Sequências numéricas
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<strong>Sequências</strong> <strong>numéricas</strong><br />
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião<br />
Uma sequência numérica infinita é um conjunto numérico ordenado com as seguintes propriedades:<br />
I. Existe o primeiro termo: a 1<br />
II. Todo termo esta associado a um único sucessor: a n → a n+1<br />
III. O primeiro termo não é sucessor de nenhum dos termos da sequência: n∈N *<br />
No caso das sequências finitas, há também o último termo, e este último termo não possui sucessor.<br />
Os termos de uma sequência numérica costumam ser apresentados entre parênteses e separados por<br />
vírgulas. Veja alguns exemplos:<br />
A sequência dos múltiplos positivos do número 4: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...)<br />
A sequência dos sucessores naturais dos múltiplos positivos do número 4: (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)<br />
A sequência das potências naturais do número 5: (1, 5, 25, 125, 625, ...)<br />
A sequência dos triplos das potências naturais do número 5: (3, 15, 75, 375, ...)<br />
A sequência dos antecessores naturais dos triplos das potências positivas de 5: (2, 14, 74, 374, ...)<br />
A sequência das metades das metades das metades do número 8: (4, 2, 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , ...)<br />
A sequência das frações unitárias: ( 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 6 , 1 8 , 1 9 , 1<br />
10 , ...)<br />
A sequência dos quadrados perfeitos: (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...)<br />
A sequência dos números cem unidades maiores que os cubos perfeitos: (100,101,108,127,164, ...)<br />
A sequência, em radianos, dos múltiplos positivos de um arco de 30º: ( π 6 , π 3 , π 2 , 2π<br />
3 , 5π<br />
, π, ...)<br />
6<br />
A sequência dos senos dos múltiplos positivos de 90º: (1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, ...)<br />
A sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)<br />
A sequência dos números fatoriais: (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...)<br />
A sequência dos números triangulares: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...)<br />
A linha de número 6 do Triângulo de Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)<br />
A sequência, em ordem decrescente, dos divisores positivos do número 30: (30, 15, 10, 6, 5, 3, 1)<br />
O ponto de abscissa 3 e ordenada –2 do plano cartesiano: (3, –2)<br />
A origem do espaço tridimensional cartesiano: (0, 0, 0)<br />
As coordenadas de um ponto no plano cartesiano formam uma sequência de apenas dois termos<br />
chamada par ordenado. Não há necessidade de estudar as leis de formações de sequências de dois ou<br />
três números. Já a sequência dos números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...) é infinita e ainda<br />
hoje não somos capazes de enunciar sua lei de formação, embora um dia alguém tenha esbarrado numa<br />
curiosa lei de formação tal que somando-se sucessivamente os números pares positivos ao número 41<br />
obtém-se uma série de números primos. Veja:<br />
41 53 = 41+2+4+6 93 = 41+2+4+6+8+10+12<br />
43 = 41+2 61 = 41+2+4+6+8 107 = 41+2+4+6+8+10+12+14<br />
47 = 41+2+4 71 = 41+2+4+6+8+10 123 = 41+2+4+6+8+10+12+14+16<br />
Está sequência não apresenta todos os números primos maiores que 40. Ela salta alguns como 59, 63<br />
e 73, mas de fato, essa lei de formação gera apenas números primos até o quadragésimo termo e, por<br />
muito tempo acreditou-se que todos os termos desta sequência fossem primos. Mas a evolução da<br />
notação matemática mostra claramente que o quadragésimo primeiro termo dessa sequência não é<br />
primo. Observando-se a sequência (41, 43, 47, 53, 61, ...) é a imagem da função ordinal f(n) = n 2 +n+41,<br />
