercícios. As tarefas devem ser efetuadas de forma<br />

criteriosa de modo a promover uma matemática contextualizada, concetual, desafiante,<br />

efetiva, exigente, .., mas também acessível e procedimental. Mostrar a matemática como uma<br />

3


atividade do quotidiano, valorizar diferentes experiências e predisposições dos alunos e ainda<br />

motivar todos os alunos para a aprendizagem da matemática. A escolha ponderada das tarefas<br />

é necessária mas não suficiente. As tarefas propostas devem permitir ao aluno definir<br />

estratégias, argumentar resoluções e promover a comunicação matemática, terminando com<br />

uma síntese das principais ideias apreendidas, sendo este um trabalho realizado pelos alunos,<br />

em conjunto com o professor. O questionamento sobre as tarefas e sobretudo a orientação do<br />

questionamento é crucial para a aprendizagem dos alunos. Este só surge adequadamente se o<br />

professor tiver um conhecimento sólido da matéria a ensinar, como ensinar e quando ensinar<br />

(Vale, 2009).<br />

Criatividade, Resolução e Formulação de Problemas<br />

A literacia matemática dos alunos é, usualmente, determinada pelo modo como usam os<br />

conhecimentos, as capacidades e as atitudes na resolução de problemas. Assim, é necessário<br />

propor-lhes experiências diversificadas que permitam desenvolver as suas capacidades de<br />

resolução de problemas, de modo a poderem tirar partido da Matemática ao longo da vida. A<br />

matemática é envolvente, útil e criativa (Barbeau & Taylor, 2005), mas só nos deixamos<br />

envolver e ser criativos se formos atraídos e desafiados pelas tarefas com que nos<br />

confrontamos. Não se pode conceber a Matemática sem conceitos, definições, axiomas,<br />

teoremas, demonstrações, algoritmos ou fórmulas. São partes integrantes desta ciência.<br />

Contudo, os problemas — a sua formulação e resolução — são a essência da Matemática. A<br />

inovação a a criatividade desempenham um papel importante neste contexto, sendo uma<br />

característica dinâmica que os alunos devem desenvolver, e para isso os professores devem<br />

proporcionar-lhes oportunidades de aprendizagem adequadas (Leikin, 2009). Em todas as<br />

áreas do conhecimento a necessidade de pessoas mais criativas, capazes de oferecer soluções<br />

inovadoras para os problemas, tem vindo a ser cada vez mais defendida, e deste modo a<br />

criatividade é uma capacidade transversal a todas as áreas de conhecimento. Não há uma<br />

única descrição de criatividade, mas pode afirmar-se que começa com a curiosidade e envolve<br />

os estudantes na exploração e experimentação suscitando a sua imaginação e originalidade<br />

(DFES, 2000). O termo criatividade é normalmente usado para referir a capacidade de<br />

produzir novas ideias, abordagens ou ações.<br />

De acordo com Silver (1997) a investigação tem mostrado que a resolução e a formulação de<br />

problemas em matemática estão intimamente relacionados com a criatividade. A par da<br />

resolução de problemas, a formulação de problemas é uma atividade de importância<br />

4


inquestionável numa aula de matemática, pois contribui não só para o aprofundamento dos<br />

conceitos matemáticos envolvidos, mas também para a compreensão dos processos suscitados<br />

pela sua resolução. Encorajar os alunos a criar, a partilhar e a resolver os seus próprios<br />

problemas é um contexto de aprendizagem muito rico para o desenvolvimento da sua<br />

capacidade de resolução de problemas e do seu conhecimento matemático. Ao colocarem<br />

problemas, os alunos apercebem-se da sua estrutura, desenvolvendo, assim, pensamento<br />

crítico e capacidades de raciocínio ao mesmo tempo que aprendem a exprimir as suas ideias<br />

de modo mais preciso. A formulação de problemas faz parte da resolução de problemas. Polya<br />

