Tarefas Desafiantes e Criativas
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Introdução<br />
<strong>Tarefas</strong> <strong>Desafiantes</strong> e <strong>Criativas</strong><br />
1<br />
Isabel Vale<br />
Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo, Portugal<br />
isabel.vale@ese.ipvc.pt<br />
Os numerosos estudos sobre resolução de problemas desenvolvidos têm revelado a<br />
complexidade do tema e, apesar de já haver um corpo de conhecimento substancial, temos de<br />
revisitar e atualizar as nossas perspetivas sobre o ensino e a aprendizagem de resolução de<br />
problemas e de como chegar ao conteúdo matemático. As tarefas desafiantes, em particular as<br />
abertas, normalmente requerem pensamento criativo e o nosso trabalho recente com padrões<br />
mostrou que estes podem ser uma via para promover a criatividade nos alunos, recorrendo a<br />
contextos dentro e fora da matemática. A investigação tem mostrado que a resolução e a<br />
formulação de problemas em matemática estão intimamente relacionadas com a criatividade<br />
(Barbeau & Taylor, 2005; Silver, 1997). A formulação de problemas tem sido uma<br />
componente da aula de matemática bastante negligenciada, mas essencial na aprendizagem de<br />
conhecimentos matemáticos. Por outro lado, aprender a resolver problemas da vida real tem-<br />
se revelado uma tarefa mais difícil do que resolver problemas típicos das aulas e dos livros de<br />
texto. Assim, ambientes de aprendizagem onde sejam dadas oportunidades aos alunos para<br />
resolver problemas de matemática utilizando estratégias de resolução diversificadas e para<br />
formular os seus próprios problemas a partir de situações que lhes sejam apresentadas, seja<br />
em contextos matemáticos ou não matemáticos, podem envolver os alunos em explorações<br />
matematicamente ricas, aumentar a sua motivação e encorajá-los a investigar, tomar decisões,<br />
generalizar, procurar padrões e conexões, comunicar, discutir ideias e identificar alternativas.<br />
As <strong>Tarefas</strong> Matemáticas em Educação Matemática<br />
Uma questão que devemos ter presente como educadores matemáticos será o que significa<br />
aprender Matemática. Esta pode parecer uma questão simples mas tem implicações<br />
importantes. Para aprender matemática precisamos de ser minimamente capazes de<br />
compreender conceitos matemáticos, estratégias e procedimentos e utilizá-los para resolver<br />
uma diversidade de problemas, simples ou complexos, rotineiros ou não. Deste modo muita
da investigação é orientada para desenvolver capacidades de resolução de problemas nos<br />
estudantes desde muito cedo. A perspetiva sobre a resolução de problemas de forma<br />
prescritiva reduzindo-se ao ensino de estratégias revelou-se insuficiente. Têm de procurar-se<br />
outras alternativas. Aprender a ser como um matemático é aprender a fazer o que os<br />
matemáticos fazem, envolve um olhar matemático sobre o mundo, compreender a sua<br />
natureza e participar na construção e refinamento do conhecimento matemático. Não se<br />
pretende preparar os estudantes para serem matemáticos, mas aprender a ser como um<br />
matemático - envolver-se com o conhecimento matemático noutra perspetiva, participar no<br />
processo de invenção e descoberta, refinamento dos métodos e das formas de representação,<br />
colaborar, duvidar, criticar e ser persistente a resolver problemas (Kapur, 2009). Dentro desta<br />
perspectiva situa-se Ponte (2007) quando sugere um ensino e aprendizagem exploratório em<br />
que o professor promove condições para que o aluno descubra e construa o seu próprio<br />
conhecimento, sendo que não poderá ser realizado pontualmente, mas deverá ser usual no<br />
desenvolvimento da aprendizagem da Matemática. Neste contexto aparecem as tarefas como<br />
fator determinante na prática docente. Na verdade, as tarefas utilizadas em sala de aula são o<br />
ponto de partida para a atividade matemática dos alunos durante o processo de ensino e<br />
aprendizagem da matemática (Doyle, 1988). A finalidade básica de uma aula de matemática é<br />
que os estudantes aprendam algo sobre determinado tópico que foi planeado pelo professor.<br />
Para atingir este objetivo o professor deve propor tarefas que envolvam os alunos durante a<br />
