Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

O problema é resolvido por intermédio de um algoritmo enumerativo, no qual dois
diferentes limites inferiores são calculados em cada nó da árvore de pesquisa. O primeiro
limite é obtido pela relaxação da restrição (12) numa maneira lagrangeana, seguida da
solução de um emparelhamento perfeito de custo mínimo. O segundo é obtido pela
Relaxação Lagrangeana da restrição (14) e resolvendo um problema de fluxo de custo
mínimo.
Utilizando este procedimento, os autores resolveram de forma exata 34 problemas
aleatoriamente gerados, com 7 ≤ |N| ≤ 50, 4 ≤ |E| ≤ 39, e 3 ≤ |A| ≤ 85. O tempo de CPU
máximo observado ficou em torno de 500 segundos num UNIVAC 1100/60.
3.2.5 Solução de Nobert e Picard
Uma abordagem diferente foi proposta por Nobert e Picard [Nob96]. Na sua
formulação existe apenas uma única variável associada a cada aresta, ao contrário das
abordagens descritas acima que associam duas variáveis a cada uma. Portanto a solução de
programação linear inteira não especifica uma orientação para as arestas. As restrições
impostas asseguram que o grafo ampliado satisfaça as condições necessárias e suficientes
de Ford e Fulkerson para unicursalidade. Isto é, garantem que o grafo seja par e
balanceado.
Para apresentar a formulação, para cada subconjunto próprio S de N, definem-se os
conjuntos
{ ( v , v ) ∈ A:
v ∈ S,
v N \ S}
+
A ( S)
= i j
i j ∈
{ ( v , v ) ∈ A:
v ∈ N \ S,
v ∈ S}
−
A ( S)
= i j
i
j ,
( S)
= { ( v , v ) ∈ E : v ∈ S,
v ∈ N \ S , ou ∈ N \ S,
v ∈ S}
,
E i j
i j
+
−
e considerem-se u( S)
= A ( S)
− A ( S)
− E(
S)
+
+
A S)
= Ak
( ,
A )
−
−
( S = Ak
e E S)
= Ek
,
vi j
. Desta forma, se { v }
S = , então
( . Constantes p k e variáveis zk são definidas como
acima, e apenas uma variável y ij agora representa o número de cópias da aresta ) , ( i j v v a
ser adicionado ao grafo para torná-lo euleriano. A formulação é dada abaixo:
∑ ij ij
( vi,
vj)
∈A
Minimizar c x +
∑cij ( vi,
vj)
∈E
y
ij
k
(16)
40