Exercícios Resolvidos 2 - DECOM - Unicamp

EE-881 – Princípios de Comunicações I
DECOM-FEEC-UNICAMP
EXERCíCIOS – CAPÍTULOS 3 E 4

EE-881 – Princípios de Comunicações I
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1. Considere um sistema de comunicações em banda base analógico com
AWGN. O canal não introduz distorção e a densidade espectral de potência
do ruído é N 0 /2 é igual a 10 -9 W/Hz. O sinal de informação transmitido
possui faixa de 4 kHz. No receptor, um filtro RC passa-baixas com largura
de faixa de 8 kHz (3 dB) é utilizado para limitar a potência de ruído na
saída. Calcule a potência de ruído de saída.
Resposta em frequência do FPB-RC:
R
x(t)
i(t)
C
y(t)

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Ri( t) + y( t) = x( t)
RC dy ( t
Trans. Fourier
)
+ y( t) = x( t) dt ⇒
j2π fRCY ( f ) +Y ( f ) = X ( f )
H ( f ) = Y ( f )
X ( f ) = 1
j2π fRC +1 = 1
f
1
onde = 2π ×8000 "
# Hz$
%
RC
Potência média do ruído de saída:
2
1+ j
8000
E!
" n 2
0
( t #
) $ = ∞ N
∫
0
2 H ( f ) 2 df = N 0
−∞
2
∫
∞
−∞
1
f
1+ j
8000
df =
N 0
2
∫
∞
−∞
1
( f +
df 2
1+ * -
) 8000,
= 2π ⋅ N 0
2
×8000 = 2π ⋅10 −9 ×8000 = 25,1×10 −6 !
" W #
$

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2. Calcule a faixa de transmissão B T e a potência necessária S T dos sistemas
DSB, SSB e AM para transmitir um sinal de áudio com largura de faixa de
10 kHz e (SNR) 0 = 40 dB. O canal introduz 40 dB de perda de potência e o
ruído é AWGN com densidade espectral de potência N 0 /2 = 10 -9 W/Hz.
Assuma µ = 0,5 para o AM.
DSB e AM: B T = 20 kHz
SSB: B T = 10 kHz
Potência do Transmissor:
DSB e SSB:
( SNR) = S i
0
N 0
W =104
( 40 dB)
S i
= N 0
W ×10 4 = 2×10 −9 ×10 4 ×10 4 = 0,2
#
$ W%
&
Perda de potência no canal = 40 dB, então:
S T
= 0,2×10 4 = 2.000
"
# W$
%

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Potência do Transmissor:
AM:
( SNR) = 1 ! S
# i
0
3"
N 0
W
$
& =10 4
%
S i
= N 0
W × 3×10 4 = 2×10 −9 ×10 4 × 3×10 4 = 0,6
)
* W+
,
Perda de potência no canal = 40 dB, então:
S T
= 6.000
!
" W#
$

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3. Suponha que dispositivos não lineares estão disponíveis para os quais a
corrente de saída i 0 e a tensão de entrada v i estão relacionadas por:
3
i 0
= a 1
v i
+ a 1
v i
a 1 e a 2 = ctes.
Explique como estes dispositivos podem ser usados para fornecer:
a) um modulador produto
b) um modulador de amplitude.

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a) um modulador produto:
s( t) = A c
m( t)cos( π f c
t)
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Entrada do dispositivo não linear:
v i
= A c
cos( π f c
t) + m( t)
m(t) = sinal mensagem
Saída do dispositivo não linear:
i 0
= a 1
v i
+ a 2
v 3 i
= a !
1 " A c
cos π f c
t
= a !
1 " A c
cos π f c
t
+ 3 2 a A 3 m t
2 c
Relações utilizadas:
cos 3
( a) = cos 2 ( a)cos a
cos( a)cos b
( ) + m( t)
!
( ) 1+ cos( 2π f c
t)
"
( ) = 1 2
( ) + m( t)
!
" 1+ cos 2a
#
$ + a ! A
2"
c
cos π f c
t
#
$ + 1 4 a A 3 ! A
2 c " c
cos 3π f c
t
( )
( ) = 1 !
2 cos ( a + b ) + cos( a − b)
"
( ) + m( t)
( ) + 3cos( π f c
t)
#
$ + 3a A cos π f 2 c ( t c )m 2 t
#
$ cos a
#
$
( ) = 1 2 cos ( a ) + 1 2
3
#
$
#
$
( ) + a 2
m 3 ( t)
cos( 2a)cos( a)