aula. A investigação mostra que o que os alunos aprendem é largamente influenciado pelas<br />
tarefas que lhes são dadas (e.g. Doyle, 1988; Stein & Smith, 2009).<br />
Assim, uma tarefa matemática refere-se aquilo que é pedido aos alunos para fazer, seja um<br />
cálculo, símbolos para manipular, representações diversas para serem utilizadas ou traduzir<br />
enunciados de problemas em linguagem matemática ou modelados (Mason & Johnston-<br />
Wilder, 2006). Para Stein & Smith (2009) uma tarefa é um segmento da atividade da sala de<br />
aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemática específica. Para estas autoras as<br />
tarefas têm uma duração bem definida e estão na base da aprendizagem dos alunos, exigindo<br />
que estes pensem conceptualmente e estejam motivados para fazer conexões, o que, ao longo<br />
do tempo, irá conduzir ao desenvolvimento nos alunos de ideias implícitas sobre a natureza da<br />
Matemática. Diferentes tarefas com diferentes níveis de exigência cognitiva induzem<br />
diferentes modos de aprendizagem. Consequentemente há tarefas de exigência cognitiva<br />
elevada e reduzida, conforme dão mais ou menos oportunidades aos alunos de se envolverem<br />
em processos complexos de pensamento. Stein & Smith (2009) defendem a utilização de<br />
2
tarefas de nível elevado em detrimento de tarefas de nível reduzido, pois estas implicam a<br />
realização de muitas tarefas semelhantes, tornando-se um trabalho rotineiro, com evidente uso<br />
excessivo da memorização; contrariamente, as tarefas de nível elevado promovem a utilização<br />
de procedimentos que permitem desenvolver conexões com os significados matemáticos,<br />
relações entre diferentes maneiras de fazer representações e, como tal, implicam a realização<br />
de tarefas bastante diversificadas e motivadoras para os alunos. Ainda referem que dar aos<br />
alunos muito ou pouco apoio ou direção pode resultar num decréscimo na exigência cognitiva<br />
da tarefa. Deste modo, a natureza das tarefas condiciona as aprendizagens que se produzem<br />
em sala de aula. Por isso, é importante dispor de boas tarefas matemáticas. Uma tarefa é boa<br />
quando serve para introduzir ideias matemáticas fundamentais, constitui um desafio<br />
intelectual para os alunos e permite diferentes abordagens (NCTM, 2000). Assim, podemos<br />
ter tarefas para aprender – as que o professor usa para ensinar um novo conceito ou<br />
capacidade; tarefas para rever – as que o professor usa para rever conceitos ou capacidades já<br />
adquiridos de modo a facilitar a aprendizagem de novos conceitos ou capacidades; tarefas<br />
para praticar – as que o professor usa durante as aulas para clarificar um conceito ou<br />
demonstrar uma capacidade propondo que os alunos trabalhem individualmente ou em<br />
grupos, durante o tempo de aula ou fora dela; tarefas para avaliar – as que o professor usa<br />
para avaliar o desempenho dos alunos; etc.. Ainda podemos classificar as tarefas como sendo<br />
de natureza mais fechada ou mais aberta, como sejam as investigações (e.g. Ponte, 2007), as<br />
que exploram formulação de problemas (e.g. Silver, 1997 e os problemas abertos (e.g.<br />
Pehkonen, 2003).<br />
Um dos principais mecanismos para promover uma compreensão conceptual da matemática é<br />
a utilização de tarefas matemáticas desafiantes, aquelas que promovem o pensamento, o<br />
raciocínio e a resolução de problemas. As discussões geradas por este tipo de tarefas<br />
proporcionam aos alunos oportunidades para partilhar e clarificar ideias, desenvolver<br />
argumentos convincentes sobre o porquê do funcionamento das coisas, desenvolver uma<br />
linguagem para exprimir ideias matemáticas e aprender a partir de outras perspetivas (NCTM,<br />
2000). Podemos dizer que as tarefas que cada professor seleciona para as suas aulas são<br />
determinantes para caraterizar o trabalho que desenvolve. As tarefas a dar aos alunos devem<br />
ser diversificadas; desde fazer leituras e colocar perguntas a propor problemas, construções,<br />
aplicações, projetos, investigações, exercícios. As tarefas devem ser efetuadas de forma<br />
criteriosa de modo a promover uma matemática contextualizada, concetual, desafiante,<br />