já em 1945 referia que toda a atividade de resolução de problemas fica incompleta se não se<br />

der oportunidades aos alunos de formularem problemas. No entanto esta tem sido uma<br />

componente que não tido visibilidade nas aulas de matemática. A formulação de problemas<br />

pode ser uma estratégia poderosa para desenvolver capacidades a nível da resolução de<br />

problemas, mas, por outro lado, para formular problemas matemáticos significativos é<br />

necessário resolver bem problemas. Assim, as duas capacidades terão de ser desenvolvidas<br />

em paralelo, incentivando os alunos a criar os seus próprios problemas com base em<br />

situações fornecidas ou experiências vivenciadas e, ao mesmo tempo, a resolver<br />

problemas através duma cada vez maior diversidade de estratégias. Deste modo, serão<br />

encorajados a tomar decisões, usar diferentes representações, procurar conexões e<br />

desenvolver a comunicação (Sullivan, 1999). A complexidade do tema da resolução de<br />

problemas mostra que, apesar de um corpo bastante significativo de conhecimento que já se<br />

adquiriu, ainda são insuficientes tendo em vista o sucesso esperado, daí a necessidade de<br />

novos pontos de vista acerca do ensino e da aprendizagem de resolução de problemas e de<br />

como chegar ao conteúdo matemático (e.g. Allevato & Onuchic, 2008; English et al., 2008).<br />

<strong>Tarefas</strong> desafiantes e/ou abertas normalmente requerem pensamento criativo e o nosso<br />

trabalho recente com problemas de padrão mostrou que estes podem ser um modo de<br />

promover a criatividade nos alunos, assim como o recurso a contextos fora da aula de<br />

matemática. Silver (1997) refere que a ligação da matemática com a criatividade não reside<br />

apenas na formulação de problemas mas resulta da ligação entre a formulação e a resolução<br />

de problemas, sugerindo que se pode promover a criatividade em matemática, mas que para<br />

isso deve ter-se em atenção o tipo de ensino utilizado, que deve ser sempre alargado a todos<br />

os estudantes. Em particular, as tarefas com padrões têm um grande potencial criativo pois<br />

podem ser abertas e permitem uma grande variedade de conexões com todos os temas<br />

matemáticos, facultando a preparação dos estudantes para aprendizagens futuras, e ainda<br />

5


desenvolvem capacidades de resolução e formulação de problemas assim como de<br />

comunicação (e.g. NCTM, 2000). Os investigadores Millman & Jacobbe (2008) defendem o<br />

desenvolvimento nos futuros professores de “hábitos de pensamento matemático” (MHM),<br />

identificando as ligações à resolução de problemas, e que recomendam como um caminho<br />

para promover a criatividade. Estes hábitos de pensamento matemático apesar de serem<br />

recomendados para a formação de professores devem também ser usados como abordagem<br />

para promover a criatividade nas crianças através de uma cultura de sala de aula onde os<br />

professores utilizem um sólido questionamento. A fim de ajudar os alunos a desenvolver o<br />

MHM e que os professores devem trabalhar com os seus alunos, aqueles autores identificam<br />

as seguintes características do MHM: (1) explorar ideias matemáticas; (2) formular questões;<br />

(3) construir exemplos; (4) identificar abordagens gerais de resolução de problemas; (5) fazer<br />

generalizações; e (6) refletir sobre as suas respostas.<br />

A criatividade matemática, de acordo com vários autores (e.g. Conway, 1999; Leikin, 2009;<br />