percebe-se que f(41) = 41 2 +41+41 é múltiplo de 41. Há duas maneiras distintas de se enunciar a<br />
formação de uma sequência infinita como esta: a recursiva e a iterativa.<br />
a 1 = 41 e a n+1 = a n + 2n , ∀ n∈N * ⇔ a n = n 2 + n + 41<br />
n+1<br />
1
Modelagem recursiva<br />
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião<br />
A maneira recursiva ou recorrente declara o valor de pelo menos um termo, e associa os demais<br />
termos da sequência aos dos valores dos termos declarados através de expressões com índices variáveis<br />
de domínio ordinal. Essas expressões são denominadas leis de recorrência<br />
A sequência dos múltiplos positivos do número 4, por exemplo: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...) pode ser<br />
definida pelo seguinte par de informações:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
a 1<br />
= 4<br />
a = a + 4<br />
, ∀ n∈N *<br />
n+ 1 n<br />
⇒<br />
n = 1 ⇒ a = 4<br />
1<br />
n = 2 ⇒<br />
a<br />
= a<br />
+ 4 = 4 + 4 = 8<br />
2 1<br />
n = 3 ⇒<br />
a<br />
= a<br />
+ 4 = 8 + 4 = 12<br />
3 2<br />
As informações são que o primeiro termo da sequência é o numero 4 e que cada um dos termos<br />
sucessores pode ser obtido adicionando-se 4 unidades ao termo anterior. É importante observar que<br />
esta segunda informação também poderia ser apresentada pela expressão a n = a n–1 + 4 para todo n<br />
natural tal que n ≥ 2, pois assim, o termo a n–1 antecede o termo a n.<br />
Note que n é variável ordinal da sequência, ou seja, n = 1 significa primeiro, n = 2 significa segundo,<br />
n = 10 significa décimo e assim por diante:<br />
a = (a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...)<br />
n∈N * ⇔ n ∈ {1, 2, 3, ...} ⇔ n = 1, 2, 3, ...<br />
Modelagem iterativa<br />
A maneira iterativa consiste na apresentação de uma fórmula para obter cada um dos termos de uma<br />
sequência a partir do número que indica a posição deste termo, ou seja, obter o valor do primeiro termo<br />
a partir do número 1, do segundo termo a partir do número 2 e assim por diante.<br />
Esta formula é conhecida como termo geral – TG, e não é nada além de uma função, cujo domínio é o<br />
conjunto dos ordinais {1 o , 2 o , 3 o , 4 o , ...}, escrita de uma maneira particular em que a variável é<br />
apresentada como índice e não entre parênteses. Assim a notação tradicional f(x) é substituída pela<br />
notação a n.<br />
Observe que f : {1, 2, 3, 4, ...} → R tal que f(x) = 4x é uma função ordinal cuja imagem é o conjunto<br />
dos múltiplos positivos do número quatro. Agora, considerando-se os elementos da imagem dessa<br />
função em ordem crescente define-se a sequência (4, 8, 12, 16, ...).<br />
A notação do termo geral das sequências <strong>numéricas</strong> indicará esta mesma função na forma a n = 4n, e<br />
se não houver menção sobre o domínio da variável n devemos considerá-lo como o conjunto dos<br />
números inteiros positivos, ou seja, dos números ordinais.<br />
Progressões aritméticas<br />
A sequência dos sucessores naturais dos múltiplos positivos do número 4 é: (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)<br />
que pode ser definida por a 1 = 5 e a n+1 = a n +4 para todo n inteiro positivo ou pela função a n = 4n +1.<br />
Para obter a lei de recorrência de uma sequência como essa basta encontrar uma relação entre dois<br />
termos consecutivos que seja obedecida em toda a sequência:<br />
+4 +4 +4 +4 +4 +4<br />
( 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , ... )<br />
Essa foi declarada como sendo a dos sucessores dos múltiplos positivos do número 4, pode-se<br />
deduzir que todo elemento desta sequência, a partir do segundo, é obtido da adição de quatro unidades<br />
ao elemento anterior a ele.<br />
As sequências que obedecem a leis de formação deste tipo (adiç<br />
adição de um valor constante) são<br />
chamadas progressões aritméticas (PA) e essa constante, que pode ser encontrada subtraindo-se dois<br />