efetiva, exigente, .., mas também acessível e procedimental. Mostrar a matemática como uma<br />
3
atividade do quotidiano, valorizar diferentes experiências e predisposições dos alunos e ainda<br />
motivar todos os alunos para a aprendizagem da matemática. A escolha ponderada das tarefas<br />
é necessária mas não suficiente. As tarefas propostas devem permitir ao aluno definir<br />
estratégias, argumentar resoluções e promover a comunicação matemática, terminando com<br />
uma síntese das principais ideias apreendidas, sendo este um trabalho realizado pelos alunos,<br />
em conjunto com o professor. O questionamento sobre as tarefas e sobretudo a orientação do<br />
questionamento é crucial para a aprendizagem dos alunos. Este só surge adequadamente se o<br />
professor tiver um conhecimento sólido da matéria a ensinar, como ensinar e quando ensinar<br />
(Vale, 2009).<br />
Criatividade, Resolução e Formulação de Problemas<br />
A literacia matemática dos alunos é, usualmente, determinada pelo modo como usam os<br />
conhecimentos, as capacidades e as atitudes na resolução de problemas. Assim, é necessário<br />
propor-lhes experiências diversificadas que permitam desenvolver as suas capacidades de<br />
resolução de problemas, de modo a poderem tirar partido da Matemática ao longo da vida. A<br />
matemática é envolvente, útil e criativa (Barbeau & Taylor, 2005), mas só nos deixamos<br />
envolver e ser criativos se formos atraídos e desafiados pelas tarefas com que nos<br />
confrontamos. Não se pode conceber a Matemática sem conceitos, definições, axiomas,<br />
teoremas, demonstrações, algoritmos ou fórmulas. São partes integrantes desta ciência.<br />
Contudo, os problemas — a sua formulação e resolução — são a essência da Matemática. A<br />
inovação a a criatividade desempenham um papel importante neste contexto, sendo uma<br />
característica dinâmica que os alunos devem desenvolver, e para isso os professores devem<br />
proporcionar-lhes oportunidades de aprendizagem adequadas (Leikin, 2009). Em todas as<br />
áreas do conhecimento a necessidade de pessoas mais criativas, capazes de oferecer soluções<br />
inovadoras para os problemas, tem vindo a ser cada vez mais defendida, e deste modo a<br />
criatividade é uma capacidade transversal a todas as áreas de conhecimento. Não há uma<br />
única descrição de criatividade, mas pode afirmar-se que começa com a curiosidade e envolve<br />
os estudantes na exploração e experimentação suscitando a sua imaginação e originalidade<br />
(DFES, 2000). O termo criatividade é normalmente usado para referir a capacidade de<br />
produzir novas ideias, abordagens ou ações.<br />
De acordo com Silver (1997) a investigação tem mostrado que a resolução e a formulação de<br />
problemas em matemática estão intimamente relacionados com a criatividade. A par da<br />
resolução de problemas, a formulação de problemas é uma atividade de importância<br />
4
inquestionável numa aula de matemática, pois contribui não só para o aprofundamento dos<br />
conceitos matemáticos envolvidos, mas também para a compreensão dos processos suscitados<br />
pela sua resolução. Encorajar os alunos a criar, a partilhar e a resolver os seus próprios<br />
problemas é um contexto de aprendizagem muito rico para o desenvolvimento da sua<br />
capacidade de resolução de problemas e do seu conhecimento matemático. Ao colocarem<br />
problemas, os alunos apercebem-se da sua estrutura, desenvolvendo, assim, pensamento<br />
crítico e capacidades de raciocínio ao mesmo tempo que aprendem a exprimir as suas ideias<br />
de modo mais preciso. A formulação de problemas faz parte da resolução de problemas. Polya<br />
já em 1945 referia que toda a atividade de resolução de problemas fica incompleta se não se<br />
der oportunidades aos alunos de formularem problemas. No entanto esta tem sido uma<br />
componente que não tido visibilidade nas aulas de matemática. A formulação de problemas<br />
pode ser uma estratégia poderosa para desenvolver capacidades a nível da resolução de<br />
problemas, mas, por outro lado, para formular problemas matemáticos significativos é<br />
necessário resolver bem problemas. Assim, as duas capacidades terão de ser desenvolvidas<br />
em paralelo, incentivando os alunos a criar os seus próprios problemas com base em<br />
