Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

III − Problema do Carteiro Chinês Misto
3.1 Circuitos Eulerianos em Grafos Mistos
CONDIÇÕES DE UNICURSALIDADE
Nessa seção trabalha-se com um grafo misto fortemente conexo G = ( N,
A,
E)
. A
cada link l ∈ A ∪ E é associado um custo não-negativo d l . Os conjuntos requeridos são
N ′ = ∅ , A ′ = A e E ′ = E . Por conveniência são usadas as notações A e E, também para
assinalar os conjuntos requeridos.
O PCCM consiste em achar um circuito de custo mínimo em G, contendo todos os
arcos em A e todas as arestas em E. Como foi visto, quando o grafo é euleriano, é garantida
a existência de um circuito que contém todos os links, exatamente uma vez. Tal circuito,
denominado de circuito euleriano, obviamente seria de custo mínimo. As condições
necessárias e suficientes para a unicursalidade de um grafo misto foram estabelecidas por
Ford e Fulkerson [For62], as quais são:
a) G seja fortemente conexo;
b) Em cada nó deve incidir um número par de links;
c) Para qualquer X ⊂ N , a diferença entre o número de arcos orientados de X a
N − X e o número de arcos orientados de N − X a X deva ser menor, ou igual,
ao número de arestas que conectam X e N − X .
A última condição freqüentemente é chamada de Condição de Conjunto Balanceado.
O grafo que satisfaz a condição (b) é chamado de grafo par; quando para cada nó o
número de arcos de entrada é igual ao número de arcos de saída, ele é chamado de
simétrico, e quando satisfaz as condições de conjuntos balanceados, é denominado de
grafo balanceado.
Pelas definições acima, se o grafo G é par e balanceado, então é euleriano. Se um
grafo é par e simétrico, também é euleriano, pois essas duas condições juntas implicam no
balanceamento do grafo. Entretanto, a simetria não é uma condição necessária para a
unicursalidade.
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