Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

Figura 2.3.
Quando o grafo tem mais que dois nós de grau ímpar, a duplicação de caminhos
mínimos que ligam pares de nós de grau ímpar, embora necessário, não é suficiente para
garantir a otimalidade da solução. Figura 2.4 (a) mostra uma situação em que dois pares de
nós de grau ímpar estão conectados por meio de dois caminhos mínimos duplicados.
Entretanto, os pares de nós não estão associados corretamente. Uma solução melhor é
aquela mostrada na figura 2.4 (b).
Este último ponto é o aspecto combinatorial mais relevante do problema, e pode ser
formulado como o emparelhamento perfeito, cuja solução foi provida por Edmonds
[Edm73]. Portanto, o algoritmo para o PCC num grafo não-orientado pode ser resumido
como o seguinte:
ALGORITMO PARA O PCC
0) Dado um grafo não-orientado G = (N, E), fortemente conexo, onde a cada aresta
e∈E é associado um custo de;
1) Identifique o conjunto I ⊆ N de nós de grau ímpar. Se I = ∅, então G é euleriano.
Faça Ge = G, e vá ao passo 5;
2) Construa o grafo completo GI =(I, C), onde C é o conjunto de caminhos mínimos
entre todos os pares de nós de I, calculados no grafo G;
3) Encontre o emparelhamento de custo mínimo em GI;
4) Identifique os caminhos mínimos C * ⊆ C em G, os quais ligam os nós do
emparelhamento de mínimo custo. Seja E * ⊆ E o conjunto de todas as arestas que
formam os caminhos mínimos em C * . O grafo aumentado Ge = (N, E ∪ E * ) é
euleriano;
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