situações fornecidas ou experiências vivenciadas e, ao mesmo tempo, a resolver<br />
problemas através duma cada vez maior diversidade de estratégias. Deste modo, serão<br />
encorajados a tomar decisões, usar diferentes representações, procurar conexões e<br />
desenvolver a comunicação (Sullivan, 1999). A complexidade do tema da resolução de<br />
problemas mostra que, apesar de um corpo bastante significativo de conhecimento que já se<br />
adquiriu, ainda são insuficientes tendo em vista o sucesso esperado, daí a necessidade de<br />
novos pontos de vista acerca do ensino e da aprendizagem de resolução de problemas e de<br />
como chegar ao conteúdo matemático (e.g. Allevato & Onuchic, 2008; English et al., 2008).<br />
<strong>Tarefas</strong> desafiantes e/ou abertas normalmente requerem pensamento criativo e o nosso<br />
trabalho recente com problemas de padrão mostrou que estes podem ser um modo de<br />
promover a criatividade nos alunos, assim como o recurso a contextos fora da aula de<br />
matemática. Silver (1997) refere que a ligação da matemática com a criatividade não reside<br />
apenas na formulação de problemas mas resulta da ligação entre a formulação e a resolução<br />
de problemas, sugerindo que se pode promover a criatividade em matemática, mas que para<br />
isso deve ter-se em atenção o tipo de ensino utilizado, que deve ser sempre alargado a todos<br />
os estudantes. Em particular, as tarefas com padrões têm um grande potencial criativo pois<br />
podem ser abertas e permitem uma grande variedade de conexões com todos os temas<br />
matemáticos, facultando a preparação dos estudantes para aprendizagens futuras, e ainda<br />
5
desenvolvem capacidades de resolução e formulação de problemas assim como de<br />
comunicação (e.g. NCTM, 2000). Os investigadores Millman & Jacobbe (2008) defendem o<br />
desenvolvimento nos futuros professores de “hábitos de pensamento matemático” (MHM),<br />
identificando as ligações à resolução de problemas, e que recomendam como um caminho<br />
para promover a criatividade. Estes hábitos de pensamento matemático apesar de serem<br />
recomendados para a formação de professores devem também ser usados como abordagem<br />
para promover a criatividade nas crianças através de uma cultura de sala de aula onde os<br />
professores utilizem um sólido questionamento. A fim de ajudar os alunos a desenvolver o<br />
MHM e que os professores devem trabalhar com os seus alunos, aqueles autores identificam<br />
as seguintes características do MHM: (1) explorar ideias matemáticas; (2) formular questões;<br />
(3) construir exemplos; (4) identificar abordagens gerais de resolução de problemas; (5) fazer<br />
generalizações; e (6) refletir sobre as suas respostas.<br />
A criatividade matemática, de acordo com vários autores (e.g. Conway, 1999; Leikin, 2009;<br />
Silver, 1997), caracteriza-se por possuir três dimensões: fluência, flexibilidade e<br />
originalidade, que representam três das componentes envolvidas na resolução de problemas<br />
abertos. A fluência é a capacidade de produzir um grande número de ideias diferentes. A<br />
flexibilidade é a capacidade para pensar de modos diferentes. Está associada ao modo como<br />
mudamos de ideias quando se está a resolver um problema para encontrar várias soluções ou<br />
para optar pela solução óptima. E a originalidade é a capacidade de pensar de forma única,<br />
produzindo ideias novas. Pode ser manifestada quando um aluno analisa várias resoluções de<br />
um problema, métodos e respostas, e consegue criar outra que seja diferente. As tarefas que<br />
podem promover estas dimensões devem ser desafiantes, abertas, assumindo a forma de<br />
resolução e formulação de problemas, explorações matemáticas e investigações.<br />
Há autores (Lesh & Doerr, 2003) que referem que pensar de forma produtiva requer que o<br />
resolvedor interprete a situação matematicamente, o que normalmente envolve um percurso<br />
através de ciclos que incluem descrever, modificar e rever interpretações matemáticas assim<br />
como identificar, integrar, modificar ou refinar um conjunto de conceitos matemáticos<br />
retirados de diferentes fontes. Estes processos são os rudimentos da modelação matemática.<br />