Silver, 1997), caracteriza-se por possuir três dimensões: fluência, flexibilidade e<br />

originalidade, que representam três das componentes envolvidas na resolução de problemas<br />

abertos. A fluência é a capacidade de produzir um grande número de ideias diferentes. A<br />

flexibilidade é a capacidade para pensar de modos diferentes. Está associada ao modo como<br />

mudamos de ideias quando se está a resolver um problema para encontrar várias soluções ou<br />

para optar pela solução óptima. E a originalidade é a capacidade de pensar de forma única,<br />

produzindo ideias novas. Pode ser manifestada quando um aluno analisa várias resoluções de<br />

um problema, métodos e respostas, e consegue criar outra que seja diferente. As tarefas que<br />

podem promover estas dimensões devem ser desafiantes, abertas, assumindo a forma de<br />

resolução e formulação de problemas, explorações matemáticas e investigações.<br />

Há autores (Lesh & Doerr, 2003) que referem que pensar de forma produtiva requer que o<br />

resolvedor interprete a situação matematicamente, o que normalmente envolve um percurso<br />

através de ciclos que incluem descrever, modificar e rever interpretações matemáticas assim<br />

como identificar, integrar, modificar ou refinar um conjunto de conceitos matemáticos<br />

retirados de diferentes fontes. Estes processos são os rudimentos da modelação matemática.<br />

Deste modo, sugerem que uma alternativa para o ensino e aprendizagem da resolução de<br />

problemas é adoptar uma perspetiva de modelação. Ver a resolução de problemas a partir de<br />

uma perspetiva de modelação contrasta com a definição tradicional de resolução de problemas<br />

como sendo a procura do caminho que nos leva dos dados até ao objetivo pretendido. Ora, as<br />

tarefas com padrões, ao recorrerem a uma componente poderosa da atividade matemática que<br />

6


é a generalização, podem nalguns casos situar-se nesta perspetiva. Os estudantes e (futuros)<br />

professores precisam de ser incentivados a procurar respostas originais, uma vez que esta<br />

estratégia é um caminho para encontrar soluções criativas ou soluções para problemas<br />

difíceis. De facto, tanto a flexibilidade como a originalidade incentivam o pensamento<br />

divergente, proporcionando processos mentais de ordem superior.<br />

Uma vez que o nosso trabalho recente mostrou que as tarefas com padrões, por serem na<br />

maioria abertas e desafiantes, podem ser um meio de promoção da criatividade, verifica-­‐se<br />

uma complementaridade na procura de padrões e na resolução mais genérica de<br />

problemas que pode conduzir a formas fortes e criativas de fazer matemática. As ideias<br />

expressas anteriormente podem ser resumidas no esquema da figura seguinte.<br />

Alguns Exemplos de <strong>Tarefas</strong><br />

Apresentam-se alguns exemplos de tarefas que resultam de um trabalho preliminar que<br />

estamos a iniciar no âmbito da criatividade relacionando-a com a resolução e formulação de<br />

problemas.<br />

Tarefa 1- Os círculos<br />

Observe a figura<br />

1. Imagine que a figura dada é o<br />

1º termo de uma sequência.<br />

Desenhe os termos seguintes.<br />

2. Escreva uma expressão numérica que traduza o<br />

modo de calcular o termo de ordem n da<br />

sequência.<br />

3.Imagine que a sequência que construiu começa<br />

com o 2º termo. Desenhe o 1º termo.<br />

7<br />

Tarefa 3- Expressão<br />

Imagine que é um professor do ensino básico e<br />

que pretende colocar aos seus alunos um<br />

problema que possa ser traduzido pela expressão<br />

numérica 3 x 5 + 2. Invente um problema que seja<br />

traduzido pela expressão dada.


