Sistemas de Equações Lineares

Equações linearesCurso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoChama-se equação linear toda sentença aberta que seja do primeiro grau em todas as variáveis, e quenão apresente produto entre duas ou mais variáveis. Eis alguns exemplos:SÃO EQUAÇÕES LINEARES:NÃO SÃO EQUAÇÕES LINEARES:22x +3y +4z =52x +3y +4z =5Equação linear2x +3y +4z+5w = 0 Homogênea2x +3yz+ w = 4x +4y +7 = 3-2x42x+3y + =5zCada solução de uma equação linear é apresentada por uma sequência numérica cujo número determos coincide com o número de variáveis da equação.Assim, a terna ordenada (1, 1, 0) é uma solução da equação 2x+3y+4z = 5.A quadra ordenada (0, 0, 0, 0) é a solução trivial da equação 2x+3y+4z+5w = 0.E o par ordenado (−2,−2) é uma solução da equação x+4y+17 = 3−2x.Sistemas linearesUm sistema de equações é linear quando é formado apenas por equações lineares.Uma sequência numérica é solução de um sistema se, e somente se, for solução comum a todas asequações do sistema.Recomenda-se que as equações lineares de um sistema sejam escritas de modo que o primeiromembro de cada equação apresente todas as variáveis na mesma ordem, deixando os termoindependentes isolados no segundo membro.Assim, a equação x + 4y +7 = 3- 2x , por exemplo, deve ser reescrita na forma 3x + 4y = -4 .Classificação de sistemas lineares• POSSÍVEL DETERMINADO − SPD, quando possui solução única.• POSSÍVEL INDETERMINADO − SPI, quando possui infinitas soluções.• IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL − SI, quando não possui solução.Equivalentes são os sistemas que possuem o mesmo conjunto solução.Homogêneos são os sistemas formados apenas por equações homogêneas. Não existe sistemahomogêneo impossível, pois toda equação homogênea admite a solução nula, que também é chamadade solução trivial.CramerA regra de Cramer para a resolução de um sistema linear só pode ser aplicada aos sistemas em cujonúmero de equações seja igual ao número de variáveis. Observar a notação matricial M⋅X = R de umsistema linear facilita a compreensão dessa regra.Nessa notação, M é a matriz principal do sistema e deve apresentar os coeficientes das variáveis decada equação do sistema. A matriz X é o vetor das incógnitas e a matriz R o vetor dos termosindependentes.⎧a1x + b1y + c1z = r1 ⎛ a1 b1 c1 ⎞ ⎛ x⎞⎛ r1⎞a b c⎪= ⇔⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎨a2x + b2y + c2z r2a ⇒ =2b2 c2 y r ⎜⎟2D a b c⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎩a3x + b3y + c3z= r3⎝a b c ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝r ⎠a b c1 1 12 2 23 3 3 3 3 3 3O determinante da matriz principal D = det(M) é o determinante do sistema, e seu valor numéricopode ser usado para classificar o sistema de acordo com as equivalências lógicas a seguir:D ≠ 0 ⇔ SPDD = 0 ⇔ SPI ou SIE, se o sistema linear for homogêneo:D ≠ 0 ⇔ SPDD = 0 ⇔ SPI

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoAlém disso, para cada variável do sistema é definida uma nova matriz obtida por meio dasubstituição da coluna dos coeficientes de uma mesma variável pelo vetor R, e se o determinante dosistema for diferente de zero, então os determinantes dessas novas matrizes indicados por D x, D y e D zsatisfazem as relações a seguir:DDxyDzx = y = z =D D DVeja como calcular os determinantes das variáveis do exemplo (3×3):r r r1 b1 c1 a1 1 c1 a1 b1 12 b2 c2 a2 2 c2 a2 b2 23 b3 c3 a3 3 c3 a3 b3 3D x = r D y = r D z = rr r rInfelizmente, quando D = 0, não se pode concluir se o sistema é impossível o indeterminado. Mas nocaso de haver um parâmetro desconhecido nas equações do sistema, a relação D = 0 permite que sejamencontrados os valores desse parâmetro para cada caso.Uma vez encontrados, cada um destes valores deve ser substituídos no sistema original a fim deverificar o sistema é impossível ou indeterminado.Podem-se usar a regra de Cramer para classificar os sistemas lineares de acordo com asequivalências lógicas a seguir:EscalonamentoComo no teorema de Jacobi para os determinantes, pode-se substituir qualquer equação de umsistema linear por uma combinação linear dela com as outras equações do sistema, que isso não alterar oconjunto das soluções do sistema.I ⎧ x+ y +z = 9 × (-1) × (-2 ) I ⎧ x+ y +z = 9 I ⎧ x+ y +z = 9⎪ ⎪ ⎪II ⎨x+2y - z = 4 ~ IV ⎨ y -2z = -5 × ( 3 ) ~ IV ⎨ y -2z = -5III ⎪⎩2x - y +z =5 V ⎪⎩-3y - z = -13 VI ⎪⎩ -7z = -28A equação IV é o resultado da diferença entre as equações II e I.A equação V foi obtida multiplicando-se a equação I por –2 e somando este resultado à equação III.A equação VI é somando-se a equação V ao triplo da equação IV.As combinações lineares (IV = II – I), (V = III – 2⋅I) e (VI = V + 3⋅IV) não devem ser escolhidas aoacaso, as novas equações devem apresentar menos variáveis que as anteriores.Este processo gera sistemas equivalentes mais simples que o original, e deve ser feito até se obteruma equação com uma única, como a equação –7z = –28 que implica z = 4.Depois, substituindo-se o valor encontrado para essa variável, nas outras equações do sistema,encontram-se os valores das outras variáveis: y = 3 e x = 2.Sendo assim, este sistema é possível e determinado e seu conjunto solução é S = {(2, 3, 4)}.Todo sistema linear pode ser escalonado, não importa quantas equações e variáveis ele apresente. Oprocesso pode ser longo, mas quando se obtém uma equação do tipo a⋅v = b, em que v é uma dasvariáveis (x, y ou z) e os parâmetros a e b são conhecidos, pode-se classificar os sistema de acordo como seguinte esquema.⎧ a ≠ 0 ⇔ SPD⎪a ⋅v =b ⇒ ⎨ a =0 e b ≠ 0 ⇔ SI⎪⎩a =0 e b=0 ⇔ SPI