Deste modo, sugerem que uma alternativa para o ensino e aprendizagem da resolução de<br />
problemas é adoptar uma perspetiva de modelação. Ver a resolução de problemas a partir de<br />
uma perspetiva de modelação contrasta com a definição tradicional de resolução de problemas<br />
como sendo a procura do caminho que nos leva dos dados até ao objetivo pretendido. Ora, as<br />
tarefas com padrões, ao recorrerem a uma componente poderosa da atividade matemática que<br />
6
é a generalização, podem nalguns casos situar-se nesta perspetiva. Os estudantes e (futuros)<br />
professores precisam de ser incentivados a procurar respostas originais, uma vez que esta<br />
estratégia é um caminho para encontrar soluções criativas ou soluções para problemas<br />
difíceis. De facto, tanto a flexibilidade como a originalidade incentivam o pensamento<br />
divergente, proporcionando processos mentais de ordem superior.<br />
Uma vez que o nosso trabalho recente mostrou que as tarefas com padrões, por serem na<br />
maioria abertas e desafiantes, podem ser um meio de promoção da criatividade, verifica-‐se<br />
uma complementaridade na procura de padrões e na resolução mais genérica de<br />
problemas que pode conduzir a formas fortes e criativas de fazer matemática. As ideias<br />
expressas anteriormente podem ser resumidas no esquema da figura seguinte.<br />
Alguns Exemplos de <strong>Tarefas</strong><br />
Apresentam-se alguns exemplos de tarefas que resultam de um trabalho preliminar que<br />
estamos a iniciar no âmbito da criatividade relacionando-a com a resolução e formulação de<br />
problemas.<br />
Tarefa 1- Os círculos<br />
Observe a figura<br />
1. Imagine que a figura dada é o<br />
1º termo de uma sequência.<br />
Desenhe os termos seguintes.<br />
2. Escreva uma expressão numérica que traduza o<br />
modo de calcular o termo de ordem n da<br />
sequência.<br />
3.Imagine que a sequência que construiu começa<br />
com o 2º termo. Desenhe o 1º termo.<br />
7<br />
Tarefa 3- Expressão<br />
Imagine que é um professor do ensino básico e<br />
que pretende colocar aos seus alunos um<br />
problema que possa ser traduzido pela expressão<br />
numérica 3 x 5 + 2. Invente um problema que seja<br />
traduzido pela expressão dada.
Tarefa 2- Quadrados com palitos<br />
Pode fazer quadrados utilizando palitos do<br />
mesmo tamanho de modo que se toquem apenas<br />
pelas extremidades. Existem muitas<br />
possibilidades de dispor os palitos de modo a<br />
obter cinco quadrados. Desenhe o máximo de<br />
soluções que consiga descobrir.<br />
8<br />
Tarefa 4- Quadrados sobrepostos<br />
Os dois quadrados intersetam-se<br />
pelos pontos médios dos seus<br />
lados, conforme mostra a figura.<br />
Formule um problema que recorra<br />
à figura.<br />
Estas tarefas foram algumas das apresentadas durante a formação inicial de professores numa<br />
turma do 3º ano de licenciatura e apresentamos alguns dos resultados obtidos.<br />
Tarefa 1- Os círculos<br />
Tarefa 2- Quadrados com palitos<br />
Tarefa 3- Expressão<br />
O pai do João tem 5 euros para dar a cada um dos seus três<br />
filhos. Depois lhes ter dado o dinheiro ainda ficou com dois<br />
euros no bolso. Que dinheiro tinha o pai do João<br />
inicialmente no bolso?<br />
Quantas estrelas tem a imagem<br />
seguinte?<br />
Escreve a expressão numérica que<br />
traduza um modo rápido de contar<br />
as estrelinhas.<br />
Tarefa 4- Quadrados sobrepostos<br />
O João sobrepôs dois quadrados iguais que se intersetem<br />
nos pontos médios dos lados. Calcula a área do quadrado<br />
menor, sabendo que o perímetro de cada um dos quadrados<br />
maiores é 16 cm.<br />
Escreve a expressão numérica que traduza um modo rápido<br />
de Temos contar dois contar quadrados as estrelas. iguais sobrepostos. O quadrado<br />
menor tem 12cm de perímetro. Se souberes que a área do<br />
quadrado menor é 1/9 da área de um quadrado maior, qual<br />
é o perímetro do quadrado maior?<br />
Na tarefa 1surgiram duas propostas que foram apresentas apenas por duas alunas, as duas<br />
últimas. A tarefa 2 foi a que suscitou mais dificuldades aos alunos. Tiveram muita dificuldade<br />
em iniciar a tarefa. Quando perceberam o que lhes era pedido, as propostas mais comuns<br />
foram as relacionadas com a identificação com os pentaminós que tinham sido trabalhados<br />