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Assumindo que m(t) está compreendida entre –W ≤ f ≤ W, então o espectro
de i 0 fica:
I 0 (f)
DSB-SC
de interesse
-3f c /2 -f c
-f c /2 -3W -W W 3W f c /2 3f c /2
f c
2W 4W 4W
2W
Precisamos de um filtro passa-faixa centrado em f c e largura de faixa 2W que
satisfaça:
f c – W > f c /2 + 2W ⇒ f c > 6W

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b) modulador em amplitude:
Para gerar uma onda AM basta somar uma portadora à onda DSB-SC.
i 0
= a !
1 "
A c
cos( π f c
t) + m t
( )
( ) 1+ cos( 2π f c
t)
+ 3 2 a A 3 m t !
#
2 c "
$
#
$ + 1 4 a A 3 ! A
2 c " c
cos 3π f c
t
( ) + 3cos( π f c
t)
+ 3a 2
A c
cos( π f c
t)m 2 ( t) + a 2
m 3 ( t)
#
$
3
2 a A 3 m t
2 c ( ) + 3 2 a A 3 m t
2 c ( )cos( 2π f c
t)
onda AM = A !
c " 1+ A 0
m t
Soma-se a portadora: A c cos(2πf c t)
A c
cos( 2π f c
t) + 3 2 a A 3 m t
2 c ( )cos( 2π f c
t) = A c # 1+ 3 2 a A 2 c
A 0 usado para controlar o índice de modulação.
( )
( )
#
$ cos 2π f t c
!
"
A 0
( )
2 m t
$
&cos 2π f c
t
%
( )

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4. Considere o sinal AM modulado por um tom:
( ) = A !
c
1+ µ cos( 2π f m
t)
s t
Suponha que o µ = 2 e que f c >> f m . Este sinal é aplicado a um detector de
envoltória produzindo v(t).
a) Represente v(t) em série de Fourier.
"
( )
#
$ cos 2π f t c
b) Qual é a razão entre a amplitude da segunda harmônica e da fundamental
de v(t) .

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a) v(t) em série de Fourier.
Saída do detector de envoltória:
v( t) = A c
1+ µ cos( 2π f m
t)
v( t) = A c
1+ 2cos( 2π f m
t)
3A c
1/2f m
1/f m t
2A c
1/2f m
1/f m
t
A c
1/3f m 2/3f m
2A c
cos( 2π f m
t)
A c
+ 2A c
cos( 2π f m
t)
( ) = a 0
+ 2∑a n
cos( 2πnf m
t)
v t
∞
n=1

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a 0
= 2 f m
1 2 f m
1 3 f
∫ v( t)dt
= 2 f "
m # A c
+ 2A c
cos( 2π f m
t $
∫
m
)% dt
1 2 f
+ 2 f "
m ∫
m
# −A c
− 2A c
cos 2π f m
t
0
0
1 3 f m
( )
$
% dt
= A c
3 + 4A c
π sen '
)
2π ( 3
*
,
+
a n
= 2 f m
∫
∫
1 2 f m
0
v( t)cos( 2πnf m
t)dt
( )
1 3 f m
= 2 f "
m # A c
+ 2A c
cos 2π f m
t
∫
0
( )
1 2 f m
+2 f "
m # −A c
− 2A c
cos 2π f m
t
1 3 f m
$
% cos ( 2πnf t m )dt
$
% cos ( 2πnf t m )dt
( )
= A " '
c
2πn * $ "
A
' 2π n +1
-2sen)
,− sen( πn)
.+ c -2sen nπ # ( 3 + % ( n +1)π - )
(
3
#
( )
"
A
' 2π n −1
+ c -2sen ( n −1)π - )
(
3
#
*
,
+
( )
− sen π ( n −1)
$
.
.
%
*
,
+
( )
− sen π ( n +1)
$
.
. +
%