Tarefa 2- Quadrados com palitos<br />

Pode fazer quadrados utilizando palitos do<br />

mesmo tamanho de modo que se toquem apenas<br />

pelas extremidades. Existem muitas<br />

possibilidades de dispor os palitos de modo a<br />

obter cinco quadrados. Desenhe o máximo de<br />

soluções que consiga descobrir.<br />

8<br />

Tarefa 4- Quadrados sobrepostos<br />

Os dois quadrados intersetam-se<br />

pelos pontos médios dos seus<br />

lados, conforme mostra a figura.<br />

Formule um problema que recorra<br />

à figura.<br />

Estas tarefas foram algumas das apresentadas durante a formação inicial de professores numa<br />

turma do 3º ano de licenciatura e apresentamos alguns dos resultados obtidos.<br />

Tarefa 1- Os círculos<br />

Tarefa 2- Quadrados com palitos<br />

Tarefa 3- Expressão<br />

O pai do João tem 5 euros para dar a cada um dos seus três<br />

filhos. Depois lhes ter dado o dinheiro ainda ficou com dois<br />

euros no bolso. Que dinheiro tinha o pai do João<br />

inicialmente no bolso?<br />

Quantas estrelas tem a imagem<br />

seguinte?<br />

Escreve a expressão numérica que<br />

traduza um modo rápido de contar<br />

as estrelinhas.<br />

Tarefa 4- Quadrados sobrepostos<br />

O João sobrepôs dois quadrados iguais que se intersetem<br />

nos pontos médios dos lados. Calcula a área do quadrado<br />

menor, sabendo que o perímetro de cada um dos quadrados<br />

maiores é 16 cm.<br />

Escreve a expressão numérica que traduza um modo rápido<br />

de Temos contar dois contar quadrados as estrelas. iguais sobrepostos. O quadrado<br />

menor tem 12cm de perímetro. Se souberes que a área do<br />

quadrado menor é 1/9 da área de um quadrado maior, qual<br />

é o perímetro do quadrado maior?<br />

Na tarefa 1surgiram duas propostas que foram apresentas apenas por duas alunas, as duas<br />

últimas. A tarefa 2 foi a que suscitou mais dificuldades aos alunos. Tiveram muita dificuldade<br />

em iniciar a tarefa. Quando perceberam o que lhes era pedido, as propostas mais comuns<br />

foram as relacionadas com a identificação com os pentaminós que tinham sido trabalhados<br />

durante as aulas e o que se apresenta constitui as outras soluções que surgiram e que foram<br />

(não todas) apresentadas por um grupo reduzido de alunos. Não apareceram muitas outras<br />

hipóteses de soluções, sobretudo as resultantes da consideração de três dimensões. Na tarefa 3<br />

a maioria dos alunos apresentou enunciados que se identificam como problemas fechados<br />

recorrendo às operações básicas. As propostas foram quase todas do mesmo tipo do “pai do<br />

João” variando apenas os contextos (e.g. bolos, animais, frutos, conchas, CDs, mesas,<br />

cadeiras, chocolates, flores, dados,...). Contudo apareceu uma proposta diferente tendo a aluna


ecorrido ao conhecimento adquirido durante as aulas da disciplina sobre contagens visuais.<br />

Na tarefa 4 a maior parte dos enunciados coincidem com os “quadrados do João”; alguns<br />

estudantes nem resolveram a tarefa. A proposta mais elaborada que surgiu foi a que considera<br />

os quadrados sobrepostos mas não pelos pontos médios. Nesta fase, ainda não conseguimos<br />

fazer uma análise aprofundada do trabalho pois ainda nos falta um modelo concetual que nos<br />

permita efetuar essa análise, mas podemos dizer que os resultados indicam que estes<br />

estudantes foram criativos nas tarefas que envolviam padrões de contagem ou padrões de<br />

crescimento. Este resultado parece decorrer do trabalho que tem sido feito com padrões. A<br />

tarefa mais difícil foi o problema aberto, dos quadrados com palitos, sendo as propostas<br />

apresentadas todas muito semelhantes. Nas duas tarefas em que tiveram que formular um<br />

problema, seguiram o caminho mais evidente e elementar, sendo que as propostas<br />

apresentadas não diferem muito das que os alunos do ensino básico eventualmente fariam,<br />

recorrendo a enunciados pouco elaborados, em particular na tarefa 3.<br />

As tarefas que se apresentam a seguir fazem parte de um trabalho realizado no projeto<br />