durante as aulas e o que se apresenta constitui as outras soluções que surgiram e que foram<br />
(não todas) apresentadas por um grupo reduzido de alunos. Não apareceram muitas outras<br />
hipóteses de soluções, sobretudo as resultantes da consideração de três dimensões. Na tarefa 3<br />
a maioria dos alunos apresentou enunciados que se identificam como problemas fechados<br />
recorrendo às operações básicas. As propostas foram quase todas do mesmo tipo do “pai do<br />
João” variando apenas os contextos (e.g. bolos, animais, frutos, conchas, CDs, mesas,<br />
cadeiras, chocolates, flores, dados,...). Contudo apareceu uma proposta diferente tendo a aluna
ecorrido ao conhecimento adquirido durante as aulas da disciplina sobre contagens visuais.<br />
Na tarefa 4 a maior parte dos enunciados coincidem com os “quadrados do João”; alguns<br />
estudantes nem resolveram a tarefa. A proposta mais elaborada que surgiu foi a que considera<br />
os quadrados sobrepostos mas não pelos pontos médios. Nesta fase, ainda não conseguimos<br />
fazer uma análise aprofundada do trabalho pois ainda nos falta um modelo concetual que nos<br />
permita efetuar essa análise, mas podemos dizer que os resultados indicam que estes<br />
estudantes foram criativos nas tarefas que envolviam padrões de contagem ou padrões de<br />
crescimento. Este resultado parece decorrer do trabalho que tem sido feito com padrões. A<br />
tarefa mais difícil foi o problema aberto, dos quadrados com palitos, sendo as propostas<br />
apresentadas todas muito semelhantes. Nas duas tarefas em que tiveram que formular um<br />
problema, seguiram o caminho mais evidente e elementar, sendo que as propostas<br />
apresentadas não diferem muito das que os alunos do ensino básico eventualmente fariam,<br />
recorrendo a enunciados pouco elaborados, em particular na tarefa 3.<br />
As tarefas que se apresentam a seguir fazem parte de um trabalho realizado no projeto<br />
MatCid 1 , desenvolvido no âmbito da formação inicial e contínua de professores e estudantes<br />
do ensino básico. Neste projeto, a ideia principal era que os diferentes participantes olhassem<br />
para o meio que os rodeia, neste caso a cidade de Viana do Castelo, e descobrissem a<br />
matemática invisível em cada um dos diferentes aspetos da cidade, desde os jardins aos<br />
edifícios, que constituíram temas que os (futuros) professores escolheram tendo feito um<br />
levantamento fotográfico. Com base neste material formularam problemas de matemática<br />
adequados ao ensino básico. Os exemplos seguintes ilustram duas propostas apresentadas por<br />
dois grupos de alunos da formação inicial.<br />
Tema: As Janelas<br />
Nas fachadas dos edifícios da cidade de Viana do Castelo é possível<br />
observar uma diversidade de janelas de rara beleza, ricas em pormenores<br />
decorativos. Muitas das janelas que se encontram em Viana são<br />
ornamentadas com cantaria.<br />
Observa uma janela da Rua de Olivença.<br />
1. Que polígonos reconheces na parte fixa da janela?<br />
2. Cada meia janela é formada por diferentes tipos de retângulos. Quantos<br />
tipos de retângulos diferentes podes identificar em cada meia janela?<br />
3. Se a janela fosse formada apenas por retângulos pequeninos quantos<br />
seriam necessários para construir cada meia janela?<br />
4. Faz uma estimativa:<br />
O menor dos retângulos que parte é da meia janela? E o maior retângulo vertical?<br />
1<br />
MatCid- a Matemática e a Cidade, refºCV/33-2006-2009, financiado pela Ciência Viva<br />
9
Tema: O ouro<br />
Este xaile é uma das peças que podes encontrar no Museu do Ouro.<br />
Este é composto por flores todas iguais, unidas por uma argola,<br />
terminando cada fila numa esfera.<br />
Observando, de forma mais atenta, determinados pormenores do xaile, é<br />
possível identificar uma sequência de elementos, onde podemos<br />
relacionar as flores, as pétalas que as compõem e as esferas.<br />
1. Analisando a figura 1 e a figura 2 desenha a<br />
figura 3.<br />
2. Imagina que a sequência de figuras continua.<br />
Com seis esferas pendentes quantas flores<br />
existiriam? E pétalas?<br />
3. E se nessa sequência existissem 15 esferas numa determinada figura, qual<br />
seria a sua posição? Quantas flores teria?<br />