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b) Para n = 1:
Para n = 2:
!
3
a 1
= A c
2π + 1 $
# &
"#
3%
&
a 2
= A c
3
2π
Razão segunda harmônica por fundamental:
a 2
a 1
=
3
A c
2π
!
3
A c
2π + 1 $
# &
"#
3%
&
= 3
2π
6π
( 3 3 + 2π ) = 3 3
3 3 + 2π

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5. Considere o sinal FM de banda estreita definido por:
s
( t) ≅ A cos( 2πf
t) − βA
sen( 2πf
t) sen( 2πf
t)
c
c
c
c
m
a) Determine a envoltória do sinal modulado. Qual a relação dos valores
máximo e mínimo desta envoltória? Desenhe essa relação por β (0 ≤ β ≤ 0,3).
Envoltória:
a( t) = A c
1+ β 2 sen( 2π f m
t)
Valor máximo:
a max
= A c
1+ β 2
a max /a min
Valor mínimo:
Razão:
a min
= A c
a max
1,04
1,03
1,02
1,01
1,00
a min
= 1+ β 2 β
0,1
0,2
0,3

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b) Determine a potência média do sinal FM de banda estreita expresso como
porcentagem da potência média da onda portadora não modulada. Desenhe
esse resultado versus β (0 ≤ β ≤ 0,3).
s( t) ≅ A c
cos( 2π f c
t) − β A c
sen( 2π f c
t)sen( 2π f m
t)
≅ A c
cos 2π f c
t
Potência média de s(t):
( ) + β 2 A cos # 2π f + f c c m
$
%
( )t& − β 2 A cos#
2π f − f %
c $ ( c m)t&
P s
= A 2
c
2 + β 2 2
A c
8
+ β 2 A c
2
8
= A 2 !
c
2 1+ β 2
#
" 2
$
&
%
P s /P c
Potência média da portadora:
Razão:
P c
= A 2
c
2
P s
P c
=1+ β 2
1,04
1,03
1,02
1,01
1,00
2
0,1 0,2 0,3 β

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c) Expandindo o ângulo θ i (t) do sinal FM de banda estreita na forma de série de
potências, e restringindo o índice de modulação β ao valor máximo de 0,3,
mostre que:
β
θi
c
m
2
3
( ) ( )
3
t ≅ 2πf
t + βsen
2πf
t − sen ( πf
t)
Qual o valor da distorção harmônica para β = 0,3?
Ângulo θ i (t) expresso em termos das componentes em fase e em quadratura:
3
m
mas
tan
3
−1 x
θ
( x) = x − +
3
i
( t)
= 2πf
= 2πf
, então
c
c
t
t
+ tan
+ tan
−1
−1
⎛⎛ s
⎜⎜
⎜⎜
⎝⎝ s
Q
I
( t)
( t)
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎠⎠
( βsen( 2πf
t)
)
m
β
θi
c
m
2
3
( ) ( )
3
t ≅ 2πf
t + βsen
2πf
t − sen ( πf
t) +
3
m

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Razão entre potências da 3ª e 1ª harmônicas:
D h
≅
3
⎛⎛ β ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝⎝ ⎠⎠
2
β
2
3 4
β
=
9
valor da distorção harmônica para β = 0,3:
D h
=
0 4 −4
,3
9
= 9×
10
= 0,09%

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5. Obtenha as funções de autocorrelação e de correlação cruzada das
componentes em fase e em quadratura do ruído de faixa estreita na entrada do
detector coerente para o sistema DSB-SC.
Autocorrelação:
S N I
#
%
( f ) = S
NQ ( f ) = S f − f
N ( c ) + S N ( f + f c ) − B ≤ f ≤ B
$
&% 0 fora
R N I
( τ ) = R N ( τ )exp( j2π f c
τ ) + R N ( τ )exp( − j2π f c
τ )
= R N
τ !
"
( ) exp( j2π f c
τ ) + exp( − j2π f c
τ )
= 2R N ( τ )cos( 2π f c
τ )
#
$