MatCid 1 , desenvolvido no âmbito da formação inicial e contínua de professores e estudantes<br />

do ensino básico. Neste projeto, a ideia principal era que os diferentes participantes olhassem<br />

para o meio que os rodeia, neste caso a cidade de Viana do Castelo, e descobrissem a<br />

matemática invisível em cada um dos diferentes aspetos da cidade, desde os jardins aos<br />

edifícios, que constituíram temas que os (futuros) professores escolheram tendo feito um<br />

levantamento fotográfico. Com base neste material formularam problemas de matemática<br />

adequados ao ensino básico. Os exemplos seguintes ilustram duas propostas apresentadas por<br />

dois grupos de alunos da formação inicial.<br />

Tema: As Janelas<br />

Nas fachadas dos edifícios da cidade de Viana do Castelo é possível<br />

observar uma diversidade de janelas de rara beleza, ricas em pormenores<br />

decorativos. Muitas das janelas que se encontram em Viana são<br />

ornamentadas com cantaria.<br />

Observa uma janela da Rua de Olivença.<br />

1. Que polígonos reconheces na parte fixa da janela?<br />

2. Cada meia janela é formada por diferentes tipos de retângulos. Quantos<br />

tipos de retângulos diferentes podes identificar em cada meia janela?<br />

3. Se a janela fosse formada apenas por retângulos pequeninos quantos<br />

seriam necessários para construir cada meia janela?<br />

4. Faz uma estimativa:<br />

O menor dos retângulos que parte é da meia janela? E o maior retângulo vertical?<br />

1<br />

MatCid- a Matemática e a Cidade, refºCV/33-2006-2009, financiado pela Ciência Viva<br />

9


Tema: O ouro<br />

Este xaile é uma das peças que podes encontrar no Museu do Ouro.<br />

Este é composto por flores todas iguais, unidas por uma argola,<br />

terminando cada fila numa esfera.<br />

Observando, de forma mais atenta, determinados pormenores do xaile, é<br />

possível identificar uma sequência de elementos, onde podemos<br />

relacionar as flores, as pétalas que as compõem e as esferas.<br />

1. Analisando a figura 1 e a figura 2 desenha a<br />

figura 3.<br />

2. Imagina que a sequência de figuras continua.<br />

Com seis esferas pendentes quantas flores<br />

existiriam? E pétalas?<br />

3. E se nessa sequência existissem 15 esferas numa determinada figura, qual<br />

seria a sua posição? Quantas flores teria?<br />

4. Se observasses uma sequência com 36 flores quantas esferas existiriam?<br />

O exemplo seguinte foi apresentado numa sessão de formação contínua de professores, por<br />

uma professora que se baseou no que viu da janela da sala onde decorreu a formação para<br />

construir uma tarefa matemática. Recolheu uma fotografia do edifício e elaborou um<br />

problema de padrão que utilizou nas suas aulas, do qual se apresenta a resolução de um aluno<br />

do 1º ano de escolaridade (6 anos).<br />

O exemplo seguinte ilustra uma tarefa que foi construída também na formação inicial de<br />

professores mas baseada num cartaz elaborado no âmbito do projeto Padrões, sobre os<br />

padrões em animais.<br />

Temas: Animais<br />

Observa a cobra<br />

Descreve o padrão de cores evidenciado na pele da cobra.<br />

Utiliza o material disponível para construir um padrão equivalente ao que<br />

identificaste.<br />

Que peça estará na 10ª posição? E a que estará na 25ª posição?<br />

Inventa um padrão à tua escolha recorrendo ao mesmo material.<br />

O resolvedor de problemas mais bem sucedido é aquele que é capaz aplicar abordagens<br />

diversificadas (Conway, 1999). Se o estudante for incentivado a procurar a originalidade nas<br />

suas resoluções, terá maior êxito na abordagem de problemas difíceis. É importante que os<br />

futuros professores desenvolvam a sua própria criatividades, estando cientes deste processo<br />