4. Se observasses uma sequência com 36 flores quantas esferas existiriam?<br />
O exemplo seguinte foi apresentado numa sessão de formação contínua de professores, por<br />
uma professora que se baseou no que viu da janela da sala onde decorreu a formação para<br />
construir uma tarefa matemática. Recolheu uma fotografia do edifício e elaborou um<br />
problema de padrão que utilizou nas suas aulas, do qual se apresenta a resolução de um aluno<br />
do 1º ano de escolaridade (6 anos).<br />
O exemplo seguinte ilustra uma tarefa que foi construída também na formação inicial de<br />
professores mas baseada num cartaz elaborado no âmbito do projeto Padrões, sobre os<br />
padrões em animais.<br />
Temas: Animais<br />
Observa a cobra<br />
Descreve o padrão de cores evidenciado na pele da cobra.<br />
Utiliza o material disponível para construir um padrão equivalente ao que<br />
identificaste.<br />
Que peça estará na 10ª posição? E a que estará na 25ª posição?<br />
Inventa um padrão à tua escolha recorrendo ao mesmo material.<br />
O resolvedor de problemas mais bem sucedido é aquele que é capaz aplicar abordagens<br />
diversificadas (Conway, 1999). Se o estudante for incentivado a procurar a originalidade nas<br />
suas resoluções, terá maior êxito na abordagem de problemas difíceis. É importante que os<br />
futuros professores desenvolvam a sua própria criatividades, estando cientes deste processo<br />
10
para que possam agir da mesma forma com os seus alunos. Ao agirem assim estão a estimular<br />
o pensamento divergente, mais rico, complexo e produtivo.<br />
Algumas Considerações Finais<br />
A grande finalidade dos professores é que os seus alunos desenvolvam uma cada vez maior<br />
aptidão matemática que lhes permita resolver a diversidade de problemas com que são<br />
confrontados dentro e fora da escola. Continua em aberto a discussão de qual o melhor modo<br />
de apoiar e promover a aprendizagem dos alunos e o desenvolvimento do conhecimento e<br />
capacidades matemáticas. Os estudos desenvolvidos nesta área têm revelado que a resolução<br />
de problemas é uma tarefa complexa que envolve, entre outros, conteúdo matemático,<br />
estratégias, raciocínio, diversos processos, conceções, emoções e aspectos contextuais. Os<br />
currículos da matemática escolar têm lhe dado atenção, contudo ao longo das últimas décadas,<br />
os currículos têm sofrido inúmeros ciclos de movimentos que balançam entre o foco na<br />
resolução de problemas e o foco nas competências básicas (English et al., 2008). Defendemos<br />
que uma abordagem através da resolução de tarefas desafiantes em contextos diversificados,<br />
como seja o meio que rodeia o estudante, e em particular as tarefas com padrões surgindo de<br />
forma natural e realística, podem dar um contributo positivo para o desenvolvimento da<br />
aptidão matemática dos alunos (e.g. Pimentel, 2010; Vale et. al. 2009). Do mesmo modo,<br />
a criatividade, como tema emergente e em debate, em particular na aula de matemática, e que<br />
com fortes ligações com a resolução de problemas, pode igualmente contribuir e ser um<br />
caminho a (re)descobrir. Paralelamente deve continuar a discussão acerca de alguns termos<br />
que ainda têm significados não consensuais, como sejam, por exemplo, problemas,<br />
investigações, tarefas rotineiras e não rotineiras, avaliação em resolução de problemas. Por<br />
outro lado, terá de ser simultaneamente repensada a formação inicial e contínua de<br />
professores, discutindo de que modo é que estes professores podem desenvolver os seus<br />
conhecimentos matemáticos e didáticos com vista não só a ensinar matemática de modo<br />
criativo como também a desenvolver a criatividade dos seus alunos. Só assim alunos e<br />
professores poderão resolver mais problemas e neste processo aprender mais matemática.<br />
Referências<br />
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11
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English, L., Lesh, R., & Fennewald, T. (2008). Future directions and perspectives for problem solving<br />
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Y. Ben Har & M. Kapur (Eds.), Mathematical Problem Solving (pp.43-68). Singapore: World<br />
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