Sistemas de Equações Lineares

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoAlém disso, para cada variável do sistema é definida uma nova matriz obtida por meio dasubstituição da coluna dos coeficientes de uma mesma variável pelo vetor R, e se o determinante dosistema for diferente de zero, então os determinantes dessas novas matrizes indicados por D x, D y e D zsatisfazem as relações a seguir:DDxyDzx = y = z =D D DVeja como calcular os determinantes das variáveis do exemplo (3×3):r r r1 b1 c1 a1 1 c1 a1 b1 12 b2 c2 a2 2 c2 a2 b2 23 b3 c3 a3 3 c3 a3 b3 3D x = r D y = r D z = rr r rInfelizmente, quando D = 0, não se pode concluir se o sistema é impossível o indeterminado. Mas nocaso de haver um parâmetro desconhecido nas equações do sistema, a relação D = 0 permite que sejamencontrados os valores desse parâmetro para cada caso.Uma vez encontrados, cada um destes valores deve ser substituídos no sistema original a fim deverificar o sistema é impossível ou indeterminado.Podem-se usar a regra de Cramer para classificar os sistemas lineares de acordo com asequivalências lógicas a seguir:EscalonamentoComo no teorema de Jacobi para os determinantes, pode-se substituir qualquer equação de umsistema linear por uma combinação linear dela com as outras equações do sistema, que isso não alterar oconjunto das soluções do sistema.I ⎧ x+ y +z = 9 × (-1) × (-2 ) I ⎧ x+ y +z = 9 I ⎧ x+ y +z = 9⎪ ⎪ ⎪II ⎨x+2y - z = 4 ~ IV ⎨ y -2z = -5 × ( 3 ) ~ IV ⎨ y -2z = -5III ⎪⎩2x - y +z =5 V ⎪⎩-3y - z = -13 VI ⎪⎩ -7z = -28A equação IV é o resultado da diferença entre as equações II e I.A equação V foi obtida multiplicando-se a equação I por –2 e somando este resultado à equação III.A equação VI é somando-se a equação V ao triplo da equação IV.As combinações lineares (IV = II – I), (V = III – 2⋅I) e (VI = V + 3⋅IV) não devem ser escolhidas aoacaso, as novas equações devem apresentar menos variáveis que as anteriores.Este processo gera sistemas equivalentes mais simples que o original, e deve ser feito até se obteruma equação com uma única, como a equação –7z = –28 que implica z = 4.Depois, substituindo-se o valor encontrado para essa variável, nas outras equações do sistema,encontram-se os valores das outras variáveis: y = 3 e x = 2.Sendo assim, este sistema é possível e determinado e seu conjunto solução é S = {(2, 3, 4)}.Todo sistema linear pode ser escalonado, não importa quantas equações e variáveis ele apresente. Oprocesso pode ser longo, mas quando se obtém uma equação do tipo a⋅v = b, em que v é uma dasvariáveis (x, y ou z) e os parâmetros a e b são conhecidos, pode-se classificar os sistema de acordo como seguinte esquema.⎧ a ≠ 0 ⇔ SPD⎪a ⋅v =b ⇒ ⎨ a =0 e b ≠ 0 ⇔ SI⎪⎩a =0 e b=0 ⇔ SPI