a análise de placas laminadas compostas inteligentes
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3.3 Construção do espaço <strong>de</strong> aproximação 27<br />
on<strong>de</strong> Pp−1 <strong>de</strong>nota o espaço <strong>de</strong> polinômios <strong>de</strong> grau menor ou igual a p − 1. Portanto, as<br />
funções <strong>de</strong> forma do elemento finito generalizado <strong>de</strong> grau p são <strong>de</strong>finidas por<br />
F p<br />
N =<br />
<br />
N j<br />
i = ϕjLij,<br />
<br />
j = 1, 2, . . . , N, i ∈ j(j)<br />
(3.12)<br />
É importante citar que a estratégia <strong>de</strong> enriquecimento polinomial fornece um espaço<br />
expandido Xj formado por um conjunto <strong>de</strong> bases linearmente <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, como po<strong>de</strong> ser<br />
visto em Duarte, Babuˇska e O<strong>de</strong>n (2000), pois, por exemplo, consi<strong>de</strong>rando elementos<br />
planos, existem constantes ax j e a y<br />
j , j = 1, . . . , Nne/∀ x ∈ τ, com Nne iqual ao número<br />
<strong>de</strong> nós do elemento, tais que em combinação linear com a PU po<strong>de</strong>m reproduzir uma<br />
<strong>de</strong>terminada função <strong>de</strong> enrique- cimento<br />
Nne<br />
ϕj(x) = 1,<br />
j=1<br />
<br />
Nne<br />
a x j ϕj(x) = x,<br />
j=1<br />
Nne<br />
j=1<br />
a y<br />
j ϕj(x) = y (3.13)<br />
Valendo-se da proprieda<strong>de</strong> vista em (3.10), <strong>de</strong> que a combinação da PU com uma<br />
função <strong>de</strong> enriquecimento po<strong>de</strong> reproduzir esta função <strong>de</strong> enriquecimento, tem-se<br />
Nne<br />
j<br />
<br />
ϕjx<br />
e portanto, prova-se a <strong>de</strong>pendência linear<br />
Nne<br />
= x<br />
Nne<br />
Nne<br />
ϕjx −<br />
j<br />
j<br />
j<br />
ϕj = x (3.14)<br />
a x j ϕj = 0 (3.15)<br />
levando a um sistema <strong>de</strong> equações em termos <strong>de</strong> a x j . Assim, a matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z obtida<br />
no MEFG se torna positiva semi-<strong>de</strong>finida, mesmo após a eliminação dos movimentos <strong>de</strong><br />
corpo rígido.<br />
Fica evi<strong>de</strong>nte que a idéia básica dos métodos <strong>de</strong> partição da unida<strong>de</strong> e, em particular,<br />
do MEFG, é o uso da partição da unida<strong>de</strong> para associar às aproximações locais. As funções<br />
<strong>de</strong> forma são construídas <strong>de</strong> tal forma que po<strong>de</strong>m reproduzir, através <strong>de</strong> combinações<br />
lineares, a aproximação local <strong>de</strong>finida em cada nuvem.<br />
Deve-se notar que existe consi<strong>de</strong>rável liberda<strong>de</strong> na escolha dos espaços Xj e a escolha<br />
mais óbvia para a base Xj são as funções polinomiais que po<strong>de</strong>m aproximar bem as<br />
funções suaves. A implementação do método hp adaptativo é extremamente facilitada