10


para que possam agir da mesma forma com os seus alunos. Ao agirem assim estão a estimular<br />

o pensamento divergente, mais rico, complexo e produtivo.<br />

Algumas Considerações Finais<br />

A grande finalidade dos professores é que os seus alunos desenvolvam uma cada vez maior<br />

aptidão matemática que lhes permita resolver a diversidade de problemas com que são<br />

confrontados dentro e fora da escola. Continua em aberto a discussão de qual o melhor modo<br />

de apoiar e promover a aprendizagem dos alunos e o desenvolvimento do conhecimento e<br />

capacidades matemáticas. Os estudos desenvolvidos nesta área têm revelado que a resolução<br />

de problemas é uma tarefa complexa que envolve, entre outros, conteúdo matemático,<br />

estratégias, raciocínio, diversos processos, conceções, emoções e aspectos contextuais. Os<br />

currículos da matemática escolar têm lhe dado atenção, contudo ao longo das últimas décadas,<br />

os currículos têm sofrido inúmeros ciclos de movimentos que balançam entre o foco na<br />

resolução de problemas e o foco nas competências básicas (English et al., 2008). Defendemos<br />

que uma abordagem através da resolução de tarefas desafiantes em contextos diversificados,<br />

como seja o meio que rodeia o estudante, e em particular as tarefas com padrões surgindo de<br />

forma natural e realística, podem dar um contributo positivo para o desenvolvimento da<br />

aptidão matemática dos alunos (e.g. Pimentel, 2010; Vale et. al. 2009). Do mesmo modo,<br />

a criatividade, como tema emergente e em debate, em particular na aula de matemática, e que<br />

com fortes ligações com a resolução de problemas, pode igualmente contribuir e ser um<br />

caminho a (re)descobrir. Paralelamente deve continuar a discussão acerca de alguns termos<br />

que ainda têm significados não consensuais, como sejam, por exemplo, problemas,<br />

investigações, tarefas rotineiras e não rotineiras, avaliação em resolução de problemas. Por<br />

outro lado, terá de ser simultaneamente repensada a formação inicial e contínua de<br />

professores, discutindo de que modo é que estes professores podem desenvolver os seus<br />

conhecimentos matemáticos e didáticos com vista não só a ensinar matemática de modo<br />

criativo como também a desenvolver a criatividade dos seus alunos. Só assim alunos e<br />

professores poderão resolver mais problemas e neste processo aprender mais matemática.<br />

Referências<br />

Allevato, N & Onhuchic, L. (2008). Teaching Mathematics in the Classroom Through Problem<br />

Solving. In Manuel Santos & Yoshi Shimizu (Eds.), Proceedings of the 11th International<br />

Congress on Mathematical Education. Monterrey, México. Disponível em<br />

http://tsg.icme11.org/document/get/453<br />

Barbeau E. J. & Taylor P. J. (2005). Challenging mathematics in and beyond the classroom.<br />

Discussion document of the ICMI Study 16. http://www.amt.edu.au/icmis16.html<br />

11


Conway, K. (1999). Assessing open-ended problems. Mathematics Teaching in the Middle<br />

School, 4, 8, 510-514.<br />

DFES (2000). The Curriculum Guidance for the Foundation Stage. London: QCA.<br />

Doyle, W. (1988). Work in mathematics classes: The context of students’ thinking during instruction.<br />

Educational Psycologist, 23, 167-80.<br />

English, L., Lesh, R., & Fennewald, T. (2008). Future directions and perspectives for problem solving<br />

research and curriculum development. In Santos, Manuel & Shimizu, Yoshi (Eds.) Proceedings<br />

of the 11th International Congress on Mathematical Education, Monterrey, Mexico.<br />

Kapur, M. (2009). Learning through productive failure in mathematical problem solving. In B. Kaur,<br />

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