termos consecutivos da sequência, é chamada de razão da PA. Por isso, costuma-se indicar a razão de<br />
uma progressão aritmética usando-se a letra r, inicial da palavra resto.<br />
2
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião<br />
Para se obter a expressão do termo geral de uma progressão aritmética, deve-se encontrar uma<br />
função ordinal que faça a n = f(n), e um fato importante sobre as progressões aritméticas é que seus<br />
termos gerais são expressos por funções constantes ou funções de primeiro grau. Sendo assim, devemos<br />
procurar de uma função do tipo: f(n) ) = an a<br />
+ b. b<br />
N * 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 ...<br />
Sequ<br />
quência<br />
5 , 9 , 13, 17, 21, 25, , ...<br />
f :N:<br />
* → P.A. tal que f(n) = an + b<br />
f(1) = a⋅1+b = 5 ⇔ a + b = 5 (I)<br />
f(2) = a⋅2+b = 9 ⇔ 2a + b = 9 (II<br />
II)<br />
Resolvendo-se o sistema formado pelas<br />
equações I e II obtemos a = 4 e b = 1. Assim:<br />
f(n) = 4n + 1<br />
Observe que o coeficiente angular a da função f sempre coincidirá com o valor da razão da PA que é a<br />
imagem da função f, já o valor do coeficiente linear b poderá ser encontrado ajustando-se qualquer<br />
transformação da função. No exemplo acima, sabemos que: f(n) = 4n + b, b pois a razão desta PA vele 4 e<br />
como f(1) = 4+b deve ser o valor do primeiro termo da PA, encontramos o valor de b para que 4+b<br />
resulte no número 5. Pode-se resumir o termo geral da PA, na forma de uma função ordinal, como:<br />
Progressões geométricas<br />
an = (razão) ⋅ n + (ajuste)<br />
As relações entre os termos de duas ou mais sequências podem facilitar a obtenção de suas leis de<br />
formação. Nos três exemplos a seguir, note que os elementos da sequência b são os triplos dos<br />
elementos da sequência a e também são os sucessores inteiros dos elementos da sequência c, portanto,<br />
sobre estas sequências pode-se afirmar: 3a n = b n = 1+c n.<br />
Lei de recorrência<br />
Sequência<br />
Termo geral<br />
a 1 = 1 e a n+1= 5⋅a n, ∀n∈N * ⇒ a = (1, 5, 25, 125, 625, ...) a n = n-1 5<br />
b 1 = 3 e b n+1= 5⋅b n, ∀n∈N * ⇒ b = (3, 15, 75, 375, 1875, ...) b n = 3⋅5<br />
c 1 = 2 e c n+1= 4+5⋅c n, ∀n∈N * ⇒ c = (2, 14, 74, 374, 1874, ...) c n = 3⋅5 –1<br />
Nas dias primeiras sequências acima temos que todos os termos a partir do segundo podem ser<br />
obtidos multiplicando-se o termo antecessor por 5. As sequências que obedecem a leis de formação<br />
deste tipo (multipl<br />
multiplica<br />
cação<br />
sucessiva por um valor constante) são chamadas progressões geométricas (PG),<br />
e esse fator constante que pode ser obtido dividindo-se dois termos consecutivos da sequência, é<br />
chamado de razão da PG. Por isso, costuma-se indicar a razão de uma progressão geométrica usando a<br />
letra q, inicial da palavra quociente.<br />
A expressão do termo geral de uma progressão geométrica de termos positivos e razão diferente de 1<br />
são funções exponenciais do tipo: f(n) = a⋅b n , cuja base b coincide com a razão da PG, e o coeficiente a<br />
serve para ajustar as potências da razão aos termos da sequência como nos dois exemplos a seguir:<br />
f(n) = Ajuste ⋅ (Razão) n<br />
n-1<br />
n-1<br />
Veja como proceder em (1, 5, 25, 125, ... ):<br />
n<br />
I. f(n) = a ⋅5<br />
⎫<br />
1<br />
⎬⎭ ⇒ a⋅5 = 1 ⇔ a = 1<br />
II. f(1) = 1<br />
5 ⇒ f(n) = 1 5 ⋅ n<br />
5 ≡<br />
n-1<br />
5<br />
Veja como proceder em (3, 15, 75, 375, ... ):<br />
n<br />
I. g(n) = a ⋅5<br />
⎫<br />
1<br />
⎬⎭ ⇒ a⋅5 = 3 ⇔ a = 3<br />
II. g(1) = 3<br />
5<br />
⇒ g(n) = 3 5 ⋅ n<br />
5 ≡ 3⋅5<br />
n-1<br />
Embora, a sequência (2, 14, 74, 374, ... ) não seja PG, podemos obter seu termo geral através de uma<br />
translação da sequência anterior (3, 15, 75, 375, ... ): h(n) = g(n) – 1 =<br />
n-1<br />
3⋅5 - 1.<br />
3