Sequências numéricas

Modelagem recursiva
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
A maneira recursiva ou recorrente declara o valor de pelo menos um termo, e associa os demais
termos da sequência aos dos valores dos termos declarados através de expressões com índices variáveis
de domínio ordinal. Essas expressões são denominadas leis de recorrência
A sequência dos múltiplos positivos do número 4, por exemplo: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...) pode ser
definida pelo seguinte par de informações:
⎧
⎨
⎩
a 1
= 4
a = a + 4
, ∀ n∈N *
n+ 1 n
⇒
n = 1 ⇒ a = 4
1
n = 2 ⇒
a
= a
+ 4 = 4 + 4 = 8
2 1
n = 3 ⇒
a
= a
+ 4 = 8 + 4 = 12
3 2
As informações são que o primeiro termo da sequência é o numero 4 e que cada um dos termos
sucessores pode ser obtido adicionando-se 4 unidades ao termo anterior. É importante observar que
esta segunda informação também poderia ser apresentada pela expressão a n = a n–1 + 4 para todo n
natural tal que n ≥ 2, pois assim, o termo a n–1 antecede o termo a n.
Note que n é variável ordinal da sequência, ou seja, n = 1 significa primeiro, n = 2 significa segundo,
n = 10 significa décimo e assim por diante:
a = (a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...)
n∈N * ⇔ n ∈ {1, 2, 3, ...} ⇔ n = 1, 2, 3, ...
Modelagem iterativa
A maneira iterativa consiste na apresentação de uma fórmula para obter cada um dos termos de uma
sequência a partir do número que indica a posição deste termo, ou seja, obter o valor do primeiro termo
a partir do número 1, do segundo termo a partir do número 2 e assim por diante.
Esta formula é conhecida como termo geral – TG, e não é nada além de uma função, cujo domínio é o
conjunto dos ordinais {1 o , 2 o , 3 o , 4 o , ...}, escrita de uma maneira particular em que a variável é
apresentada como índice e não entre parênteses. Assim a notação tradicional f(x) é substituída pela
notação a n.
Observe que f : {1, 2, 3, 4, ...} → R tal que f(x) = 4x é uma função ordinal cuja imagem é o conjunto
dos múltiplos positivos do número quatro. Agora, considerando-se os elementos da imagem dessa
função em ordem crescente define-se a sequência (4, 8, 12, 16, ...).
A notação do termo geral das sequências numéricas indicará esta mesma função na forma a n = 4n, e
se não houver menção sobre o domínio da variável n devemos considerá-lo como o conjunto dos
números inteiros positivos, ou seja, dos números ordinais.
Progressões aritméticas
A sequência dos sucessores naturais dos múltiplos positivos do número 4 é: (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)
que pode ser definida por a 1 = 5 e a n+1 = a n +4 para todo n inteiro positivo ou pela função a n = 4n +1.
Para obter a lei de recorrência de uma sequência como essa basta encontrar uma relação entre dois
termos consecutivos que seja obedecida em toda a sequência:
+4 +4 +4 +4 +4 +4
( 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , ... )
Essa foi declarada como sendo a dos sucessores dos múltiplos positivos do número 4, pode-se
deduzir que todo elemento desta sequência, a partir do segundo, é obtido da adição de quatro unidades
ao elemento anterior a ele.
As sequências que obedecem a leis de formação deste tipo (adiç
adição de um valor constante) são
chamadas progressões aritméticas (PA) e essa constante, que pode ser encontrada subtraindo-se dois
termos consecutivos da sequência, é chamada de razão da PA. Por isso, costuma-se indicar a razão de
uma progressão aritmética usando-se a letra r, inicial da palavra resto.
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