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Correlação cruzada:
S N IQ
'
( f ) = −S
NQI ( f ) = j "
) # S f − f
N ( c ) − S N ( f + f c )
(
$
% − B ≤ f ≤ B
*
) 0 fora
R N IQ
( f ) = −R
NQI ( f ) = j"
R N
τ
= jR N
τ "
#
#
( )exp − j2π f c
τ
( ) − R N
τ
( ) exp( − j2π f c
τ ) − exp( j2π f c
τ )
= 2R N ( τ ) sen( 2π f c
τ )
$
%
( )exp( j2π f c
τ $
)%

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6. Um sinal de faixa estreita possui largura de faixa de 10 kHz centrado em uma
frequência de portadora de 100 kHz. Propõe-se representar este sinal na forma
discreta através da amostragem individual de suas componentes em fase e em
quadratura. Qual é a mínima taxa de amostragem que pode ser utilizada para
esta representação? Justifique sua resposta.
|X(f)|
|X(f c )|
-f c
Componentes em fase e em quadratura:
f c
2W = 10 kHz
f
0
f
W= 5 kHz
Taxa mínima de amostragem = 2W = 10 kHz (Nyquist)

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7. Vinte e quatro sinais de voz são amostrados uniformemente e então
multiplexados no tempo. A operação de amostragem utiliza amostras de topo
plano com 1 µs de duração. A operação de multiplexação inclui provisão para
sincronização incluindo um pulso extra com duração de 1 µs. A maior
componente de cada sinal de voz é 3,4 kHz.
a) Assumindo uma taxa de amostragem de 8 kHz, calcular o espaçamento entre
pulsos sucessivos do sinal multiplexado.
Tempo de amostragem:
T s
= 1
8000
Total de canais (voz + sinc) = 25
=125 µs
Tempo permitido para cada canal:
Duração de cada pulso = 1 µs
T c
= T s
25 = 125
25 = 5 µs
Espaçamento entre os pulsos = 5 – 1 = 4 µs

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b) Repita o cálculo usando a taxa de amostragem de Nyquist.
Tempo de amostragem:
T s
= 1
6800
Total de canais (voz + sinc) = 25
=147 µs
Tempo permitido para cada canal:
Duração de cada pulso = 1 µs
T c
= T s
25 = 147
25
= 6,68 µs
Espaçamento entre os pulsos = 6,68 – 1 = 5,68 µs

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8. Um sinal analógico é amostrado à taxa de Nyquist f s e quantizado com L
níveis. Encontre a duração τ de um bit do sinal codificado em binário.
Seja n = nº de bits por amostra, então
Número de bits por segundo que deve ser transmitido = nf s .
Logo,
n = log 2
L
τ = 1
nf s
=
1
f s
log 2
L

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9. Em um sistema PCM binário, a razão sinal-ruído de quantização de saída
deve ser mantida a um nível mínimo de 40 dB. Determine o número de níveis
necessários e encontre a correspondente razão sinal-ruído de quantização
de saída.
Número de bits por amostra = n
Número de níveis: L=2 n
SNR Q
= 3 2 L2
! 3
( SNR Q ) =10log
dB
10 # $ " 2% & +10log 10
L 2
mas (SNR Q ) dB = 40 è SNR Q = 10.000, logo
Portanto, o número de níveis necessários = 2 7 = 128
( ) =1,76 + 20log 10
L
( SNR Q ) =1,76 + 20log
dB
10
2 n =1,76 + 6,02n
10.000 = 3 2 L2 ⇒ L = 82 n = log 2
82 = 6,36 ≅ 7

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Razão sinal-ruído de quantização de saída SNR Q é
( SNR Q ) =1,76 + 6,02n
dB
=1,76 + 6,02×7 = 43,9 "
# dB$
%